שאלות פתוחות: מציאת פרמטר מתוך שטח נתון - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מציאת פרמטר מתוך שטח נתון, בפונקציות מעריכיות לכיתה י"ב ברמת 4 יחידות. התלמידים מוצאים את גבול האינטגרציה a כשהשטח מתחת לגרף של e בחזקת 2x ידוע, מוצאים את הפרמטר של e בחזקת x פחות a לפי שטח, ומשווים בין שני שטחים שמוגבלים על ידי e בחזקת 2x ו-e בחזקת x. יש גם שאלה שבה השטח תלוי במשיק מראשית הצירים. רוב השאלות בינוניות וקשות. אפשר להרכיב מכאן מבחן, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

23 שאלותקלה: 2בינונית: 13קשה: 8

שאלה 1 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e2xf(x)=e^{2x}f(x)=e2x. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx, על ידי ציר ה-yyy ועל ידי הישר x=ax=ax=a (כאשר a>0a>0a>0) שווה ל-444.

מצאו את aaa.

שאלה 2 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ex−af(x)=e^{x}-af(x)=ex−a, כאשר a>1a>1a>1 הוא פרמטר.
y=ex−a

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי ציר ה-yyy שווה ל-111. מצאו את aaa.

שאלה 3 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ekxf(x)=e^{kx}f(x)=ekx, k>0k>0k>0 הוא פרמטר. מראשית הצירים מעבירים משיק לגרף הפונקציה.

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק.

ב.

השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק וציר ה-yyy שווה ל-e−2e-2e−2. מצאו את kkk.

שאלה 4 · פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: פונקציה קדומה ושטחשאלה מלאה · קלה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה מוגדרות לכל xxx. נתון: f′(x)=ex−e4−xf'(x)=e^x-e^{4-x}f′(x)=ex−e4−x.

א.

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) חיובית לכל xxx.

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

הראו כי f(x)=ex+e4−x+cf(x)=e^x+e^{4-x}+cf(x)=ex+e4−x+c, כאשר ccc קבוע.

ד.

נתון: השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx, על ידי ציר ה-yyy ועל ידי הישר x=2x=2x=2 הוא e4+3e^4+3e4+3.

מצאו את ccc.

ה.

מצאו את ערך ה-yyy של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

שאלה 5 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=e2xf(x)=e^{2x}f(x)=e2x ו-g(x)=exg(x)=e^{x}g(x)=ex. ttt הוא מספר חיובי. נסמן ב-S1S_{1}S1​ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי הצירים ועל ידי הישר x=tx=tx=t, וב-S2S_{2}S2​ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על ידי הצירים ועל ידי הישר x=tx=tx=t. נתון: S1=3S2S_{1}=3S_{2}S1​=3S2​.

מצאו את ttt.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח נתון ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−aexf(x)=e^{2x}-ae^xf(x)=e2x−aex, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה, ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ב.

השטח המוגבל בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ובין הצירים שווה ל-2. מצאו את aaa.

ג.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה וקבעו מאיזה צד הגרף מתקרב אליה.

ד.

לאילו ערכים של mmm יש למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m בדיוק שני פתרונות?

שאלה 7 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^{x}f(x)=ex ו-g(x)=e2a−xg(x)=e^{2a-x}g(x)=e2a−x, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים ועל ידי ציר ה-yyy.

ב.

נתון כי השטח שווה ל-444. מצאו את aaa.

שאלה 8 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e2xex−af(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-a}f(x)=ex−ae2x​, כאשר aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה. הביעו באמצעות aaa.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה. הביעו באמצעות aaa.

ג.

הישר x=ln⁡18x=\ln18x=ln18 נמצא מימין לנקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x). השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), על ידי ציר ה-x ועל ידי הישר x=ln⁡18x=\ln18x=ln18 שווה ל-3.

מצאו את aaa.

ד.

הציבו a=6a=6a=6.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש פתרון אחד בדיוק.

שאלה 9 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=e2xf(x)=e^{2x}f(x)=e2x ו-g(x)=kexg(x)=ke^{x}g(x)=kex, כאשר k>1k>1k>1 הוא פרמטר. בשרטוט מקווקו השטח המוגבל על ידי שני הגרפים ועל ידי ציר ה-yyy.
y=e2xy=kex

א.

הביעו באמצעות kkk את השטח המקווקו.

ב.

נתון כי השטח המקווקו שווה ל-888. מצאו את kkk.

שאלה 10 · חקירה עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון ופרמטר משטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(a−2x)⋅e2xf(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}f(x)=(a−2x)⋅e2x, המוגדרת לכל xxx. aaa הוא פרמטר, a>2a>2a>2.

א.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

הראו כי לכל ערך של aaa, נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) נמצאת על גרף הפונקציה h(x)=e2xh(x)=e^{2x}h(x)=e2x.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=2e2xg(x)=2e^{2x}g(x)=2e2x. הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם גרף g(x)g(x)g(x). דרך A העבירו אנך לציר ה-xxx.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), על ידי האנך, על ידי ציר ה-xxx ועל ידי ציר ה-yyy.

ד.

מצאו את הערך של aaa שעבורו השטח שבסעיף ג שווה ל-2, ומצאו עבורו את שיעורי הנקודה A.

עוד 11 שאלות על מציאת פרמטר מתוך שטח נתון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=ae^{x}+1$ , כאשר $a>0$ פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה- $x$ , על ידי ציר ה- $y$ ועל ידי הישר $x=\ln 2$ …
eˣ ו-a−2eˣ: שטח עם פרמטר וחלוקה לשני חלקים שווים (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^x$ ו- $g(x)=a-2e^x$ , כאשר $a>3$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=2e^{2x}-2e^{2-2x}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח, מספר פתרונות ושטח בין גרף לישר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}+a\cdot e^{-x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x+4e^{-x}+c$ , כאשר $c$ פרמטר. נתון כי $f(x)$ חיובית לכל $x$ . דרך נקודת הקיצון של $f(x)$ העבירו אנך לציר ה- $x$ . השטח…
מציאת פרמטר $k$ מתוך יחס בין שטחים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^{\frac x2}}$ .
פונקציה מעריכית: קיצון, סקיצה ופרמטר מתוך שטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}+16e^{-x}-3$ .
פרמטר מתוך שטח מתחת לגרף פונקציית הנגזרת (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-a}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}$ . השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה- $y$ , על ידי הישר $x=\ln2$ ועל ידי הישר $y=k$ (כאשר $0<k<1$ ) שווה…
מציאת ישר אופקי $y = k$ מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}+16e^{-x}-3$ . לפונקציה יש נקודת קיצון אחת בלבד, נקודת המינימום $(\ln2,\ 9)$ .
מציאת קבוע בפונקציה מתוך שטח נתון (שאלת ביניים · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=e^x-e^{4-x}$ . נתון גם כי $f(x)=e^x+e^{4-x}+c$ , כאשר $c$ קבוע, וכי…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=e^x-e^{2-x}$ .
פונקציה מעריכית: קיצון, סקיצה ופרמטר מתוך שטח · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}+e^{4-2x}+2$ .