שאלות פתוחות: הרחבת מערכת הצירים: ארבעת הרביעים - כיתה ז'

תרגול בשאלות פתוחות על מערכת צירים בארבעת הרביעים לכיתה ז': סימון נקודות עם שיעורים שליליים ועבודה עם צורות במערכת. התלמידים מחשבים שטח של משולש לפי קודקודים, מחפשים נקודה שתיצור משולש בחצי השטח, מנווטים במפת משחק מטמון בחצר בית הספר וגם מסרטטים זווית של 120 מעלות מראשית הצירים. יש שאלות ברמה א', רמה ב' ומצוינות. השאלות מתאימות לדף עבודה או למבחן על מערכת הצירים, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא שאפשר להוריד ל-Word.

57 שאלותרמה א': 30רמה ב': 16מצוינות: 11

שאלה 1 · זווית בת 120 מעלות: באיזה רביע עוברת הקרןשאלה קצרה · רמה א'

בר רוצה לסרטט זווית שגודלה 120∘120^\circ120∘ והקודקוד שלה על ראשית הצירים. אחת מהקרניים שלה עוברת דרך הנקודה (0,5)(0,5)(0,5).

באיזה מהרביעים תעבור הקרן השנייה? האם יש יותר מאפשרות אחת?

שאלה 2 · שטח משולש לפני הזזה ואחריהשאלה קצרה · רמה ב'

במערכת הצירים המשולש KLMKLMKLM: K(−6,−4)K(-6,-4)K(−6,−4), L(−1,−4)L(-1,-4)L(−1,−4), M(−3,0)M(-3,0)M(−3,0).
-7-6-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345KLM

א.

חשבו את שטח המשולש KLMKLMKLM.

ב.

מזיזים את המשולש 444 יחידות ימינה ו-333 יחידות למעלה, ומקבלים את המשולש PQRPQRPQR (PPP מתקבלת מ-KKK, QQQ מ-LLL ו-RRR מ-MMM). רשמו את שיעורי PPP, QQQ ו-RRR. מהו שטח המשולש PQRPQRPQR? נמקו בלי לחשב את השטח מחדש.

שאלה 3 · נקודה שיוצרת משולש עם מחצית השטחשאלת ביניים · מצוינות

במערכת הצירים המשולש ABCABCABC: A(−4,0)A(-4,0)A(−4,0), B(4,0)B(4,0)B(4,0), C(0,3)C(0,3)C(0,3).
מחפשים נקודות PPP כך ששטח המשולש APBAPBAPB שווה למחצית משטח המשולש ABCABCABC.
-6-5-4-3-2-1123456-4-3-2-112345ABC

א.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC. מה צריך להיות המרחק של הנקודה PPP מציר xxx? נמקו.

ב.

תנו דוגמה לנקודה PPP ברביע הראשון, ודוגמה לנקודה PPP שאינה ברביע הראשון. בדקו כל אחת בחישוב.

ג.

תנו דוגמה לנקודה PPP ברביע השלישי. כמה נקודות PPP מתאימות יש בסך הכול? הסבירו.

שאלה 4 · משולש שווה שוקיים במערכת ציריםשאלת ביניים · רמה א'

במערכת צירים נתונות הנקודות A(−2,−3)A(-2,-3)A(−2,−3), B(2,−3)B(2,-3)B(2,−3), C(0,4)C(0,4)C(0,4) ו-D(6,−3)D(6,-3)D(6,−3). הנקודות AAA, BBB ו-DDD על ישר אחד.
-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-1123456ABCD

א.

מקפלים את מערכת הצירים לאורך ציר ה-yyy. על איזו נקודה נופלת הנקודה AAA? ומה קורה לנקודה CCC? הסבירו בעזרת זה מדוע AC=BCAC = BCAC=BC, ומיינו את המשולש ABCABCABC לפי צלעותיו.

ב.

נתון: ∠CAB=74∘\angle CAB = 74^\circ∠CAB=74∘. מהו הגודל של ∠CBA\angle CBA∠CBA? נמקו.

ג.

חשבו את ∠CBD\angle CBD∠CBD. נמקו.

שאלה 5 · מפה של משחק מטמון: מרחק מנקודת הזינוקשאלה קצרה · רמה ב'

בחצר בית הספר סימנו מפה של משחק מטמון במערכת צירים. כל יחידה במערכת מייצגת 111 מ'.
נקודת הזינוק נמצאת בראשית הצירים O(0,0)O(0,0)O(0,0). מטמון ראשון הוסתר בנקודה P(8,6)P(8,6)P(8,6), ומטמון שני בנקודה Q(−12,5)Q(-12,5)Q(−12,5).
במערכת הצירים סורטטו בקו מקווקו שני משולשי עזר ישרי זווית, שהניצבים שלהם מקבילים לצירים.
-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678910-2-112345678OPQ

א.

מה המרחק בקו ישר בין נקודת הזינוק OOO למטמון PPP?

ב.

מה המרחק בקו ישר בין נקודת הזינוק OOO למטמון QQQ?

שאלה 6 · כל הנקודות במרחק 5 מהראשיתשאלה קצרה · מצוינות

מחפשים במערכת הצירים נקודות ששני השיעורים שלהן מספרים שלמים.
לדוגמה, הנקודה A(3,4)A(3,4)A(3,4) נמצאת במרחק 555 יחידות מראשית הצירים OOO: במשולש העזר המקווקו הניצבים הם 333 ו-444, ו-32+42=25=523^2 + 4^2 = 25 = 5^232+42=25=52.
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456OA

א.

מצאו את כל הנקודות ששני השיעורים שלהן שלמים, ושמרחקן מהראשית הוא בדיוק 555 יחידות. כמה נקודות כאלה יש? הסבירו איך אתם בטוחים שמצאתם את כולן.

ב.

רוני טוען: "יש נקודה ששני השיעורים שלה שלמים, שאינה על אחד הצירים, ושמרחקה מהראשית בדיוק 333 יחידות". האם רוני צודק? נמקו.

שאלה 7 · משולשים במערכת הציריםשאלת ביניים · רמה א'

במערכת צירים מסומנות הנקודות A(−3,−1)A(-3,-1)A(−3,−1), B(3,−1)B(3,-1)B(3,−1), C(0,2)C(0,2)C(0,2) ו-F(−3,5)F(-3,5)F(−3,5). כל משבצת היא יחידה אחת.
-5-4-3-2-112345-3-2-11234567ABCF

א.

הסבירו למה ∠CAB=45∘\angle CAB = 45^\circ∠CAB=45∘ ולמה ∠CBA=45∘\angle CBA = 45^\circ∠CBA=45∘, וחשבו את ∠ACB\angle ACB∠ACB.

ב.

הסבירו למה הנקודה CCC נמצאת על הקטע BFBFBF, וחשבו את ∠ACF\angle ACF∠ACF ואת ∠FAC\angle FAC∠FAC.

ג.

חשבו את ∠AFC\angle AFC∠AFC, וקבעו את סוג המשולש AFCAFCAFC לפי זוויותיו. מצאו בסרטוט את כל המשולשים האחרים שזוויותיהם 45∘45^\circ45∘, 45∘45^\circ45∘, 90∘90^\circ90∘.

שאלה 8 · אורכי האלכסונים במלבןשאלה קצרה · רמה ב'

מצאו את שני האורכים של שני האלכסונים במלבן שקודקודיו הם:
A(−1,3)A(-1,3)A(−1,3)   B(6,3)B(6,3)B(6,3)   C(6,8)C(6,8)C(6,8)   D(−1,8)D(-1,8)D(−1,8)

פרטו ונמקו תשובתכם.

שאלה 9 · איתור טלפון בעזרת אנטנותשאלה מלאה · מצוינות

אפשר למצוא את המיקום של טלפון לפי המרחקים שלו מכמה אנטנות. במפה במערכת צירים כל יחידה מייצגת 111 ק"מ.
שתי אנטנות נמצאות בנקודות A(−3,0)A(-3,0)A(−3,0) ו-B(3,0)B(3,0)B(3,0), ואנטנה שלישית בנקודה C(4,7)C(4,7)C(4,7).
עובדה שאפשר להשתמש בה: כל נקודה שהמרחק שלה מ-AAA שווה למרחק שלה מ-BBB נמצאת על ציר ה-yyy (בדיוק באמצע בין שתי האנטנות).
-7-6-5-4-3-2-112345678-7-6-5-4-3-2-1123456789ABCP

א.

הטלפון של נועה נמצא במרחק 555 ק"מ מאנטנה AAA ובמרחק 555 ק"מ מאנטנה BBB. הראו שהנקודה P(0,4)P(0,4)P(0,4) מתאימה: חשבו את PAPAPA ואת PBPBPB בעזרת משולשי עזר.

ב.

מצאו נקודה נוספת QQQ, שונה מ-PPP, שגם היא נמצאת במרחק 555 ק"מ מ-AAA ובמרחק 555 ק"מ מ-BBB. הסבירו.

ג.

גם האנטנה CCC מודדת שהטלפון של נועה נמצא במרחק 555 ק"מ ממנה. איפה הטלפון, ב-PPP או ב-QQQ? נמקו בחישוב.

ד.

הטלפון של אורי נמצא במרחק 666 ק"מ מ-AAA ובמרחק 666 ק"מ מ-BBB, מעל ציר ה-xxx. מצאו את שיעורי הנקודה שבה הוא נמצא, בדיוק של 2 ספרות אחרי הנקודה.

ה.

האם יכול להיות טלפון שנמצא במרחק 222 ק"מ מ-AAA וגם במרחק 222 ק"מ מ-BBB? הסבירו.

שאלה 10 · מלבן במערכת צירים כבסיס של תיבהשאלת ביניים · רמה א'

במערכת צירים אורך כל משבצת הוא 111 ס"מ.
המלבן ABCDABCDABCD הוא בסיס של תיבה. שלושה מקודקודי המלבן הם A(−5,1)A(-5,1)A(−5,1), B(−5,−3)B(-5,-3)B(−5,−3), C(2,−3)C(2,-3)C(2,−3).

א.

מהם השיעורים של הקודקוד DDD? מהו שטח המלבן ABCDABCDABCD?

ב.

גובה התיבה 555 ס"מ. מהם השטחים של הפאות הצדדיות של התיבה? מהו שטח הפנים של התיבה?

ג.

על אותו בסיס בונים תיבה אחרת, ושטח הפנים שלה 210210210 סמ"ר. מהו הגובה של התיבה הזאת? הסבירו.

עוד 45 שאלות על הרחבת מערכת הצירים: ארבעת הרביעים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משלוחים ברחפן (שאלה מלאה · רמה ב')
חברת משלוחים מתכננת לשלוח חבילות ברחפן. במפה במערכת צירים, כל יחידה מייצגת $100$ מ'. המחסן נמצא בנקודה $M(-2,-3)$ . בית של לקוח אחד נמצא…
תמיד, לפעמים או אף פעם: טענות על נקודות וקטעים (שאלה קצרה · מצוינות)
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, נכונה לפעמים או אף פעם לא נכונה. נמקו, והביאו דוגמה מתאימה.
ריבוע במערכת צירים כבסיס של תיבה (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת צירים הגודל של כל משבצת הוא 1 סמ"ר. על מערכת הצירים מסורטט ריבוע שקודקודיו הם $A(-2,4)$ $B(-2,-1)$ $C(3,-1)$ $D(?,?)$
באיזה רביע נמצאת הנקודה? (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונות שש נקודות: $A(-3,2)$ , $B(4,-1)$ , $C(0,-5)$ , $D(-2,-6)$ , $E(6,0)$ , $F(1.5,3)$
מלבן שהצירים חוצים: השטחים ברביעים (שאלת ביניים · מצוינות)
צלעות המלבן $ABCD$ מקבילות לצירים, ובכל אחד מארבעת הרביעים יש בדיוק קודקוד אחד שלו. הצירים מחלקים את המלבן לארבעה מלבנים קטנים, אחד בכל…
מגרש משולש בתוכנית של שכונה (שאלה מלאה · רמה א')
בתוכנית של שכונה חדשה מסומן מגרש בצורת המשולש $ABC$ על מערכת צירים. כל יחידה במערכת מייצגת $10$ מ' במציאות. קודקודי המגרש: $A(-4,-3)$ ,…
משטח דשא מלבני בחצר בית הספר (שאלה קצרה · רמה ב')
בתוכנית של חצר בית הספר סימנו מערכת צירים, וכל יחידה בה מייצגת מטר אחד. משטח הדשא הוא מלבן שקודקודיו הם $(-6,-1)$ , $(2,-1)$ , $(2,3)$ …
משולשים באימון כדורגל (שאלה מלאה · מצוינות)
באימון כדורגל המגרש הוא מערכת צירים, וכל יחידה בה מייצגת מטר אחד. שני קונוסים מוצבים בנקודות $A(-4,0)$ ו- $B(2,0)$ . שחקן עומד בנקודה $P$ ,…
אלכסונים וקטע אלכסוני במלבן על מערכת הצירים (שאלה קצרה · רמה א')
במערכת הצירים מסורטט המלבן $KLMN$ שקודקודיו: $K(-5,-2)$ , $L(7,-2)$ , $M(7,3)$ , $N(-5,3)$ . יחידת האורך במערכת היא $1$ ס"מ. הנקודה $S(1,-2)$ …
שטח מלבן לפי שיעורי קודקודיו (שאלה קצרה · רמה ב')
מהו שטחו של מלבן ששיעורי הקודקודים שלו הם: $(-4, 4)$ , $(3, 4)$ , $(3, -2)$ ו- $(-4, -2)$ .
אותן מדידות, שתי דרכים לסמן (שאלת ביניים · מצוינות)
בתחנה בחרמון מדדו את הטמפרטורה כל שעתיים, מ-6:00 בבוקר עד 18:00.
גדר סביב גינה משולשת (שאלת ביניים · רמה א')
בתוכנית של חצר מסורטטת גינה בצורת המשולש $ABC$ : $A(-3,-2)$ , $B(5,-2)$ , $C(2,2)$ . כל יחידה במערכת הצירים מייצגת $1$ מ'. הנקודה $H(2,-2)$ …
שני מקפיאים: מטבלה לנקודות במערכת צירים (שאלת ביניים · רמה ב')
במעבדה הדליקו בבת אחת שני מקפיאים חדשים. ברגע ההדלקה הטמפרטורה במקפיא א' הייתה $10^\circ$ , ובכל שעה היא ירדה ב- $4$ מעלות לעומת השעה הקודמת.…
גינות מלבניות בהיקף נתון (שאלת ביניים · מצוינות)
מתכננים גינה מלבנית שצלעותיה מקבילות לצירים. אחד הקודקודים של הגינה הוא $A(-3,-2)$ , הקודקוד שמול $A$ נמצא ברביע הראשון, וכל השיעורים של…
נקודה בתוך ריבוע במערכת צירים (שאלת ביניים · רמה א')
צלעות הריבוע $ABCD$ מקבילות לצירים. הנקודה $E$ נמצאת בתוך הריבוע (ראה ציור). נתון: $B(-1,4)$ שיעור ה- $x$ של נקודה $C$ הוא $5$ . בכל אחד…
מירושלים לים המלח (שאלת ביניים · רמה ב')
ירושלים נמצאת בגובה 800 מטרים מעל פני הים. ים המלח נמצא 400 מטרים מתחת לפני הים. בנסיעה מירושלים לים המלח, הירידה בגובה היא בקצב קבוע.…
פתקים עם תנאים על נקודה (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל פתק כתוב תנאי על השיעורים של נקודה.
גובה ושטח של משולש שצלע שלו מקבילה לציר (שאלה קצרה · רמה א')
נתון משולש שקודקודיו הם $K(-4,3)$ , $L(-4,-5)$ ו- $M(2,-1)$ .
טמפרטורות בעיר בארגנטינה (שאלת ביניים · רמה ב')
לפניכם גרף המתאר את התוצאות של מדידת הטמפרטורה במעלות צלזיוס בעיר מסוימת בארגנטינה, פעם בחודש, במשך שנה.
שליח בשכונה: הדרך הקצרה ביותר (שאלה קצרה · מצוינות)
שליח על אופניים נוסע בשכונה שהרחובות שלה מקבילים לצירים. כל בלוק הוא יחידה אחת ימינה, שמאלה, למעלה או למטה. השליח יוצא מ- $A(-5,2)$ וצריך…
מוצאים נקודה לפי מרחקים מהצירים (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף מצאו את כל הנקודות המתאימות לתיאור.
מעלית שקופה: מהקומה העליונה לחניון (שאלה מלאה · רמה ב')
במגדל משרדים יש מעלית שקופה שנוסעת גם לחניון שמתחת לקרקע. מודדים את גובה רצפת המעלית ביחס לקרקע: מעל הקרקע הגובה חיובי, ומתחת לקרקע הגובה…
גובה במשולש ושטחו (שאלה קצרה · רמה א')
סרטטו על מערכת הצירים משולש שקודקודיו הם: $A(-3, 1)$ , $B(-7,-2)$ , $C(2,-2)$ . הורידו מהנקודה $A$ גובה לצלע $BC$ וסמנו את נקודת החיתוך ב- $D$ .
השלמת מלבן מתוך שלושה קודקודים (שאלה מלאה · רמה ב')
במערכת צירים נתונות 3 נקודות: $A(-5,-3)$ , $B(4,-3)$ , $D(-5,2)$ .
כמה משולשים ישרי זווית מתאימים? (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש ישר-זווית הזווית הישרה נמצאת בקודקוד $P(1,-2)$ . אחת משתי הצלעות שיוצאות מ- $P$ מקבילה לציר ה- $x$ , והשנייה מקבילה לציר ה- $y$ . אחת מהן…
כרטיסי מיקום (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל כרטיס חסר שיעור אחד או שניים.
רצפת המלתחות: היקף, שטח וחלוקה בקיר (שאלת ביניים · רמה א')
בתוכנית של אולם ספורט סימנו מערכת צירים, וכל יחידה בה מייצגת מטר אחד. רצפת המלתחות היא המצולע $ABCDEFGH$ , וכל צלעותיו מקבילות לצירים.…
כלי במשחק לוח: תנועות על מערכת הצירים (שאלה קצרה · רמה ב')
כלי במשחק לוח יוצא מהנקודה $P(3,1)$ . הוא זז $5$ יחידות שמאלה, אחר כך $4$ יחידות למטה, ולבסוף $2$ יחידות ימינה.
כמה מלבנים מתאימים? (שאלת ביניים · רמה א')
סרטטו על מערכת צירים מלבן שצלעו האחת באורך 3 יחידות, הצלע הסמוכה לה באורך 5 יחידות, ואחד מקודקודיו נמצא בנקודה $(-2, 4)$ .
שטח או היקף? מה עדן חישבה (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת צירים מסורטט המלבן $ABCD$ : $A(-3,-1)$ , $B(2,-1)$ , $C(2,3)$ , $D(-3,3)$ . עדן אמרה: "השטח של המלבן הוא $18$ יחידות ריבועיות".
מסלול ריצה ביום ספורט (שאלה מלאה · רמה א')
ביום ספורט סימנו על המגרש מערכת צירים, וכל יחידה במערכת הצירים מייצגת $10$ מטרים במציאות. שלושה דגלים כבר הוצבו בנקודות $A(-6,2)$ , $B(4,2)$ …
כל המלבנים ששטחם 18 (שאלה קצרה · רמה ב')
מלבן ששטחו $18$ יחידות ריבועיות, ואורכי הצלעות שלו מספרים שלמים.
אסטרטגיה על מגרש הכדורסל (שאלה מלאה · רמה א')
כדי לתכנן מהלכים במשחק כדורסל, מאמנים משתמשים בתרשימים של המגרש. כדי לדייק בניתוח המהלכים, אפשר להתייחס למגרש הכדורסל כמערכת צירים. נתייחס…
תכנון משאיות אוכל בפסטיבל (שאלה מלאה · רמה א')
לרגל חגיגות שנת ה-100 לעיר, הוחלט להקים מתחם "משאיות אוכל" בפארק העירוני. כדי לארגן את המתחם בצורה מסודרת, צוות ההפקה השתמש ברשת קואורדינטות…
השלמת מלבן ומשולש בשטח נתון ברביעים אחרים (שאלה מלאה · רמה א')
בסרטוט מסומנות שתי נקודות $A(-4,1)$ ו- $B(1,1)$ . בכל אחד מהסעיפים הבאים סמנו נקודות נוספות ברביעים השונים מהרביעים של הנקודות $A$ ו- $B$ בהתאם…
טמפרטורות בלילה, ביחס לחצות (שאלה קצרה · רמה א')
בתחנה מטאורולוגית ברמת הגולן מדדו את הטמפרטורה במשך לילה אחד. את הזמן רשמו בשעות ביחס לחצות: מספר שלילי הוא לפני חצות, ומספר חיובי הוא אחרי…
צוללת מחקר ושחף (שאלה מלאה · רמה א')
צוללת מחקר יוצאת מפני הים (גובה $0$ ) וצוללת ישר למטה. בכל דקה היא יורדת $15$ מ'. אחרי $4$ דקות היא נעצרת ונשארת באותו עומק $2$ דקות, ואז…
מרחק בין נקודות: הכפלת שיעורים, החלפת סימנים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים הנקודות $P(-2,1)$ ו- $Q(4,9)$ . יחידת האורך במערכת היא $1$ ס"מ. הקו המקווקו הוא משולש העזר $PRQ$ , שבו $R(4,1)$ .
נקודה במרחק נתון: על ישר ועל ציר (שאלה קצרה · רמה א')
במערכת הצירים הנקודה $P(1,2)$ והישר $\ell$ (הקו האופקי בסרטוט), שעליו כל הנקודות ששיעור ה- $y$ שלהן הוא $8$ . יחידת האורך במערכת היא $1$ ס"מ.
דגימות מיקום של רחפן (שאלת ביניים · רמה א')
אפליקציה רשמה את מיקום הרחפן של אורי בכמה דקות. בין הדגימות אין מידע על הדרך שבה טס הרחפן, אבל הוא טס בלי לקפוץ ממקום למקום. במפה יש מערכת…
אורך של קטע שחוצה ציר (שאלה קצרה · רמה א')
במערכת צירים נתונות הנקודות $A(-6,2)$ , $B(3,2)$ , $C(3,-5)$ ו- $D(-1,2)$ .
כל הנקודות לפי המרחקים מהצירים (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה הזאת מחפשים את כל האפשרויות.
שני שטיחים: שטח שווה, היקף שונה (שאלה קצרה · רמה א')
על רצפה של אולם סימנו מערכת צירים. שטיח א הוא מלבן שקודקודיו $(-6,1)$ , $(-2,1)$ , $(-2,-5)$ , $(-6,-5)$ . שטיח ב הוא מלבן שקודקודיו $(-1,3)$ ,…
נקודות לפי תנאי: איפה הן במערכת הצירים? (שאלה קצרה · רמה א')
נתונים שלושה תנאים על נקודות במערכת צירים: (1) שיעור ה- $y$ של הנקודה הוא $-2$ . (2) שיעור ה- $x$ של הנקודה שלילי, ושיעור ה- $y$ שלה חיובי. (3)…
אורך שלילי? הטעויות של ליאור (שאלה קצרה · רמה א')
מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, ושני קודקודים נגדיים שלו הם $P(-5,2)$ ו- $R(3,-4)$ . ליאור כתב: "האורך הוא $3-5=-2$ , הרוחב הוא $2-4=-2$ , ולכן…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נכון או לא נכון: מלבן ורביעים (שאלה קצרה · מצוינות)
צלעות המלבן $EFGH$ מקבילות לצירים: $E(-6,-2)$ , $F(1,-2)$ , $G(1,3)$ , $H(-6,3)$ . החליטו אם כל טענה נכונה. טענה…
קבוצות של נקודות: ישרים המקבילים לצירים (שאלה קצרה · רמה א')
סרטטו מערכת צירים, וענו על הסעיפים.