שאלות פתוחות: חזקות עם מעריך טבעי - כיתה ז'

אוסף שאלות פתוחות על חזקות עם מעריך טבעי לכיתה ז': חישוב חזקות, חזקות של 10 והשוואה בין ריבוע של מספר, ריבוע של הנגדי לו והנגדי של הריבוע. חלק מהשאלות נשענות על גרפים, כמו נפח קובייה לפי אורך המקצוע או שטח ריבוע לפי הצלע, והתאמת נקודות לביטויים x, x² ו-x³. יש גם שאלות אומדן של סכום ריבועים. השאלות מגיעות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו שאלות למבחן, לבוחן או לדף עבודה, וכל אחת תגיע עם פתרון מלא וקובץ Word.

49 שאלותרמה א': 22רמה ב': 15מצוינות: 12

שאלה 1 · נפח של קובייה לפי אורך המקצועשאלה קצרה · רמה א'

בגרף מתואר הנפח של קובייה (בסמ"ק) לפי אורך המקצוע שלה (בס"מ). בגרף יש נקודה לכל אחת מהקוביות שאורך המקצוע שלהן 111, 222, 333, 444 ו-555 ס"מ.
‫מקצוע (ס"מ)‬‫נפח (סמ"ק)‬0123456020406080100120140

א.

נסמן ב-xxx את אורך המקצוע בס"מ, וב-yyy את נפח הקובייה בסמ"ק. כתבו ביטוי אלגברי: y=…y=\dotsy=…, ומצאו בעזרתו את שיעורי הנקודה שבה x=3x=3x=3.

ב.

לאילו מהקוביות שבגרף יש נפח בין 202020 סמ"ק ל-100100100 סמ"ק? בתשובה התייחסו רק לנקודות שבגרף.

שאלה 2 · שטח ריבוע לפי אורך הצלעשאלת ביניים · רמה ב'

בגרף שלפניכם מוצג השטח של ריבוע בהתאם לאורך הצלע שלו בס"מ. בגרף יש נקודות לריבועים שאורך הצלע שלהם 0.50.50.5, 111, 1.51.51.5, 222, 2.52.52.5 ו-333 ס"מ.
‫צלע הריבוע בס"מ‬‫שטח הריבוע בסמ"ר‬0.51.01.52.02.53.03.54.00.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.57.07.58.08.59.09.5

א.

כאשר אורך צלע הריבוע הוא 1.51.51.5 ס"מ, מהו שטח הריבוע?

ב.

מה יכול להיות האורך של צלע הריבוע, אם ידוע ששטחו הוא בין 333 סמ"ר לבין 777 סמ"ר? בתשובה יש להתייחס רק לנקודות שמופיעות בגרף.

ג.

נסמן באות xxx את אורך הצלע של הריבוע בס"מ. נסמן באות yyy את שטח אותו ריבוע בסמ"ר. רשמו באמצעות xxx את הביטוי האלגברי שמבטא את שטח הריבוע: y=…y=\dotsy=…

שאלה 3 · $a^{2}$ , $(- a)^{2}$ ו- $- a^{2}$ : תמיד, לפעמים או אף פעם?שאלת ביניים · מצוינות

נתונים שלושה ביטויים: a2a^2a2, (−a)2(-a)^2(−a)2 ו-−a2-a^2−a2.

א.

השלימו את הטבלה.
aaaa2a^2a2(−a)2(-a)^2(−a)2−a2-a^2−a2
333
−2-2−2
000
12\frac{1}{2}21​

ב.

אילו שניים מהביטויים שווים זה לזה לכל ערך של aaa? הסבירו למה, בלי להסתמך רק על הטבלה. לזוג a2a^2a2 ו-−a2-a^2−a2: מצאו את כל הערכים של aaa שבהם הם שווים, ונמקו.

ג.

רוני אומרת: "לפי סעיף ב, גם (−a)3(-a)^3(−a)3 ו-a3a^3a3 שווים לכל aaa". האם היא צודקת? איזה מבין הביטויים a3a^3a3 ו-−a3-a^3−a3 שווה ל-(−a)3(-a)^3(−a)3 לכל aaa? נמקו.

שאלה 4 · השוואת ביטויים: איפה הסוגריים?שאלה קצרה · רמה א'

הוסיפו בין שני הביטויים סימן מתאים (<<<, >>> או ===). נמקו בחישוב.

א.

(12:3)2(12:3)^2(12:3)2 ___ 12:3212:3^212:32

ב.

(−1−2)2(-1-2)^2(−1−2)2 ___ (−1)2+(−2)2(-1)^2+(-2)^2(−1)2+(−2)2

שאלה 5 · חזקות של 10 וכפל בחזקה של 10שאלה קצרה · רמה ב'

בשאלה הזו חזקות של 101010.

א.

כתבו את 10410^4104 כמספר רגיל. כמה אפסים יש בו?

ב.

מה הערך של 0.56⋅1030.56\cdot 10^30.56⋅103?

שאלה 6 · שלושה גרפים של נקודות: $x$ , $x^{2}$ ו- $x^{3}$ שאלת ביניים · מצוינות

בכל אחד משלושת הגרפים מסומנות נקודות עבור x=0, 0.5, 1, 1.5, 2x=0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2x=0, 0.5, 1, 1.5, 2. כל גרף מתאים לאחד הביטויים y=xy=xy=x, y=x2y=x^2y=x2, y=x3y=x^3y=x3, וכל ביטוי מתאים לגרף אחד.
גרף AAAxy0.00.51.01.52.02.5012345678
גרף BBBxy0.00.51.01.52.02.5012345678
גרף CCCxy0.00.51.01.52.02.5012345678

א.

בכל שלושת הגרפים יש את הנקודות (0,0)(0,0)(0,0) ו-(1,1)(1,1)(1,1). הסבירו למה.

ב.

התאימו כל גרף לביטוי שלו. נמקו בעזרת הנקודות שבהן x=2x=2x=2.

ג.

מורן אומרת: "כשמעלים מספר בחזקה גבוהה יותר התוצאה גדולה יותר, ולכן לכל xxx הנקודה של y=x3y=x^3y=x3 גבוהה מהנקודה של y=x2y=x^2y=x2". חשבו את ערכי שלושת הביטויים עבור x=0.5x=0.5x=0.5, והסבירו מה לא נכון בטענה של מורן.

שאלה 7 · אומדן של סכום ריבועיםשאלה קצרה · רמה א'

איזה מהבאים הוא הקרוב ביותר ל-292+7229^2+7^2292+72?
א. 60+5060+5060+50
ב. 600+50600+50600+50
ג. 900+50900+50900+50
ד. 900+500900+500900+500

א.

בחרו את התשובה הנכונה ונמקו את הבחירה.

ב.

בלי לחשב את 29229^2292: האם 292+7229^2+7^2292+72 גדול או קטן מ-900+50900+50900+50? נמקו.

שאלה 8 · סדר פעולות עם חזקותשאלה קצרה · רמה ב'

חשבו את ערך כל ביטוי. זכרו: החזקה קודמת לכפל, לחילוק, לחיבור ולחיסור.

א.

5−235-2^35−23

ב.

(−3)2+2⋅(−1)3(-3)^2+2\cdot(-1)^3(−3)2+2⋅(−1)3

שאלה 9 · שתי תבניות אריחים: מתי יש אותו מספר אריחים?שאלה מלאה · מצוינות

נועם ועדי בונים תבניות מאריחים מרובעים, בשלבים 111, 222, 333 וכן הלאה.
בתבנית של נועם בשלב xxx יש ריבוע של xxx שורות, ובכל שורה xxx אריחים.
בתבנית של עדי בשלב xxx יש שורה אחת של 2x+82x+82x+8 אריחים.

א.

השלימו את הטבלה.
השלב xxx111222333444555666
אריחים אצל נועם??????
אריחים אצל עדי??????

השלב $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
אריחים אצל נועם	?	?	?	?	?	?
אריחים אצל עדי	?	?	?	?	?	?

ב.

מסמנים באותה מערכת צירים את שתי סדרות הנקודות (x,y)(x,y)(x,y), כאשר yyy הוא מספר האריחים בשלב xxx. באיזה שלב שתי הנקודות הן אותה נקודה? מה השיעורים שלה?

ג.

עידו אומר: "בשלב 444 יש בשתי התבניות אותו מספר אריחים. 888 הוא פי 222 מ-444, ולכן גם בשלב 888 יהיה בשתיהן אותו מספר אריחים". בדקו את הטענה והסבירו את הטעות.

ד.

עדי רוצה להחליף את המספר 888 בתבנית שלה במספר אחר, kkk. כלומר, בשלב xxx יהיו אצלה 2x+k2x+k2x+k אריחים. היא רוצה שבשלב 666 יהיה אצלה אותו מספר אריחים כמו אצל נועם. מצאו את kkk.

ה.

עם kkk שמצאתם בסעיף ד: האם בשלב 444 עדיין יש בשתי התבניות אותו מספר אריחים? בנו טבלה לשלבים 111 עד 888, ומצאו את כל השלבים שבהם מספר האריחים שווה.

שאלה 10 · אומדן: הקרוב ביותר לסכום ריבועיםשאלה קצרה · רמה א'

איזה מהבאים הוא הקרוב ביותר ל-112+9211^2 + 9^2112+92?
א. 20+2020 + 2020+20
ב. 20+8020 + 8020+80
ג. 120+20120 + 20120+20
ד. 120+80120 + 80120+80

סמנו את התשובה הנכונה.

עוד 37 שאלות על חזקות עם מעריך טבעי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הוסיפו סימן מתאים: מכפלה וסכום בחזקה (שאלה קצרה · רמה ב')
הוסיפו סימן מתאים ( $<, >, =$ ) נמקו.
האם החזקה השלישית תמיד גדולה מהשנייה? (שאלה קצרה · מצוינות)
חנה טוענת: "כשמעלים מספר בחזקה שלישית מקבלים תמיד מספר גדול יותר מאשר כשמעלים אותו בחזקה שנייה."
האם הריבוע תמיד גדול מהמספר? (שאלה קצרה · רמה א')
יעל טוענת שעבור כל מספר חיובי, הריבוע שלו גדול מהמספר עצמו (כלומר, $x^2$ תמיד גדול מ- $x$ ).
ערך של מספר כפול חזקה של 10 (שאלה קצרה · רמה ב')
מה הערך של $3.4\cdot 10^2$ ?
חזקות של מינוס 2 (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונים ארבעה מספרים: $A=(-2)^5\qquad B=-2^4\qquad C=(-2)^4\qquad D=-(-2)^5$
חישוב ביטויים עם חזקות (שאלה קצרה · רמה א')
חשבו את הביטויים הבאים: א. $10 - 3^4$ ב. $3 - (-3)^3$ ג. $9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2$ ד. $133 + 125 : (-5) - (16 - 4^2)$
התאמה בין חזקות למכפלות (שאלה קצרה · רמה ב')
התאימו את המספרים שבעמודה הימנית למספרים השווים להם בעמודה השמאלית.
ספרת האחדות של ריבועים (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה הזו נחקור את ספרת האחדות (הספרה הימנית) של ריבועים של מספרים שלמים.
נכון או לא נכון: טענות על חזקות (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם 3 טענות. כתבו ליד כל טענה: נכונה / לא נכונה ונמקו.
קיפול דף: כפל חוזר ב-2 (שאלת ביניים · רמה ב')
יובל מקפל דף נייר לשניים, ואז שוב לשניים, וכך הלאה. בכל קיפול מספר השכבות של הנייר גדל פי $2$ .
ספרת האחדות של חזקות של 8 (שאלה קצרה · מצוינות)
לפניכם החזקות הראשונות של $8$ : $8^1=8$ , $8^2=64$ , $8^3=512$ , $8^4=4{,}096$ , $8^5=32{,}768$ .
מציאת טעות בסדר הפעולות (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי: $20-2\cdot 3^2+(-2)^3$
דשאים ריבועיים בפארק (שאלה מלאה · רמה ב')
בפארק העירוני יש שתי מדשאות בצורת ריבוע: מדשאה "קטנה": אורך הצלע שלה הוא $2^3$ מטרים. מדשאה "גדולה": אורך הצלע שלה הוא $2^4$ מטרים.
זוג סוגריים אחד: כל התוצאות האפשריות (שאלה קצרה · מצוינות)
נתון הביטוי $12-2\cdot 3^2$ מותר להוסיף לו זוג סוגריים אחד. אסור לשנות את סדר המספרים ואת סימני הפעולות, הסוגריים מקיפים לפחות שני מספרים,…
חזקות של שבר הקטן מ-1 (שאלת ביניים · רמה א')
אריח ריבועי הוא באורך צלע של $\frac{3}{4}$ מ'.
$2^{5}$ או $5^{2}$ ? (שאלה קצרה · רמה ב')
בחזקה, המעריך אומר כמה פעמים כופלים את הבסיס בעצמו. למשל, $3^2=3\cdot 3$ .
חזקה של מספר ושל הנגדי שלו (שאלה קצרה · מצוינות)
במשחק בוחרים מספר שלם חיובי ומעריך טבעי. מעלים בחזקה הזו את המספר שנבחר, וגם את הנגדי שלו.
עמדת תצוגה של קופסאות (שאלה מלאה · רמה א')
בחנות בונים עמדת תצוגה של קופסאות שימורים בשכבות. בשכבה העליונה יש קופסה אחת. כל שכבה היא ריבוע של קופסאות, ובכל שכבה יש בכל שורה קופסה אחת…
טבלה: $2$ בחזקת המספר לעומת המספר בריבוע (שאלת ביניים · רמה ב')
בטבלה שתי שורות. בשורה הראשונה מעלים את $2$ בחזקת המספר שבראש העמודה, ובשורה השנייה מעלים את המספר שבראש העמודה בריבוע.
ספרת האחדות של חזקות של 2 (שאלה קצרה · מצוינות)
ספרת האחדות היא הספרה הימנית של המספר. בלי מחשבון.
פיקסלים בחיישן מצלמה (שאלה מלאה · רמה א')
האם ידעתם שכל תמונה שאתם רואים בטלפון בנויה ממיליוני ריבועים זעירים? לריבועים האלה קוראים פיקסלים. בתוך המצלמה שלכם נמצא חיישן – זהו לוח…
$(- 4)^{2}$ לעומת $- 4^{2}$ (שאלה קצרה · רמה ב')
ב- $(-4)^2$ הסוגריים אומרים שמעלים בריבוע את המספר $-4$ . ב- $-4^2$ מעלים בריבוע רק את $4$ , ואחר כך לוקחים את הנגדי.
כל החזקות בתחום נתון (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה הזו הבסיס הוא מספר שלם, והמעריך הוא מספר טבעי גדול מ- $1$ .
בסיס חסר ומעריך חסר (שאלה קצרה · רמה א')
בכל תרגיל כתבו במשבצת מספר כך שהשוויון יתקיים. אם יש יותר ממספר אחד מתאים, כתבו את כולם. המעריך הוא תמיד מספר טבעי.
חדר בריחה: קוד מתוך שורשים (שאלה מלאה · רמה ב')
בחדר בריחה יש דלת נעולה. כדי לפתוח אותה צריך לפתור שלושה רמזים. כל רמז הוא תרגיל, והתוצאה שלו היא מספר.
4 בחזקת מספר מול המספר בחזקה רביעית (שאלה קצרה · מצוינות)
משווים שני חישובים לכל מספר טבעי: מעלים את $4$ בחזקת המספר, ומעלים את המספר בחזקה רביעית. למשל, עבור $3$ מקבלים $4^3=64$ ו- $3^4=81$ .
משחק קלפי החזקות (שאלה מלאה · רמה א')
במשחק קלפים כל שחקן בוחר שני קלפים עם מספרים: את האחד הוא שם בבסיס ואת השני במעריך. מי שהחזקה שלו גדולה יותר מנצח. אם החזקות שוות, יש תיקו.
יהלומים שגדלים פי 4 בכל שלב (שאלה קצרה · רמה ב')
במשחק מחשב, בכל שלב מספר היהלומים של שחקן גדל פי $4$ .
מתי הסוגריים לא משנים? (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו משווים ביטויים כמו $(-2)^3$ ו- $-2^3$ : באחד הבסיס הוא $-2$ , ובשני מעלים בחזקה את $2$ ולוקחים את הנגדי.
בסיסים מיוחדים: אפס, אחד ומינוס אחד (שאלה קצרה · רמה ב')
בשאלה הזו הבסיס הוא אחד המספרים $0$ , $1$ או $-1$ , והמעריך הוא מספר טבעי.
מינוס, חזקה וסוגריים בסדר הפעולות (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים ארבעה ביטויים: $A=20-3^2\qquad B=20-(-3)^2\qquad C=20+(-3)^2\qquad D=20-(-3^2)$
איזה מספר קטן מהריבוע שלו (שאלה קצרה · רמה א')
על ציר המספרים שלפניכם מסומנים ארבעה מספרים $P$ , $Q$ , $R$ ו- $S$ . $P$ נמצא בין $-3$ ל- $-2$ , $Q$ הוא $0$ , $R$ נמצא בין $0$ ל- $1$ , ו- $S$ הוא…
טורניר הגיימינג הגדול: "שורד החלל" (שאלה מלאה · רמה א')
טורניר הגיימינג הגדול: "שורד החלל" תלמידי שכבה ז' משתתפים בטורניר משחק המחשב "שורד החלל". כל שחקן צריך לנהל את הניקוד שלו בלוח בקרה דינמי.…
קו השבר והחזקה: מה מחשבים קודם? (שאלה קצרה · רמה א')
בשבר, קודם מחשבים את כל מה שמעל הקו ואת כל מה שמתחתיו, ורק בסוף מחלקים. הקו פועל כמו סוגריים.
סכום של חזקות של מינוס אחד (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה הזו מחברים חזקות של $-1$ לפי הסדר.
קלפים: תוספת קבועה מול הכפלה (שאלת ביניים · רמה א')
אורי ותמר אוספים קלפים. לאורי היו בהתחלה $40$ קלפים, ובכל שבוע הוא מוסיף $12$ קלפים. לתמר היו בהתחלה $5$ קלפים, ובכל שבוע מספר הקלפים שלה…
הודעות שמתרבות פי 3 בכל סבב (שאלת ביניים · רמה א')
בקבוצת הודעות, בסבב הראשון נשלחו $4$ הודעות. בכל סבב נשלחות פי $3$ הודעות מאשר בסבב שלפניו.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

סדר פעולות עם חזקות ומספרים מכוונים (שאלה קצרה · רמה א')
חשבו בלי מחשבון. שימו לב לסדר הפעולות: קודם סוגריים, אחר כך חזקות, אחר כך כפל וחילוק, ובסוף חיבור וחיסור.
השוואה וחישוב עם חזקות של מספרים מכוונים (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו בלי מחשבון.

$a$	$a^2$	$(-a)^2$	$-a^2$
$3$
$-2$
$0$
$\frac{1}{2}$