שאלות פתוחות: נקודות קיצון מקומיות - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על נקודות קיצון מקומיות של פונקציה פולינומית, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים גוזרים, משווים לאפס וקובעים בעזרת טבלה את סוג כל נקודת קיצון, בפונקציות כמו x³-3x², x³-12x+11 ו-x³-3a²x+2a³. יש שאלות עם פרמטר במקדם, ושאלות על פולינום ממעלה שלישית שגרפו מוצג. הרמות הן קלה, בינונית וקשה, ואפשר לבחור מהן לבוחן או לדף חזרה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

36 שאלותקלה: 10בינונית: 17קשה: 9

שאלה 1 · פולינום: משיק לפי שיפוע ושטח בין הגרף למשיקשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3+x+2f(x)=x^3+x+2f(x)=x3+x+2.
A

א.

הראו כי f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 לכל xxx, והסיקו שלפונקציה אין נקודות קיצון.

ב.

מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA הנמצאת ברביע הראשון, ששיפועו 4.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

(2)

מצאו את משוואת המשיק.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק וציר ה-yyy (השטח המסומן בסרטוט).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​.

רשמו את האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x), אם יש כאלה. נמקו.

שאלה 2 · פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2+4x+bf(x)=x^3-3x^2+4x+bf(x)=x3−3x2+4x+b, bbb הוא פרמטר.
A

א.

הראו כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות קיצון.

ב.

מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA הנמצאת ברביע הראשון (ראו סרטוט).
ידוע כי שיפוע המשיק הוא 4, ושיעור ה-yyy של נקודה AAA שווה ל-6.

(1)

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודה AAA.

(2)

מצאו את משוואת המשיק.

(3)

מצאו את bbb.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), המשיק והצירים (השטח המסומן בסרטוט).

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​.

(1)

רשמו את האסימפטוטה המקבילה לציר ה-xxx של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

קבעו אם לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש אסימפטוטה המאונכת לציר ה-xxx. נמקו.

שאלה 3 · פולינום: שיפועי משיקים, פרמטר משיק, שטח ו-1/f'שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2+5x+bf(x)=x^3-3x^2+5x+bf(x)=x3−3x2+5x+b, bbb הוא פרמטר.
A

א.

הוכיחו כי לפונקציה אין נקודות קיצון, ומצאו את השיפוע הקטן ביותר של משיק לגרף הפונקציה.

ב.

לאילו ערכים של mmm יש לגרף הפונקציה בדיוק שני משיקים ששיפועם mmm?

ג.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA שברביע הראשון ששיפועו 5 חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=0.6x=0.6x=0.6. מצאו את bbb.

ד.

עבור ה-bbb שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק מסעיף ג והצירים (השטח המסומן בסרטוט).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​. מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x), קבעו את סוגה, ורשמו את האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x).

שאלה 4 · פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2f(x)=x3−3x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-xxx.

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4.

(1)

רשמו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(2)

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) והישרים x=0x=0x=0, x=2x=2x=2.

שאלה 5 · פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−12x+11f(x)=x^3-12x+11f(x)=x3−12x+11.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

הראו כי x=1x=1x=1 היא נקודת חיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), הישרים: x=0x=0x=0, x=2x=2x=2 וציר ה-xxx.

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)+5g(x)=f(x)+5g(x)=f(x)+5.

(1)

רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן. נמקו.

(2)

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) והישרים: x=0x=0x=0, x=3x=3x=3.

שאלה 6 · פולינום ממעלה שלישית עם פרמטר: שטח ושורשיםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3a2x+2a3f(x)=x^3-3a^2x+2a^3f(x)=x3−3a2x+2a3, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx.

ג.

השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-xxx הוא 108. מצאו את aaa.

ד.

הציבו a=2a=2a=2. נתונה g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-kg(x)=f(x)−k. עבור אלו ערכים של kkk לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש שלושה שורשים?

שאלה 7 · פולינום, מתיחה אנכית ושטח בין הגרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=−x3+3x2f(x)=-x^3+3x^2f(x)=−x3+3x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=3f(x)g(x)=3f(x)g(x)=3f(x). רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

ה.

הראו שהגרפים של fff ושל ggg נפגשים רק בנקודות שבהן f(x)=0f(x)=0f(x)=0, וחשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

שאלה 8 · פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפיםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=ax3+9x2f(x)=ax^3+9x^2f(x)=ax3+9x2, aaa הוא פרמטר.

א.

ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=3x=3x=3. חשבו את הערך של aaa.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם וענו על הסעיפים הבאים:

ב.

(1)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה: g(x)=13⋅f(x)g(x)=\frac13\cdot f(x)g(x)=31​⋅f(x).

(1)

רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

(2)

באותה מערכת צירים שבה סרטטתם סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), הוסיפו בקו מקווקו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

שאלה 9 · פולינום עם פרמטר: שטח בין פונקציה לשליש ממנהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3ax2f(x)=x^3-3ax^2f(x)=x3−3ax2, a>0a>0a>0 הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה g(x)=13f(x)g(x)=\frac13f(x)g(x)=31​f(x).

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

הביעו באמצעות aaa את נקודות החיתוך של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx ואת נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x).

ג.

השטח המוגבל בין הגרפים של fff ושל ggg הוא 72. מצאו את aaa.

ד.

הציבו a=2a=2a=2. מצאו את ערכי mmm שבעבורם הישר y=my=my=m חותך את גרף fff בשלוש נקודות ואת גרף ggg בנקודה אחת בלבד.

שאלה 10 · גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיקשאלה מלאה · קלה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות לכל xxx.
בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), שחותכת את ציר ה-xxx בנקודות x=−2x=-2x=−2, x=0x=0x=0, x=2x=2x=2 בלבד.
-22

א.

היעזרו בגרף של f′(x)f'(x)f′(x), ומצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן.

ב.

נתון: f(x)=x4−8x2+7f(x)=x^4-8x^2+7f(x)=x4−8x2+7.

מצאו את שיעורי ה-yyy של נקודות הקיצון.

ג.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=2x=2x=2, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), על ידי המשיק הזה ועל ידי ציר ה-yyy.

עוד 16 שאלות על נקודות קיצון מקומיות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיק (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
פולינום ממעלה רביעית עם פרמטר: מינימומים שווים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נתון:…
מגרף נגזרת ריבועית לפונקציה (שאלה מלאה · קלה)
$f(x)$ היא פונקציה שמוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ - פרבולה העוברת דרך הנקודות $(-1,0)$ ו- $(3,0)$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קיצון ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה שמוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עובר דרך הנקודות:…
נגזרת עם פרמטר: מספר הקיצונים ומשיק שהוא ציר ה-x (שאלה מלאה · קשה)
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ונגזרתה היא $f'(x)=4x^3-12x^2+k$ , כאשר $k$ פרמטר.
בעיית קיצון מודרכת: משולש על יתר של משולש שווה שוקיים (שאלה מלאה · קלה)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע $AB$ בנו משולש ישר זווית $AEB$ שהיתר שלו $AB$ (ראו ציור). סכום אורכי…
פולינום עם פרמטר: קיצון, משיק ושטח מורכב (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x-a$ , $a$ הוא פרמטר.
בעיית קיצון עם פרמטר: מהשטח המינימלי לסכום הניצבים (שאלה מלאה · קשה)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע $AB$ בנו משולש ישר זווית $AEB$ שהיתר שלו $AB$ , מחוץ למשולש $ABC$ .…
פולינום: קיצון, משיק ושטח בין גרף למשיק (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=x^3-3x+2$ .
פולינום עם פרמטר: חקירה, שיקוף ושטח בין $f$ ל- $- f$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-ax+(a-12)x^4$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. ידוע: $f'(1)=-9$ .
פולינום עם פרמטר: מספר אפסים ושטח שאינו תלוי בפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+a$ , $a$ פרמטר.
פולינום: חקירה, שיקוף ושטח בין $f$ ל- $- f$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2-9x+27$ .
קריאת הפונקציה מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ בתחום $0\le x\le8$ .
משפחת פולינומים: שטח, מספר פתרונות ועקומת הקיצון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה משפחת הפונקציות $f(x)=x^3-3k^2x$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר.
גרף הנגזרת: עלייה, ירידה וקיצון (שאלה מלאה · קלה)
הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ בתחום $0\le x\le6$ . גרף הנגזרת הוא פרבולה שקודקודה $(3,2)$ .
גרף הנגזרת: קיצון של $f (x) - m x$ לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $0\le x\le8$ , והנגזרת שלה היא $f'(x)=\frac18(x-1)^2(7-x)$ . בסרטוט - גרף הנגזרת.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x^3-2x^2+x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x+2$ .
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+6x^2-9x$ , $a$ הוא פרמטר.
גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיק · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 8
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותכת את ציר ה- $x$ …
מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קיצון ופונקציה קדומה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
$f(x)$ היא פונקציה שמוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עובר דרך הנקודות: $(-2,0)$ , $(1,0)$ .
בעיית קיצון: משולש ישר זווית על יתר של משולש שווה שוקיים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 8
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע $AB$ בנו משולש ישר זווית $AEB$ כך ש- $AB$ הוא היתר של המשולש $AEB$ , כמתואר בציור. נתון כי…
פולינום עם פרמטר: קיצון, משיק ושטח מורכב · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בציור מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=2x^3-9x^2+12x-a$ , $a$ הוא פרמטר.
פולינום עם פרמטר: חקירה, שיקוף ושטח בין $f$ ל- $- f$ · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-ax^2+(a-3)x^4$ , $a$ הוא פרמטר. ידוע: $f'(1)=-3$ .
קריאת הפונקציה מתוך גרף הנגזרת · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ בתחום $0\le x\le9$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

קטע אופקי בין גרף $x^{3} + 3 x$ לישר $y = 6 x + 4$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה $f(x)=x^3+3x$ והישר $y=6x+4$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף $f(x)$ , משמאל לנקודת…