שאלות פתוחות: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות נתון גרף של f'(x), ומסיקים ממנו היכן f עולה ויורדת והיכן יש לה קיצון, כולל מקרה שבו הנגזרת משיקה לציר ה-x ואין שם קיצון. יש שאלה על פונקציה אי-זוגית עם שתי נקודות קיצון, ושאלה שבה הנגזרת של g היא פרבולה פחות פרמטר. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ומתאים לבוחן או למבחן, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

23 שאלותקלה: 4בינונית: 15קשה: 4

שאלה 1 · מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: מקסימום ומינימום אחדשאלה מלאה · קלה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות לכל xxx. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות x=0x=0x=0 ו-x=4x=4x=4 בלבד.

א.

הסתמכו על הסרטוט ומצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

קבעו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן.

ג.

SSS הוא השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) ועל ידי ציר ה-xxx. נתון: S=8S=8S=8, f(0)=10f(0)=10f(0)=10.

הסבירו מדוע f(4)−f(0)=−8f(4)-f(0)=-8f(4)−f(0)=−8, ומצאו את f(4)f(4)f(4).

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

בעבור אילו ערכי kkk הישר y=ky=ky=k חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ב-2 נקודות שונות בדיוק?

שאלה 2 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x+7f(x)=x^2-4x+7f(x)=x2−4x+7. הפונקציה g(x)g(x)g(x) מוגדרת לכל xxx, והנגזרת שלה היא g′(x)=f(x)−kg'(x)=f(x)-kg′(x)=f(x)−k, כאשר kkk פרמטר.

א.

מצאו את ערכי kkk שעבורם יש לפונקציה g(x)g(x)g(x) שתי נקודות קיצון.

ב.

הציבו k=7k=7k=7. מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · מגרף הנגזרת לפונקציה: שני שטחים, מינימומים שונים ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות לכל xxx, ולפונקציה f(x)f(x)f(x) אין אסימפטוטה אופקית. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות x=−2x=-2x=−2, x=0x=0x=0, x=4x=4x=4 בלבד.

א.

קבעו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן.

ב.

S1S_1S1​ הוא השטח שמוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x) ועל ידי ציר ה-xxx ברביע השני, ו-S2S_2S2​ הוא השטח שמוגבל על ידיהם ברביע הרביעי. נתון: S1=5S_1=5S1​=5, S2=32S_2=32S2​=32, f(0)=10f(0)=10f(0)=10.

מצאו את ערכי הפונקציה בנקודות הקיצון שלה.

ג.

כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx? נמקו.

ד.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k לפי ערכי kkk.

שאלה 4 · גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיקשאלה מלאה · קלה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות לכל xxx.
בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), שחותכת את ציר ה-xxx בנקודות x=−2x=-2x=−2, x=0x=0x=0, x=2x=2x=2 בלבד.
-22

א.

היעזרו בגרף של f′(x)f'(x)f′(x), ומצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן.

ב.

נתון: f(x)=x4−8x2+7f(x)=x^4-8x^2+7f(x)=x4−8x2+7.

מצאו את שיעורי ה-yyy של נקודות הקיצון.

ג.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=2x=2x=2, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), על ידי המשיק הזה ועל ידי ציר ה-yyy.

שאלה 5 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלהשאלה קצרה · בינונית

נתונה פונקציה פולינומית אי-זוגית f(x)f(x)f(x). לפונקציה יש בדיוק שתי נקודות קיצון, ואחת מהן בנקודה שבה x=3x=3x=3. מלבד נקודות הקיצון אין נקודות נוספות שבהן f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0. נתון גם כי f′(0)=5f'(0)=5f′(0)=5.

א.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתון כי f(3)=18f(3)=18f(3)=18. מצאו את שיעורי שתי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

שאלה 6 · פולינום ממעלה רביעית עם פרמטר: מינימומים שווים ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות לכל xxx. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).
נתון: f′(x)=12x(x+1)(x−a)f'(x)=12x(x+1)(x-a)f′(x)=12x(x+1)(x−a), a>0a>0a>0 הוא פרמטר, ו-f(0)=0f(0)=0f(0)=0.
-1a

א.

הביעו באמצעות aaa את הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מה הם סוגי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x)? הביעו באמצעות aaa את שיעורי ה-yyy של נקודות המינימום.

ג.

בעבור איזה ערך של aaa שתי נקודות המינימום של f(x)f(x)f(x) נמצאות באותו גובה?

ד.

הציבו a=1a=1a=1.

קבעו, בעבור כל ערך של kkk, כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k.

שאלה 7 · מגרף נגזרת ריבועית לפונקציהשאלה מלאה · קלה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה שמוגדרת לכל xxx. בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) - פרבולה העוברת דרך הנקודות (−1,0)(-1,0)(−1,0) ו-(3,0)(3,0)(3,0).
f′(x)

א.

(1)

על פי הגרף מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

(3)

נתון f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9f′(x)=3x2−6x−9, ושיעור ה-yyy של נקודת המקסימום של f(x)f(x)f(x) הוא 10. מצאו את f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) הוא −9-9−9.

שאלה 8 · מגרף הנגזרת: אפס בלי החלפת סימןשאלה קצרה · בינונית

בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) של פונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx. גרף f′f'f′ משיק לציר ה-xxx בנקודה (−1,0)(-1,0)(−1,0) וחותך אותו בנקודה (3,0)(3,0)(3,0).
f′(x)
-13

א.

רשמו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן. נמקו.

ב.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

שאלה 9 · נגזרת עם פרמטר: מספר הקיצונים ומשיק שהוא ציר ה-xשאלה מלאה · קשה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה המוגדרת לכל xxx, ונגזרתה היא f′(x)=4x3−12x2+kf'(x)=4x^3-12x^2+kf′(x)=4x3−12x2+k, כאשר kkk פרמטר.

א.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש בדיוק נקודת קיצון אחת.

ב.

הציבו k=16k=16k=16. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ואת שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון שלה.

ג.

עבור k=16k=16k=16, ידוע שציר ה-xxx משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). מצאו את כל האפשרויות לפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

לכל אחת מהפונקציות שמצאתם בסעיף ג, מצאו את מספר נקודות החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-xxx.

שאלה 10 · גרף הנגזרת: עלייה, ירידה וקיצוןשאלה מלאה · קלה

הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) של הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6. גרף הנגזרת הוא פרבולה שקודקודה (3,2)(3,2)(3,2).
(1,0)(5,0)(3,2)

א.

עבור אילו ערכי xxx שיפוע המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) הוא אפס?

ב.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוג נקודות הקיצון שלה שאינן בקצות התחום.

ג.

באיזה ערך של xxx שיפוע המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) הוא הגדול ביותר? מהו השיפוע הזה?

ד.

לפניכם שלושה גרפים. איזה מהם יכול להיות הגרף של f(x)f(x)f(x)? נמקו.
גרף II
גרף IIII
גרף IIIIII

עוד 9 שאלות על הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: צורת M, שטח וחיתוך עם ישר אופקי (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת מתאפסת…
גרף הנגזרת: קיצון של $f (x) - m x$ לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $0\le x\le8$ , והנגזרת שלה היא $f'(x)=\frac18(x-1)^2(7-x)$ . בסרטוט - גרף הנגזרת.
מספר נקודות החיתוך של ישר אופקי עם הגרף מתוך גרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ , ולפונקציה $f(x)$ אין אסימפטוטה אופקית. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של $f'(x)$ ,…
גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיק (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
נקודות קיצון מגרף הנגזרת: אפס בלי החלפת סימן (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם הגרף של $f'(x)$ : הוא חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $x=-3$ ונוגע בציר…
מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קיצון ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה שמוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עובר דרך הנקודות:…
קיצון ומונוטוניות מגרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
$f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור מוצג הגרף של $f'(x)$ : הוא משיק לציר ה- $x$ בנקודה $(-2,0)$ וחוצה אותו בנקודה $(1,0)$ .
קריאת הפונקציה מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ בתחום $0\le x\le8$ .
קיצון של פונקציה מתוך גרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט - גרף הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $-4\le x\le3$ . גרף הנגזרת חותך את ציר ה- $x$ ב- $(-2,0)$ ומשיק לו ב- $(1,0)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: קיצון, שטח וחיתוך עם ישר אופקי · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 8
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות: $x=-2$ ,…
גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיק · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 8
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותכת את ציר ה- $x$ …
מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קיצון ופונקציה קדומה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
$f(x)$ היא פונקציה שמוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עובר דרך הנקודות: $(-2,0)$ , $(1,0)$ .
קריאת הפונקציה מתוך גרף הנגזרת · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ בתחום $0\le x\le9$ .