שאלות פתוחות: מושג הפונקציה: התאמה, תחום הגדרה וגרף של פונקציה - כיתה ח'

שאלות פתוחות בנושא מושג הפונקציה לכיתה ח': התאמה, תחום הגדרה וגרף של פונקציה. יש בדיקה אילו טבלאות מתארות פונקציה, קו שבור שצריך להחליט אם הוא גרף של פונקציה, אורכי צלעות במלבן עם היקף קבוע, גובה כדור שנזרק ממרפסת, תשלום בחניון לפי שעות, וטענות על פונקציות לנימוק. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו את השאלות לבוחן פתיחה או לדף עבודה, וקבלו פתרונות מלאים שאפשר לייצא ל-Word.

55 שאלותרמה א': 22רמה ב': 17מצוינות: 16

שאלה 1 · תחום הגדרה במלבן שהיקפו קבועשאלה קצרה · רמה א'

היקף של מלבן הוא 202020 ס"מ. לכל אורך אפשרי של צלע אחת של המלבן מתאימים את אורך הצלע הסמוכה לה.

א.

מהו תחום ההגדרה של ההתאמה? נמקו מדוע אורך של 101010 ס"מ אינו בתחום.

ב.

איזה אורך מותאם לצלע של 3.53.53.5 ס"מ? ולאיזו צלע מותאם אורך של 222 ס"מ?

שאלה 2 · איזו טבלה מתארת פונקציה?שאלה קצרה · רמה ב'

בכל טבלה מותאם לכל ערך של xxx בשורה העליונה ערך של yyy בשורה התחתונה.
טבלה 1:
xxx1234
yyy5579
טבלה 2:
xxx1224
yyy3468

$x$	1	2	3	4
$y$	5	5	7	9

$x$	1	2	2	4
$y$	3	4	6	8

א.

איזו מהטבלאות מתארת פונקציה (התאמה מ-xxx ל-yyy)? נמקו כל תשובה.

ב.

כתבו את תחום ההגדרה של הפונקציה שמצאתם בסעיף א, ואת כל הערכים שהיא מקבלת.

שאלה 3 · תמיד, לפעמים או אף פעם: גרף של פונקציה והציריםשאלה קצרה · מצוינות

לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם, ונמקו. אם הטענה נכונה לפעמים, תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה שבה היא לא נכונה (אפשר לסרטט).

א.

גרף של פונקציה חותך את ציר yyy בשתי נקודות שונות.

ב.

גרף של פונקציה חותך את ציר xxx בשתי נקודות שונות.

שאלה 4 · קו שבור: פונקציה או לא?שאלה קצרה · רמה א'

הקו השבור מורכב משלושה קטעים: מ-(0,0)(0,0)(0,0) ל-(4,4)(4,4)(4,4), מ-(4,4)(4,4)(4,4) ל-(6,2)(6,2)(6,2), ומ-(6,2)(6,2)(6,2) ל-(2,0)(2,0)(2,0).
-11234567-112345

א.

האם הקו השבור הוא גרף של פונקציה? אם לא, מצאו ערך של xxx שמותאמים לו שני ערכים שונים של yyy, וכתבו את שניהם.

ב.

איזה קטע אחד צריך למחוק כדי שמה שנשאר יהיה גרף של פונקציה? הסבירו מדוע מחיקה של כל אחד משני הקטעים האחרים אינה מספיקה.

שאלה 5 · כלל מילולי: השלמת טבלה וחיפוש לאחורשאלה קצרה · רמה ב'

פונקציה מתאימה לכל מספר את המספר הגדול ממנו פי 333, פחות 111.

א.

העתיקו והשלימו את הטבלה:
המספר−2-2−2000111444
הערך המותאם

המספר	$-2$	$0$	$1$	$4$
הערך המותאם

ב.

לאיזה מספר הפונקציה מתאימה את הערך 202020? האם יש עוד מספר שמותאם לו 202020? נמקו.

שאלה 6 · גובה כדור: האם גם הזמן הוא פונקציה של הגובה?שאלת ביניים · מצוינות

דן זרק כדור כלפי מעלה ממרפסת. הגרף מתאר את גובה הכדור מעל הקרקע (במטרים) לפי הזמן (בשניות) מרגע הזריקה ועד שהכדור פגע בקרקע.
‫שניות‬‫גובה (מ')‬0.00.51.01.52.02.53.03.5012345678910111213141516171819202122

א.

מאיזה גובה נזרק הכדור? מהו הגובה הגדול ביותר שהכדור הגיע אליו, ומתי? אחרי כמה שניות פגע הכדור בקרקע?

ב.

באילו רגעים היה הכדור בגובה 151515 מ'? האם הגרף הוא גרף של פונקציה (לכל רגע מותאם גובה)? נמקו.

ג.

עכשיו מתאימים לכל גובה בין 000 ל-202020 מ' את הרגע שבו הכדור היה בגובה הזה. האם ההתאמה הזו היא פונקציה? נמקו. לאילו גבהים מותאם רגע אחד בלבד?

שאלה 7 · תעריף חניה: גרף מדרגות ונקודות ריקותשאלת ביניים · רמה א'

בחניון משלמים לפי זמן החניה: עד שעה (כולל) 121212 ש"ח; יותר משעה ועד שעתיים (כולל) 202020 ש"ח; יותר משעתיים ועד 333 שעות (כולל) 262626 ש"ח. אי אפשר לחנות יותר מ-333 שעות.
הגרף מתאר את התשלום לפי זמן החניה. עיגול מלא הוא נקודה ששייכת לגרף, ועיגול ריק הוא נקודה שאינה שייכת לגרף.
‫שעות‬‫ש"ח‬0.00.51.01.52.02.53.03.5024681012141618202224262830

א.

כמה משלמים על חניה של חצי שעה, של שעה, של שעה וחצי ושל שעתיים?

ב.

האם הגרף הוא גרף של פונקציה? נמקו, והתייחסו לזמן של שעה אחת בדיוק. מה היה קורה אילו בנקודה (1,20)(1,20)(1,20) היה מסומן עיגול מלא?

ג.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה, ומהם כל הערכים שהיא מקבלת? עבור אילו זמני חניה משלמים 202020 ש"ח?

שאלה 8 · קומות בבניין: תחום הגדרה של מספרים שלמיםשאלת ביניים · רמה ב'

בבניין יש קומת קרקע (קומה 000) ועוד 888 קומות. הגובה של כל קומה הוא 333 מטרים.
לכל מספר קומה מתאימים את הגובה של רצפת הקומה מעל הקרקע (במטרים). רצפת קומת הקרקע נמצאת בגובה 000.

א.

מהו תחום ההגדרה של ההתאמה? האם זו פונקציה? נמקו.

ב.

כתבו כלל לגובה hhh של רצפת הקומה שמספרה nnn, והשלימו טבלה לכל הקומות. באיזו קומה הרצפה נמצאת בגובה 181818 מ'?

ג.

סרטטו את הגרף של הפונקציה (ציר xxx: מספר הקומה, ציר yyy: הגובה). האם מחברים את הנקודות? נמקו. האם יש קומה שהרצפה שלה בגובה 101010 מ'?

שאלה 9 · זוגות סדורים: מה קובע פונקציה ומה לאשאלה מלאה · מצוינות

נתונה רשימה של ארבעה זוגות סדורים (x,y)(x, y)(x,y):
(−2,3),(0,1),(1,1),(3,−2)(-2,3),\quad (0,1),\quad (1,1),\quad (3,-2)(−2,3),(0,1),(1,1),(3,−2)
-3-2-11234-3-2-11234

א.

האם הרשימה מתארת פונקציה (התאמה מ-xxx ל-yyy)? כתבו את תחום ההגדרה ואת קבוצת הערכים.

ב.

מוסיפים לרשימה את הזוג (k,5)(k, 5)(k,5). עבור אילו ערכים של kkk הרשימה עדיין מתארת פונקציה? ומה קורה אם מוסיפים שוב את הזוג (1,1)(1,1)(1,1)?

ג.

רוני טוענת: "ברשימה ל-x=0x=0x=0 ול-x=1x=1x=1 מותאם אותו ערך, ולכן היא לא יכולה להיות פונקציה". האם רוני צודקת? נמקו.

ד.

סרטטו במערכת צירים קו רציף שעובר דרך ארבע הנקודות והוא גרף של פונקציה בתחום −2≤x≤3-2\le x\le 3−2≤x≤3. אחר כך סרטטו קו רציף אחר שעובר דרך ארבע הנקודות ואינו גרף של פונקציה. הסבירו בעזרת קו אנכי.

ה.

שני תלמידים סרטטו שני גרפים שונים של פונקציות, ושניהם עוברים דרך ארבע הנקודות. האם אפשר לדעת מהרשימה בלבד איזה ערך מותאם ל-x=2x=2x=2? נמקו.

שאלה 10 · ריקון מכל: תחום הגדרה מתוך ההקשרשאלת ביניים · רמה א'

במכל יש 363636 ליטר מים. פותחים ברז, וכל דקה יוצאים מהמכל 444 ליטר, עד שהמכל מתרוקן.
לכל רגע ttt (בדקות מפתיחת הברז, עד שהמכל ריק) מתאימים את כמות המים שנשארה במכל (בליטרים).

א.

אחרי כמה דקות המכל ריק? מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

ב.

כתבו כלל לכמות המים www אחרי ttt דקות, והשלימו טבלה עבור t=0,2,5.5,9t=0, 2, 5.5, 9t=0,2,5.5,9.

ג.

נועם הציב t=12t=12t=12 בכלל וקיבל −12-12−12. הוא אמר: "אחרי 121212 דקות יש במכל −12-12−12 ליטר". מה הטעות שלו? כמה מים יש במכל אחרי 121212 דקות?

עוד 42 שאלות על מושג הפונקציה: התאמה, תחום הגדרה וגרף של פונקציה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תחום הגדרה ודוגמאות לערכים (חלק 2) (שאלת ביניים · רמה ב')
לכל תיאור קבעו מהו תחום ההגדרה וכתבו מספר דוגמאות למציאת ערכי הפונקציה עבור ערכי משתנה מתחום ההגדרה.
רשימת זוגות: מתי היא פונקציה (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונות שתי טענות על רשימה של זוגות סדורים $(x,y)$ , שמתארת התאמה $x\to y$ : טענה 1: "אם כל המספרים הראשונים ברשימה שונים זה מזה, ההתאמה היא…
תחום הגדרה ודוגמאות לערכים (חלק 1) (שאלת ביניים · רמה א')
לכל תיאור קבעו מהו תחום ההגדרה וכתבו מספר דוגמאות למציאת ערכי הפונקציה עבור ערכי משתנה מתחום ההגדרה.
גלגל ענק: האם הגרף מייצג פונקציה? (שאלת ביניים · רמה ב')
לפניכם תיאור של מיני גלגל ענק המתאים לילדים קטנים. במיני הגלגל הענק ישנם $12$ תאים הנמצאים במרחקים שווים זה מזה, הכניסה אל התא נעשית כאשר…
כמה ערכים יכולים להתקבל (שאלה קצרה · מצוינות)
בונים פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא קבוצה של $5$ מספרים. נתונות שתי דרישות: (1) מתקבלים $6$ ערכים שונים. (2) מתקבלים $5$ ערכים שונים.
תחום הגדרה ודוגמאות לערכים (חלק 3) (שאלת ביניים · רמה א')
לכל תיאור קבעו מהו תחום ההגדרה וכתבו מספר דוגמאות למציאת ערכי הפונקציה עבור ערכי משתנה מתחום ההגדרה.
חודשי לידה בקבוצה: התאמות שהן פונקציה ושאינן (שאלה מלאה · רמה ב')
בקבוצת כדורסל יש שישה ילדים. בטבלה רשום חודש הלידה של כל ילד:
סופרים פונקציות קטנות (שאלת ביניים · מצוינות)
בונים פונקציות שתחום ההגדרה שלהן הוא $\{4, 6\}$ , וכל ערך שלהן הוא אחד המספרים $1$ , $2$ או $3$ .
חמש התאמות: פונקציה, תחום הגדרה וערכים (שאלה מלאה · רמה א')
בכל סעיף מתוארת התאמה. קבעו אם היא פונקציה. אם כן, כתבו את תחום ההגדרה ושתי דוגמאות לערכים שלה. אם לא, הראו דוגמה שמוכיחה זאת.
הופכים את החצים (שאלה קצרה · רמה ב')
בהתאמה, כל מספר מהקבוצה $\{2, 4, 7, 9\}$ מקבל מספר לפי החצים: $2\to 5,\quad 4\to 8,\quad 7\to 5,\quad 9\to 0$
מכונה עם מספר קבוע: איזו שורה שגויה (שאלת ביניים · מצוינות)
מכונה פועלת לפי הכלל: "כופלים את המספר ב- $3$ ומחסרים מספר קבוע." נרשמו ארבע שורות, ובאחת מהן נפלה טעות: יעל: "נמצא את המספר הקבוע מהשורה של…
שישה גרפים: פונקציה או לא? (שאלה מלאה · רמה א')
בדקו בכל אחד מהגרפים האם הוא מייצג פונקציה? נמקו את תשובתכם
שורה שבה התחלפו המספר והערך (שאלה קצרה · רמה ב')
גלעד רשם בטבלה התאמה לפי הכלל: "לכל מספר מתאימים את המספר שגדול ממנו ב- $7$ ." באחת השורות נפלה טעות.
חצים, יעדים וערכים שהתקבלו (שאלה מלאה · מצוינות)
בהתאמה, תחום ההגדרה הוא $\{2, 5, 7\}$ . החצים יכולים להגיע למספרים $1, 4, 6, 8, 10$ (היעדים האפשריים). החצים הם:…
מידות נעליים בקבוצת כדורסל (שאלה קצרה · רמה א')
המאמן רשם לכל שחקן בקבוצה את מידת הנעליים שלו: עוזרת המאמן אומרת: "המידה $38$ מופיעה פעמיים, ולכן ההתאמה שחקן $\to$ מידה אינה פונקציה."
כרטיסים לבריכה: קוראים נקודות בגרף (שאלת ביניים · רמה ב')
בקופה של בריכה רשמו ארבע קניות של כרטיסי כניסה. בגרף כל קנייה היא נקודה: הציר האופקי הוא מספר הכרטיסים, והציר האנכי הוא המחיר ששולם, בשקלים.…
שני כללים לאותם שני זוגות (שאלת ביניים · מצוינות)
בטבלה רשומים רק שני זוגות של התאמה: $2\to 10$ ו- $3\to 15$ . נועה מציעה את הכלל: "כופלים את המספר ב- $5$ ." איתן מציע את הכלל: "כופלים את המספר…
שני חיישנים מודדים טמפרטורה (שאלת ביניים · רמה א')
בתחנת מזג אוויר שני חיישנים מדדו את הטמפרטורה (במעלות) בשלוש שעות ביום אחד. כל חיישן נותן התאמה: שעה $\to$ טמפרטורה.
נקודות באותו גובה (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים מסומנות ארבע נקודות בלבד, בלי קו שמחבר ביניהן: $(1,3)$ , $(2,3)$ , $(4,3)$ , $(5,1)$ .
מחיקה אחת שמתקנת את שני הכיוונים (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונות חמש נקודות: $(1,4)$ , $(3,2)$ , $(3,6)$ , $(5,6)$ , $(7,1)$ . אחת מהן נרשמה בטעות. מוחקים נקודה אחת בלבד, ומשאירים את כל האחרות.
שינוי ערך אחד כדי ששני הכיוונים יעבדו (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה ההתאמה:
חץ חסר וחץ מיותר (שאלת ביניים · רמה ב')
תחום ההגדרה של התאמה הוא $\{2, 5, 8, 10\}$ . החצים של ההתאמה: $2\to 6,\quad 5\to 1,\quad 5\to 9,\quad 8\to 6$
אותה קבוצת ערכים - אותה פונקציה? (שאלה קצרה · מצוינות)
על התחום $\{-3,-1,0,1,3\}$ מוגדרים שני כללים: כלל א מתאים לכל מספר את הריבוע שלו פחות $1$ (כלומר $x^2-1$ ). כלל ב מתאים לכל מספר את המספר…
קובייה ונפחה, מספר ומרחקו מאפס (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף נתונה התאמה. החליטו אם היא פונקציה, ואם ההתאמה ההפוכה היא פונקציה.
חדר האוכל במחנה: התאמות בשני הכיוונים (שאלה מלאה · רמה ב')
במחנה קיץ כל חניך אוכל בשולחן קבוע אחד. בכל שולחן יושבים כמה חניכים.
אותן פעולות בסדר אחר (שאלה קצרה · מצוינות)
שתי מכונות מקבלות מספר ומחזירות מספר. מכונה א: "מוסיפים $4$ , ואחר כך כופלים ב- $2$ ." מכונה ב: "כופלים ב- $2$ , ואחר כך מוסיפים $4$ ."
כרטיס משפחתי בפארק: נקודות שאסור לחבר (שאלת ביניים · רמה א')
בפארק שעשועים יש כרטיס משפחתי, והמחיר שלו תלוי במספר האנשים במשפחה. בגרף רשומים כל המחירים שבמחירון: הציר האופקי הוא מספר האנשים, והאנכי הוא…
כל ערכי $y$ שונים - אז פונקציה? (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים מסומנות רק חמש נקודות: $(1,2)$ , $(2,5)$ , $(4,1)$ , $(4,6)$ , $(5,3)$ . ההתאמה מתאימה לכל $x$ את ה- $y$ של הנקודות שלו. יונתן טוען:…
השכרת סירה: תקציב, קצה ריק ודרישות של ועדה (שאלת ביניים · מצוינות)
הגרף מתאר טיוטה של מחירון להשכרת סירת פדלים: המחיר (בש"ח) לפי זמן ההשכרה (בשעות), בתחום $0<x\le 4$ . עיגול מלא הוא נקודה ששייכת לגרף, ועיגול…
בחירות למועצת התלמידים ושני גרפים של נקודות (שאלה מלאה · רמה א')
בבחירות למועצת התלמידים כל תלמיד בכיתה הצביע למועמד אחד בלבד. היו שלושה מועמדים.
רחפן עולה, מרחף ונוחת: בשני הכיוונים (שאלה קצרה · רמה ב')
רחפן ממריא מהקרקע, מרחף במקום, ואחר כך נוחת. הגרף מתאר את גובה הרחפן (במטרים) לפי הזמן (בדקות), מ- $0$ עד $8$ דקות. הקו עובר בנקודות $(0,0)$ ,…
שני קטעים אופקיים: איפה מסמנים את הקצה? (שאלה קצרה · מצוינות)
בונים גרף של פונקציה בתחום $0\le x\le 6$ משני קטעים אופקיים: משמאל ל- $x=4$ הגרף בגובה $2$ , ומימין ל- $x=4$ הגרף בגובה $5$ . הנקודות $(0,2)$ …
אותו ערך פעמים רבות — עדיין פונקציה? (שאלה קצרה · רמה א')
הגרף מתאר את עומק המים (במטרים) במאגר מים קטן של מושב, בתחום $0\le x\le 7$ ( $x$ הזמן בשעות מתחילת המדידה). אורי אמר: "זה לא גרף של פונקציה,…
ישר אופקי וישר אנכי: מי מהם גרף של פונקציה? (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים שלפניכם שני ישרים: ישר אופקי, וישר אנכי שעובר דרך הנקודה $(-2,0)$ .
ישרים מקבילים לצירים ונקודות על ישר: מתי פונקציה? (שאלה קצרה · מצוינות)
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. נמקו, ותנו דוגמה מתאימה. כאן "פונקציה" היא התאמה מ- $x$ ל- $y$ .
שלושה מצבים, שלושה תחומי הגדרה (שאלה קצרה · רמה א')
לכל אחד מהמצבים יש פונקציה: (1) מספר הפעמים שעולים על מתקנים בלונה פארק, עם כרטיס של $12$ ניקובים (ניקוב אחד לכל עלייה) $\to$ מספר הניקובים…
אותה פונקציה קבועה בשלושה תחומים (שאלה קצרה · רמה ב')
הפונקציה $y=-2$ מוצגת בשלושה מצבים, ובכל מצב יש לה תחום הגדרה אחר: (1) כל המספרים. (2) $x\ge 1$ . (3) $-3\le x\le 4$ .
שני חניונים במדרגות: מתי כל אחד זול? (שאלת ביניים · מצוינות)
בשני חניונים משלמים לפי משך החניה, ואי אפשר לחנות יותר מ- $3$ שעות. חניון $A$ : עד שעה (כולל) $10$ ש"ח; יותר משעה ועד שעתיים (כולל) $18$ ש"ח;…
פונקציה עם בדיוק שני ערכים (שאלה קצרה · רמה א')
דרישה: "פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא $\{1,3,5,7\}$ , ושמקבלת בדיוק שני ערכים שונים." נתונות שתי רשימות של זוגות סדורים $(x,y)$ , שמתארות התאמה…
קו שבור בלי קטע אנכי (שאלה קצרה · רמה א')
הגרף מורכב משלושה קטעים ישרים: מ- $(-3,1)$ ל- $(0,4)$ , מ- $(0,4)$ ל- $(2,2)$ , ומ- $(2,2)$ ל- $(5,5)$ . כל הנקודות של הקטעים, כולל הקצוות, שייכות…
השכרת קיאקים: שני תעריפים עם אותן קפיצות (שאלה קצרה · רמה א')
בחוף יש שתי חברות להשכרת קיאקים. הגרף מתאר את המחיר (בש"ח) בחברה א לפי זמן ההשכרה (בשעות). עיגול מלא הוא נקודה ששייכת לגרף, ועיגול ריק הוא…
מיחם מים: קטע או קרן? (שאלה קצרה · רמה א')
במסיבה מדליקים מיחם מים. $10$ דקות אחרי ההדלקה המים מגיעים לחום של $95^\circ$ , והמיחם שומר על החום הזה בדיוק עד שמכבים אותו, $70$ דקות אחרי…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציה בייצוגים שונים: אלגברי, מילולי וגרפי (שאלה קצרה · רמה א')
באגם משכירים סירות פדלים. המחיר של השכרת סירה נקבע לפי זמן השיט. הגרף שלפניכם מתאר את המחיר (בשקלים) לפי זמן…
שינוי נושא נוסחה (שאלה קצרה · רמה א')
המשכורת החודשית $S$ (בשקלים) של סוכנת מכירות נתונה בנוסחה $S=5{,}500+0.04(V-25{,}000)$ , כאשר $V$ הוא סכום…
מיכל מים מתרוקן (שאלה מלאה · רמה ב')
במיכל מים יש $500$ ליטר. פותחים את הברז, ובכל דקה יוצאים מהמיכל $12$ ליטר. כמות המים שנשארת במיכל אחרי $t$ …