שאלות פתוחות: שורש ריבועי חיובי ואומדן שורש - כיתה ז'

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על שורש ריבועי ואומדן שורש לכיתה ז', כולל מציאת שני מספרים שלמים שהשורש נמצא ביניהם בלי מחשבון. השאלות מחברות את השורש לגאומטריה: צלע של ריבוע לפי שטחו, אלכסון של מסך, שרשרת משולשים ישרי זווית ומלבנים במערכת צירים. יש גם טענות על שורשים שצריך לבדוק בחישוב. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. כאן מרכיבים מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה ואפשרות להוריד את הדף ל-Word.

65 שאלותרמה א': 31רמה ב': 19מצוינות: 15

שאלה 1 · גודל של מסך לפי האלכסוןשאלה קצרה · רמה א'

את הגודל של מסך (של טלוויזיה או של מחשב) מתארים לפי אורך האלכסון שלו. המסך הוא מלבן, והאלכסון מחבר שתי פינות נגדיות.

א.

למסך של מחשב נייד יש אלכסון באורך 404040 ס"מ, ורוחב המסך 323232 ס"מ. מה גובה המסך?

ב.

למסך טלוויזיה יש רוחב 808080 ס"מ וגובה 454545 ס"מ. כתבו את אורך האלכסון בעזרת שורש, קבעו בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים הוא נמצא, ואז חשבו אותו במחשבון בדיוק של 2 ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 2 · ריבוע ומשולשים על המשך הצלעשאלת ביניים · רמה ב'

KLMNKLMNKLMN הוא ריבוע ששטחו 161616 סמ"ר.
הנקודה QQQ נמצאת על הצלע MNMNMN, והנקודה PPP נמצאת על המשך הצלע NMNMNM. נתון: QM=MP=1QM=MP=1QM=MP=1 ס"מ.
KLMNQP

א.

מהו אורך הצלע של הריבוע? נמקו.

ב.

חשבו את שטח המשולש LQPLQPLQP.

ג.

חשבו את שטח המרובע KLPNKLPNKLPN ואת שטח המרובע KLQNKLQNKLQN.

שאלה 3 · שרשרת של משולשים ישרי זוויתשאלת ביניים · מצוינות

בונים שרשרת של משולשים ישרי זווית.
המשולש הראשון הוא OABOABOAB: OA=AB=1OA = AB = 1OA=AB=1 ס"מ, ו-∠OAB=90∘\angle OAB = 90^\circ∠OAB=90∘.
כל משולש נוסף בנוי על היתר של המשולש שלפניו: הניצב הראשון שלו הוא היתר הקודם, והניצב השני שלו מאונך אליו ותמיד באורך 111 ס"מ.
כך המשולש השני הוא OBCOBCOBC (BC=1BC = 1BC=1, ∠OBC=90∘\angle OBC = 90^\circ∠OBC=90∘), השלישי OCDOCDOCD, הרביעי ODEODEODE, וכן הלאה.
OABCDE

א.

חשבו את אורכי היתרים OBOBOB, OCOCOC, ODODOD ו-OEOEOE. כתבו אותם בעזרת שורש, ואם השורש הוא מספר שלם כתבו את המספר.

ב.

מה יהיה אורך היתר במשולש העשירי בשרשרת? הסבירו את החוק בעזרת ריבועי האורכים.

ג.

באיזה משולש בשרשרת היתר יהיה באורך 333 ס"מ? ובאיזה משולש היתר יהיה לראשונה ארוך מ-555 ס"מ? נמקו.

שאלה 4 · בין אילו שלמים נמצא השורששאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף נמקו בעזרת ריבועים של מספרים שלמים. בלי מחשבון.

א.

השלימו בכל שורה את שני המספרים השלמים העוקבים הקרובים ביותר:
□<40<□\square<\sqrt{40}<\square□<40​<□
□<95<□\square<\sqrt{95}<\square□<95​<□
□<130<□\square<\sqrt{130}<\square□<130​<□

ב.

רשמו את כל המספרים השלמים שגדולים מ-20\sqrt{20}20​ וקטנים מ-70\sqrt{70}70​.

שאלה 5 · חישוב שורש ריבועי ומציאת המספר שמתחת לשורששאלה קצרה · רמה ב'

השורש הריבועי של מספר חיובי הוא המספר החיובי שהריבוע שלו שווה למספר. למשל, 25=5\sqrt{25}=525​=5, כי 52=255^2=2552=25.

א.

חשבו: 49\sqrt{49}49​ , 121\sqrt{121}121​ , 0\sqrt{0}0​ , 925\sqrt{\frac{9}{25}}259​​. בדקו כל תשובה בהעלאה בריבוע.

ב.

השלימו את המספר החסר במשבצת: □=8\sqrt{\square}=8□​=8 , □=12\sqrt{\square}=12□​=12 , □=14\sqrt{\square}=\frac{1}{4}□​=41​.

שאלה 6 · חקירה: מלבנים מהראשית עם אותו שטחשאלה מלאה · מצוינות

במערכת צירים כל יחידה היא 111 ס"מ. בונים מלבנים OAPBOAPBOAPB כך:
•קודקוד אחד הוא ראשית הצירים O(0,0)O(0,0)O(0,0);
•הקודקוד AAA נמצא על ציר ה-xxx, והקודקוד BBB על ציר ה-yyy;
•הקודקוד PPP, שמול OOO, הוא נקודה ששני השיעורים שלה שונים מאפס.
למשל, כשהנקודה PPP היא (−4,3)(-4,3)(−4,3) מתקבל המלבן הזה:
-6-5-4-3-2-1123-2-112345OABP

א.

כאשר P(−4,3)P(-4,3)P(−4,3): מהם השיעורים של AAA ושל BBB? מהם השטח וההיקף של המלבן?

ב.

מצאו את כל הנקודות PPP ברביע השני ששני השיעורים שלהן מספרים שלמים, והמלבן שלהן הוא בשטח 121212 סמ"ר.

ג.

לכל המלבנים שמצאתם בסעיף ב אותו שטח. האם יש להם גם אותו היקף? מהו ההיקף הקטן ביותר ומהו הגדול ביותר, ולאילו נקודות?

ד.

כמה נקודות PPP עם שיעורים שלמים יש בכל מערכת הצירים (בכל ארבעת הרביעים), כך שהמלבן הוא בשטח 121212 סמ"ר? הסבירו.

ה.

האם יש נקודה PPP ברביע השני (לא בהכרח עם שיעורים שלמים), כך ש-OAPBOAPBOAPB הוא ריבוע ששטחו 121212 סמ"ר? אם כן, בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא שיעור ה-yyy שלה? נמקו.

שאלה 7 · נכון או לא נכון: מלכודות בשורשיםשאלה קצרה · רמה א'

קבעו לכל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו בחישוב.

(1) 36+64=36+64\sqrt{36+64}=\sqrt{36}+\sqrt{64}36+64​=36​+64​
(2) 1649=47\sqrt{\frac{16}{49}}=\frac{4}{7}4916​​=74​
(3) 1600=400\sqrt{1600}=4001600​=400
(4) 4+4=16\sqrt{4}+\sqrt{4}=\sqrt{16}4​+4​=16​

שאלה 8 · גדר סביב חצר ריבועית: מהשטח להיקףשאלה קצרה · רמה ב'

לחצר של בית יש צורה של ריבוע, ושטחה 818181 מ"ר. רוצים להקיף את החצר בגדר.

א.

כמה מטרים של גדר צריך? בחרו בתשובה הנכונה ונמקו.
(1) 999 מ'
(2) 20.2520.2520.25 מ'
(3) 363636 מ'
(4) 324324324 מ'

ב.

לחצר אחרת, שגם לה צורה של ריבוע, דרושים 404040 מטרים של גדר. מה שטח החצר הזו?

שאלה 9 · תמיד, לפעמים או אף פעם: גודל השורששאלה קצרה · מצוינות

לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. נמקו. לטענה שנכונה לפעמים תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה שבה אינה נכונה.

א.

השורש הריבועי של מספר חיובי קטן מהמספר עצמו.

ב.

השורש הריבועי של מספר טבעי דו-ספרתי גדול מ-333 וקטן מ-101010.

שאלה 10 · אריחים ריבועיים לכיסוי שולחןשאלת ביניים · רמה א'

בחנות מוכרים אריחים ריבועיים בכמה גדלים. על כל אריזה רשום השטח של אריח אחד, בסמ"ר:
999 , 121212 , 363636 , 505050 , 818181 , 100100100 , 144144144
בכל סעיף פרטו את החישוב.

א.

לאילו מהאריחים אורך הצלע הוא מספר שלם של ס"מ? לכל אחד מהם רשמו את אורך הצלע.

ב.

המשטח של שולחן הוא ריבוע ששטחו 360036003600 סמ"ר. רוצים לכסות אותו כולו באריחים זהים מאחד הסוגים שמצאתם בסעיף א, בלי לחתוך אריחים ובלי רווחים. אילו סוגים מתאימים? נמקו.

ג.

בוחרים באריח הגדול ביותר שמתאים. כמה אריחים כאלה צריך? מצאו את התשובה בשתי דרכים.

עוד 39 שאלות על שורש ריבועי חיובי ואומדן שורש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מגדילים רחבת ריקודים ריבועית (שאלת ביניים · רמה ב')
באולם אירועים יש רחבת ריקודים בצורת ריבוע, ששטחה $121$ מ"ר.
השטח גדל פי כמה - והצלע? (שאלת ביניים · מצוינות)
נתון ריבוע שאורך הצלע שלו $4$ ס"מ.
אומדן סכום של שורשים (שאלת ביניים · רמה א')
בלי לחשב את השורשים במדויק ובלי מחשבון.
חדר בריחה: קוד מתוך שורשים (שאלה מלאה · רמה ב')
בחדר בריחה יש דלת נעולה. כדי לפתוח אותה צריך לפתור שלושה רמזים. כל רמז הוא תרגיל, והתוצאה שלו היא מספר.
חקירה: מספרים ששורשם בין שני שלמים, ולאיזה שלם הוא קרוב (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה זו חוקרים מספרים טבעיים שהשורש שלהם אינו מספר שלם. בלי מחשבון.
מדשאה ריבועית ושביל סביבה (שאלה מלאה · רמה א')
בפארק יש מדשאה בצורת ריבוע $EFGH$ , ששטחה $225$ מ"ר. מסביב למדשאה, מכל ארבעת הצדדים, יש שביל ברוחב $2$ מ'. המדשאה והשביל יחד יוצרים ריבוע…
נכון או לא נכון: שורש של סכום (שאלה קצרה · רמה ב')
רשמו נכון או לא נכון. נמקו.
מספרים מיוחדים מתחת לשורש (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה הזאת מחפשים מספרים שמתאימים למשבצות.
אומדן שורשים והשוואה (שאלה קצרה · רמה א')
אמדו, ברמת דיוק של שלם את כל אחד מהשורשים והסבירו מדוע
היקף ריבוע ששטחו 144 סמ"ר (שאלה קצרה · רמה ב')
שטחו של ריבוע הוא $144$ סמ"ר.
חקירה: מתי מספר קטן מהריבוע שלו ומתי מהשורש שלו (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה הזאת חוקרים איך מספר נמצא ביחס לריבוע שלו ולשורש הריבועי שלו. בלי מחשבון.
איזה מספר קטן מהריבוע שלו (שאלה קצרה · רמה א')
על ציר המספרים שלפניכם מסומנים ארבעה מספרים $P$ , $Q$ , $R$ ו- $S$ . $P$ נמצא בין $-3$ ל- $-2$ , $Q$ הוא $0$ , $R$ נמצא בין $0$ ל- $1$ , ו- $S$ הוא…
השוואת מספר שלם לשורש (שאלה קצרה · רמה ב')
סמנו $<$ או $>$ :
שטיחים ריבועיים שיחד יש להם שטח נתון (שאלה קצרה · מצוינות)
בחנות יש שטיחים ריבועיים בכל גודל, ואורך הצלע של כל שטיח הוא מספר שלם של מטרים.
שטיחים ריבועיים לחדר אימון (שאלת ביניים · רמה א')
בחנות שטיחים, כל השטיחים הם במידות של מספרים שלמים. אפרת רוצה לקנות שטיחים בצורת ריבוע. היא הבחינה שעל כמה מדפים מצוין שטח שהוא מספר ריבועי…
השלמים הקרובים ביותר לשורש של 22 (שאלה קצרה · רמה ב')
השלימו את המספרים השלמים הקרובים ביותר ל- $\sqrt{22}$ במשבצות:
מרחק שלם והפרשים שלמים: שתי טענות (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה מדובר על המרחק בין שתי נקודות במערכת צירים, ועל ההפרשים בין השיעורים שלהן: ההפרש האופקי (בין שיעורי ה- $x$ ) וההפרש האנכי (בין שיעורי…
טורניר הגיימינג הגדול: "שורד החלל" (שאלה מלאה · רמה א')
טורניר הגיימינג הגדול: "שורד החלל" תלמידי שכבה ז' משתתפים בטורניר משחק המחשב "שורד החלל". כל שחקן צריך לנהל את הניקוד שלו בלוח בקרה דינמי.…
חנות ריבועית: צלע ושטח אחרי הקטנה (שאלת ביניים · רמה ב')
חנות ריבועית קיבלה שטח של $400$ מ״ר להשכרה. הבעלים רוצה לדעת כמה מטרים יש בכל צלע של רצפת החנות.
שורש של סכום לעומת סכום של שורשים (שאלה קצרה · מצוינות)
המספרים $a$ ו- $b$ אינם שליליים. משווים בין $\sqrt{a+b}$ לבין $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .
המספר החסר מתחת לשורש (שאלה קצרה · רמה א')
בכל תרגיל חסר המספר שמתחת לשורש. מצאו אותו, ובדקו את התשובה בהצבה.
מהשורש אל המספר שמתחתיו (שאלה קצרה · רמה ב')
$\sqrt{25}=5$ , כי $5^2=25$ . כשהשורש ידוע, מוצאים את המספר שמתחת לשורש בהעלאה של השורש בריבוע.
ריבועים מושלמים בתחום, זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · מצוינות)
ריבוע מושלם הוא מספר שהוא ריבוע של מספר שלם, כמו $49=7^2$ .
מכונת השורש של תמר (שאלת ביניים · רמה א')
תמר בנתה "מכונת מספרים". מכניסים למכונה מספר, המכונה מוציאה לו שורש ריבועי, מוסיפה לתוצאה $5$ ומציגה את התוצאה הסופית. למשל, אם מכניסים $9$ ,…
מספר או הריבוע שלו: מי גדול יותר? (שאלה קצרה · רמה ב')
בשאלה הזאת משווים כל מספר לריבוע שלו.
ההפרש בין שני ריבועים עוקבים (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה הזו בודקים את ההפרש בין ריבועים של שני מספרים שלמים עוקבים.
מספר, ריבוע ושורש: הסדר מתהפך (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף סדרו את שלושת המספרים מהקטן לגדול. בלי מחשבון.
מסדרים מדבקות לריבוע (שאלה קצרה · רמה ב')
ליעל יש מדבקות קטנות בצורת ריבוע, כולן באותו גודל. היא רוצה להדביק את כל המדבקות שלה צמודות זו לזו כך שייווצר ריבוע גדול אחד, בלי חורים ובלי…
צלע ושטח: איזה מספר גדול יותר? (שאלת ביניים · רמה א')
לכל ריבוע יש אורך צלע (במטרים) ושטח (במ"ר). בשאלה הזאת משווים בין המספר של אורך הצלע לבין המספר של השטח.
תשעה אריחים ריבועיים (שאלה קצרה · רמה ב')
אריח בצורת ריבוע, והשטח שלו $36$ סמ"ר.
לוחות גומי ריבועיים לחדר כושר (שאלה קצרה · רמה א')
רצפת חדר כושר היא מלבן שמידותיו $6$ מ' על $9$ מ'. רוצים לכסות את כל הרצפה בלוחות גומי ריבועיים זהים, בלי לחתוך לוחות ובלי שיישאר מקום ריק.…
שורש של מספר עשרוני (שאלה קצרה · רמה ב')
דוגמה: $0.3\cdot 0.3=0.09$ , ולכן $\sqrt{0.09}=0.3$ . בלי מחשבון.
ריצוף חצר ריבועית (שאלה מלאה · רמה א')
חצר של בית ספר היא ריבוע ששטחו $144$ מ"ר. רוצים לרצף את כל החצר באריחים ריבועיים זהים, בלי לחתוך אריחים. בחנות יש ארבעה סוגי אריחים…
סכום של מספרים אי-זוגיים (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה הזו מחברים מספרים אי-זוגיים לפי הסדר, החל מ- $1$ .
שורש מול מספר עשרוני: משווים בעזרת ריבועים (שאלה קצרה · רמה א')
בלי מחשבון. רמז: מבין שני מספרים חיוביים, הגדול הוא זה שהריבוע שלו גדול יותר.
לוח איקס-עיגול ענק (שאלה קצרה · רמה א')
בחצר בית הספר צבעו על הרצפה לוח ריבועי למשחק איקס-עיגול. שטח הלוח $36$ מ"ר, והוא מחולק ל- $9$ משבצות ריבועיות זהות: $3$ שורות של $3$ משבצות.
שורשים של מספרים שמסתיימים באפסים (שאלה קצרה · רמה א')
בלי מחשבון. בדקו כל שורש בכפל.
ארגז חול במרכז חצר (שאלת ביניים · רמה א')
חצר היא הריבוע $ABCD$ , ושטחה $100$ מ"ר. במרכז החצר יש ארגז חול בצורת הריבוע $EFGH$ , והצלעות שלו מקבילות לגדר של החצר. החלק של החצר שמחוץ…
שורש ריבועי: ערך אחד בלבד (שאלה קצרה · רמה א')
שתי שאלות שנראות דומות: "אילו מספרים, כשמעלים אותם בריבוע, נותנים $64$ ?" ו"מהו $\sqrt{64}$ ?"

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (16)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

אילו מספרים הם ריבועים? (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם שישה מספרים: $196$ , $200$ , $225$ , $250$ , $361$ , $400$ .
מרצפת ריבועית (שאלה קצרה · רמה ב')
במטבח של משפחת לוי רוצפו מרצפות ריבועיות. השטח של כל מרצפת הוא $1{,}600$ סמ"ר.
בין אילו שלמים, ולאיזה קרוב יותר? (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף קבעו בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא השורש, ולאיזה מהם הוא קרוב יותר. היעזרו בריבועים של…
שורש, ריבוע ומינוס (שאלה קצרה · רמה ב')
בשאלה הזו עובדים עם המספרים $81$ ו- $9$ .
מצאו את המספר לפי השורש שלו (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף מתואר מספר שלם $n$ . מצאו אותו, ונמקו.
שורשים של שברים ושל מספרים עשרוניים (שאלה קצרה · רמה א')
חשבו בלי מחשבון.
כמה שורשים בין שני שלמים? (שאלה קצרה · מצוינות)
נבדוק כמה מספרים שלמים $n$ יש, שהשורש שלהם נמצא בין שני מספרים שלמים עוקבים (לא כולל הקצוות).
שורש גדול מהמספר? (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו $a$ ו- $b$ הם מספרים חיוביים.
שורשים ומספרים שלמים בשורה אחת (שאלת ביניים · רמה ב')
על ציר המספרים רוצים לסמן את המספרים $\sqrt{30}$ , $5$ , $\sqrt{47}$ , $7$ , $\sqrt{20}$ .
חצר ריבועית מחולקת לריבועים (שאלת ביניים · רמה א')
חצר בית הספר היא ריבוע ששטחו $441$ מ"ר.
יריעה ריבועית לסוכך משולש (שאלת ביניים · רמה א')
סוכך צל הוא משולש ישר זווית $ABC$ : הזווית $C$ ישרה, $AC=12$ מ' ו- $BC=16$ מ'. במחסן יש יריעה ריבועית ששטחה…
שתי ערוגות: הערכה בעשיריות (שאלת ביניים · רמה א')
ערוגה ריבועית בגינה הקהילתית היא בשטח $40$ מ"ר. עונים בלי מחשבון.
אולם ספורט ריבועי (שאלה מלאה · רמה א')
רצפת אולם הספורט $ABCD$ היא ריבוע ששטחו $225$ מ"ר. הקו המקווקו $AC$ הוא שביל אלכסוני שמסמנים על הרצפה.
מכונת ריבוע ומכונת שורש (שאלה מלאה · רמה א')
במשחק מחשב יש שתי מכונות: מכונה א' מקבלת מספר ומוציאה את הריבוע שלו. מכונה ב' מקבלת מספר שאינו שלילי ומוציאה…
מפה מרובעת וסרט על האלכסון (שאלה קצרה · רמה א')
מפת שולחן בצורת ריבוע. השטח שלה $2{,}500$ סמ"ר.
משולש ישר זווית מסובב, וריבוע באותו שטח (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $GHK$ הזווית $\angle HGK$ ישרה. נתון: $GH=8$ ס"מ, $HK=17$ ס"מ.