שאלות פתוחות: אינטרפולציה ואקסטרפולציה - כיתה ח'

בעמוד זה שאלות פתוחות על אינטרפולציה ואקסטרפולציה לכיתה ח': אומדן ערך בין שתי מדידות או מחוץ להן, בהנחה שהשינוי בקצב קבוע. יש טיפוס בשביל הר, גובה של שתיל עגבנייה, מספר החברים במועדון שחמט לאורך שנים, טמפרטורות בתחנת מזג אוויר, מספר התושבים בשני יישובים ונתוני אוכלוסייה. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. השאלות מתאימות לבוחן או לדף עבודה, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא שאפשר להוריד ל-Word.

41 שאלותרמה א': 16רמה ב': 16מצוינות: 9

שאלה 1 · טיפוס בהר: מתי הגיעו לגובה נתוןשאלה קצרה · רמה א'

נוֹגָה טיפסה בשביל בהר בקצב קבוע. שעה אחת אחרי שיצאה לדרך היא הייתה בגובה 420420420 מטר מעל פני הים, וארבע שעות אחרי שיצאה היא הייתה בגובה 780780780 מטר מעל פני הים.

א.

כמה שעות אחרי שיצאה לדרך הייתה נוגה בגובה 660660660 מטר? בדקו את התשובה.

ב.

באיזה גובה התחילה נוגה את הטיפוס? מה התוצאה מלמדת על נקודת היציאה?

שאלה 2 · גובה של שתיל בין שתי מדידותשאלה קצרה · רמה ב'

נטע מדדה את הגובה של שתיל עגבנייה. ביום ה-222 אחרי השתילה גובהו היה 888 ס"מ, וביום ה-666 גובהו היה 141414 ס"מ. נניח שבין שתי המדידות השתיל גדל בקצב קבוע.

א.

העריכו את גובה השתיל ביום ה-444.

ב.

נטע רוצה להעריך גם את גובה השתיל ביום ה-999. האם זו הערכה באינטרפולציה או באקסטרפולציה? נמקו.

שאלה 3 · הערכה בעזרת אותשאלה קצרה · מצוינות

מודדים גודל מסוים בשעות שונות. בשעה 222 הערך היה aaa, ובשעה 666 הערך היה a+12a+12a+12. בין שתי המדידות הגודל משתנה בקצב קבוע.

א.

כתבו ביטוי (בעזרת aaa) להערכה בשעה 333, וביטוי להערכה בשעה ttt, כאשר ttt מספר בין 222 ל-666.

ב.

מדידה שלישית בשעה 101010 נתנה a+20a+20a+20. העריכו את הערך בשעה 888, והסבירו מדוע לא כדאי להשתמש כאן בקצב של סעיף א.

שאלה 4 · חברי מועדון השחמט: האמצע של הערכים ושל השניםשאלה קצרה · רמה א'

במועדון שחמט רשמו את מספר החברים: בשנת 201820182018 היו 240240240 חברים, ובשנת 202420242024 היו 330330330 חברים. נניח שמספר החברים גדל בקצב קבוע.

א.

העריכו את מספר החברים בשנת 202220222022.

ב.

יואב אמר: "האמצע בין 240240240 ל-330330330 הוא 285285285, ולכן בשנת 202220222022 היו 285285285 חברים." האם יואב צודק? הסבירו, וכתבו לאיזו שנה מתאים המספר 285285285.

שאלה 5 · הטמפרטורה בבוקר: הערכה מגרףשאלה קצרה · רמה ב'

בתחנת מזג אוויר מדדו את הטמפרטורה בשעות 6:006:006:00, 8:008:008:00, 10:0010:0010:00 ו-12:0012:0012:00. המדידות מסומנות בגרף כנקודות, וחוברו בקטעים ישרים.
‫שעה‬‫טמפרטורה (מעלות)‬45678910111213024681012141618202224262830

א.

העריכו את הטמפרטורה בשעה 9:009:009:00.

ב.

העריכו את הטמפרטורה בשעה 5:005:005:00, בהנחה שבין 5:005:005:00 ל-6:006:006:00 הטמפרטורה עלתה באותו קצב כמו בין 6:006:006:00 ל-8:008:008:00. האם זו אינטרפולציה או אקסטרפולציה?

שאלה 6 · שני יישובים: מתי ישתוושאלת ביניים · מצוינות

בטבלה מספר התושבים בשני יישובים בשנים 201520152015 ו-202020202020:
שנה20152020
יישוב א'18,00021,000
יישוב ב'30,00028,000
נניח שבכל יישוב מספר התושבים משתנה בקצב קבוע, וכך יימשך גם בשנים הבאות.

שנה	2015	2020
יישוב א'	18,000	21,000
יישוב ב'	30,000	28,000

א.

בכמה תושבים משתנה מספר התושבים בכל שנה, בכל יישוב?

ב.

באיזו שנה יהיה מספר התושבים בשני היישובים שווה? כמה תושבים יהיו אז בכל יישוב?

ג.

באיזו שנה (לפי אותם קצבים) ההפרש בין היישובים היה 9,0009{,}0009,000 תושבים? האם זו אינטרפולציה או אקסטרפולציה? איזו מבין ההערכות בסעיפים ב ו-ג אמינה יותר, ולמה?

שאלה 7 · אוכלוסייה בקצב גידול אחידשאלה קצרה · רמה א'

בטבלה מוצגים נתוני אוכלוסיה (במיליוני תושבים) בשנים שונות
שנהאוכלוסייה (במיליונים)
20102.0
20163.2
ידוע כי קצב הגידול בין השנים אחיד (כלומר, שינוי ליניארי).

שנה	אוכלוסייה (במיליונים)
2010	2.0
2016	3.2

א.

העריכו (באינטרפולציה) את גודל האוכלוסייה בשנת 2014. פרטו את חישוביכם.

ב.

תלמיד אמר: "אם בין 2.0 לבין 3.2 זה 1.2 מיליון, אז האמצע הוא 2.6 מיליון — לכן זה כנראה הערך ב-2014". האם הוא צודק? הסבר.

שאלה 8 · השכר החסר במרץשאלה קצרה · רמה ב'

נתוני השכר החודשי (בש"ח) של עובד בחמשת החודשים הראשונים בשנת 2025 הם:
ינואר — 7,200
פברואר — 7,400
מרס — ?
אפריל — 7,900
מאי — 8,200

העריכו באמצעות אינטרפולציה לינארית את השכר החסר במרץ. פרטו את חישוביכם.

שאלה 9 · רכיבה על אופניים: הערכות בין מדידות ואחריהןשאלה מלאה · מצוינות

אלון רכב על אופניים, ושעון הכושר שלו רשם בכמה רגעים את המרחק שעבר מתחילת הרכיבה:
זמן מתחילת הרכיבה (דקות)0102540
מרחק (ק"מ)03912
בכל ההערכות נניח שבין שתי מדידות סמוכות אלון רכב בקצב קבוע.

זמן מתחילת הרכיבה (דקות)	0	10	25	40
מרחק (ק"מ)	0	3	9	12

א.

הערכו את המרחק שעבר אלון אחרי 303030 דקות.

ב.

דנה הציעה: "נחשב את הממוצע של 999 ושל 121212, ונקבל 10.510.510.5 ק"מ." לאיזה רגע מתאימה ההערכה של דנה? מדוע היא אינה מתאימה לדקה ה-303030?

ג.

אחרי כמה דקות רכיבה (בהערכה) עבר אלון 666 ק"מ?

ד.

אלון המשיך לרכוב. לפני שבדק בשעון, הוא העריך את המרחק אחרי 606060 דקות לפי הקצב של הקטע האחרון. אחר כך ראה בשעון שאחרי 606060 דקות עבר 141414 ק"מ. מה הייתה ההערכה שלו, ומה ההבדל בין ההערכה למדידה מלמד?

ה.

טענה: "אם מעריכים, בקצב קבוע, את הערך בזמן שנמצא בדיוק באמצע בין שתי מדידות סמוכות, מקבלים תמיד את הממוצע של שני הערכים שנמדדו." האם הטענה נכונה תמיד? הסבירו בנימוק כללי, ולא רק בדוגמה.

שאלה 10 · מכירת משקאות קליםשאלה קצרה · רמה א'

‫מכירת משקאות קלים‬‫מיץ תפוזים‬‫מיץ אשכוליות‬010203040506010203040404550551998199920002001‫שנה‬‫מספר בקבוקים (מיליונים)‬

א.

הגרף מראה את המכירות של שני סוגי משקאות במשך 4 שנים. באיזו שנה הִשְׁתַווּ מכירות מיץ התפוזים למכירות מיץ האשכוליות, אם מגמת המכירות נמשכה ב-10 השנים שלאחר מכן?
א. 2003
ב. 2004
ג. 2005
ד. 2006

ב.

כמה בקבוקים של מיץ אשכוליות נמכרו בשנה בממוצע בשנים 1998 עד 2001?

עוד 31 שאלות על אינטרפולציה ואקסטרפולציה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

כרטיסים להופעה: כמה נשארו (שאלת ביניים · רמה ב')
בקופה של אולם התחילו למכור כרטיסים להופעה. בכל יום נמכר אותו מספר של כרטיסים. בטבלה מספר הכרטיסים שעוד לא נמכרו:
טמפרטורה בחממה: כמה פעמים ביום (שאלה קצרה · מצוינות)
בחממה מדדו את הטמפרטורה ארבע פעמים ביום אחד: בשעה 6:00 היא הייתה $12^\circ$ , בשעה 10:00 $28^\circ$ , בשעה 14:00 $32^\circ$ ובשעה 18:00…
צפיות בסרטון: איזה קצב לבחור (שאלת ביניים · רמה א')
תמר העלתה סרטון לרשת. בשלושה ימים היא בדקה כמה צפיות היו לסרטון מאז שהועלה (באלפים): בין כל שתי בדיקות סמוכות מספר הצפיות גדל בקצב קבוע.
התקדמות רץ באימון (שאלת ביניים · רמה ב')
התקדמות רץ באימון טבלת זמן ריצה (דקות) למרחק 5 ק"מ: בכל סעיף פרטו את חישוביכם
נכון תמיד? הערכה באמצע ושינוי בקטע (שאלה קצרה · מצוינות)
מודדים גודל כלשהו בכמה קלטים, ומחברים כל שתי מדידות סמוכות בקטע. בכל הערכה בין שתי מדידות סמוכות מניחים שהקצב ביניהן קבוע. בכל סעיף קבעו אם…
מחיר מכונית לפי הגיל: משוואת ישר (שאלת ביניים · רמה א')
המחיר של מכונית משומשת מדגם מסוים יורד עם השנים. מכונית בת $2$ שנים נמכרת ב- $96{,}000$ ש"ח, ומכונית בת $6$ שנים נמכרת ב- $72{,}000$ ש"ח. נניח…
חימום מים בקומקום (שאלה מלאה · רמה ב')
מחממים מים בקומקום. הטמפרטורה עולה בקצב קבוע עד שהמים רותחים ב- $100$ מעלות, ואז היא נשארת $100$ מעלות. בטבלה המדידות. בדקה ה- $8$ שכחו לרשום…
כוס תה מתקררת: שני ביטויים (שאלת ביניים · מצוינות)
כוס תה חם עומדת על השולחן. מדדו את הטמפרטורה שלה שלוש פעמים: $2$ דקות אחרי המזיגה היא הייתה $76^\circ$ , אחרי $5$ דקות $64^\circ$ , ואחרי $10$ …
קורקינטים חשמליים: מכירות ונפגעים (שאלה מלאה · רמה א')
במדינה דמיונית אספו נתונים על מכירת קורקינטים חשמליים ועל מספר הנפגעים מקורקינטים שטופלו בבתי חולים, בשנים $2019$ עד $2024$ . דיאגרמה ראשונה:…
תחזית צריכת חשמל בבית (שאלה מלאה · רמה ב')
תחזית צריכת חשמל בבית בטבלה מוצגים נתוני צריכת חשמל חודשית בבית (בקוט"ש): פרטו את חישוביכם.
מפלס של אגם מתחת לפני הים (שאלת ביניים · מצוינות)
המפלס של אגם מלוח נמדד ביחס לפני הים, במטרים: מספר שלילי פירושו מתחת לפני הים. אלה המדידות בכמה שנים: נניח שבתוך כל עשור המפלס השתנה בקצב…
מעקב גדילה (שאלה מלאה · רמה א')
מעקב גדילה לפניכם גרף המתאר את הצמיחה לגובה של ילד רגיל (לא גבוה במיוחד ולא נמוך במיוחד). הגרף נבנה על סמך עקומות גדילה, המשמשות למעקב אחרי…
שני צמחים גדלים (שאלת ביניים · רמה ב')
בניסוי מדדו כל שבוע את הגובה של שני צמחים, $f$ ו- $g$ , במשך $8$ שבועות. הגרף מתאר את הגובה של כל צמח (בס"מ) לפי מספר השבועות. מדדו רק משבוע…
הסוללה של רחפן הצילום (שאלה מלאה · מצוינות)
רחפן צילום טס מעל מגרש. על המסך של השלט מופיע אחוז הטעינה של הסוללה. הטייסת רשמה אותו שלוש פעמים:
פסטיבל מוזיקה: מגמה, אחוזים והסתברות (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם גרף המתאר את המספר המצטבר של הכרטיסים שנמכרו בקופות לפסטיבל מוזיקה במהלך שעות היום: בנוסף מופיעה דיאגרמה המפרטת את מספר הכרטיסים מכל…
נרשמים לקייטנה: הבדיקה שלא נשמרה (שאלה קצרה · רמה ב')
לקייטנת קיץ נרשמים באתר. מדי כמה ימים המנהלת בודקת כמה ילדים נרשמו מאז שנפתחה ההרשמה. את הבדיקה של היום ה- $8$ האתר לא שמר, והתא שלה ריק.…
טענות על הערכות: מתי הן נופלות (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף יש טענה על הערכות. ההערכות נעשות כמו תמיד: בין שתי מדידות סמוכות לפי הקצב שביניהן, ואחרי המדידה האחרונה לפי הקצב של הקטע האחרון.…
כמות הגשם מתחילת החודש: עמודות שאינן ימים (שאלה קצרה · רמה א')
בתחנת מזג אוויר רושמים את כמות הגשם המצטברת מתחילת החודש, במילימטרים. ביום ה- $9$ בחודש המכשיר לא רשם דבר, והתא שלו ריק. נניח שבין שתי רשומות…
הדלק במכל של טרקטור (שאלה קצרה · רמה ב')
טרקטור עובד בשדה. בכמה רגעים בדקו כמה ליטרים של דלק נשארו במכל שלו. המדידות מסומנות בגרף כנקודות, והן חוברו בקטעים. בציר האופקי: מספר השעות…
מבקרים במוזיאון: מתי הגיעו ל-500 (שאלה קצרה · רמה א')
במוזיאון סופרים כמה מבקרים נכנסו מפתיחת המוזיאון באותו יום: נניח שבין שתי ספירות סמוכות המבקרים נכנסו בקצב קבוע.
תנור שמתחמם: איפה במרווח נמצאת הדקה (שאלה קצרה · רמה ב')
מדליקים תנור אפייה. אחרי $2$ דקות המדחום של התנור הראה $60^\circ$ , ואחרי $8$ דקות הוא הראה $180^\circ$ . נניח שבין שתי המדידות הטמפרטורה עלתה…
הורדה של משחק: לפני המדידות ואחריהן (שאלת ביניים · רמה א')
עידו מוריד משחק למחשב. על המסך מופיע איזה אחוז מהמשחק כבר ירד. עידו רשם את האחוז שלוש פעמים:
מחברות בחנות: לפני הספירה ואחריה (שאלת ביניים · רמה ב')
בתחילת שנת הלימודים חנות ספרים מוכרת מחברות, ואינה מקבלת משלוחים חדשים. ביום ה- $2$ מתחילת המכירה נשארו בחנות $340$ מחברות, וביום ה- $6$ נשארו…
כרטיסים להצגה: באיזה קצב להמשיך (שאלת ביניים · רמה א')
לפני הצגה של שכבת ח' נמכרים כרטיסים. בסוף כמה ימים ספרו כמה כרטיסים נמכרו מאז שהתחילה המכירה. הספירות מסומנות בגרף כנקודות שחוברו בקטעים.…
גוש קרח שנמס (שאלת ביניים · רמה ב')
גוש קרח גדול הונח בשמש. מדי פעם שקלו אותו, והתוצאות בטבלה:
כמה תלמידים יהיו בבית הספר (שאלה מלאה · רמה א')
בית ספר חדש גדל משנה לשנה. אלה מספרי התלמידים בכמה שנים: נסמן ב- $x$ את מספר השנים מ-2019 (כלומר $x=0$ בשנת 2019), וב- $y$ את מספר התלמידים.
נסיעה לחופשה: מה נמדד ומה הוערך (שאלה מלאה · רמה ב')
משפחה נסעה במכונית לחופשה. הנסיעה התחילה בשעה 8:00. בשעה 9:00 המכונית עברה $80$ ק"מ מתחילת הנסיעה, ובשעה 11:00 היא עברה $240$ ק"מ. היעד נמצא…
הורדות של אפליקציה: היום שחסר (שאלה מלאה · רמה א')
חברה קטנה השיקה אפליקציה. מדי כמה ימים היא בודקת כמה הורדות היו מאז ההשקה. את הבדיקה של היום ה- $9$ שכחו לרשום. נניח שבין שתי בדיקות סמוכות…
אלבום המדבקות: מה נספר ומה רק מעריכים (שאלה קצרה · רמה ב')
עומר אוסף מדבקות לאלבום. בסוף כמה שבועות הוא ספר כמה מדבקות יש באלבום מאז שהתחיל לאסוף. הספירות מסומנות בגרף כנקודות, והן חוברו בקטעים. בציר…
מרוקנים בריכה: מד המפלס והמדידות של דנה (שאלת ביניים · רמה א')
מרוקנים בריכה לקראת ניקוי. שני מקורות רשמו את עומק המים בבריכה, בס"מ, בשעות שונות: מד המפלס של הבריכה, ודנה, שמדדה בעצמה בסרגל ארוך. בתא שיש…
ממלאים מיכל: הקטע שנמדד וההמשך שהוערך (שאלת ביניים · רמה ב')
ממלאים מיכל מים גדול בצינור. מדדו רק מהדקה ה- $5$ עד הדקה ה- $12$ של המילוי. בדקה ה- $5$ היו במיכל $110$ ליטרים, ובכל זמן המדידה נכנסו למיכל…