שאלות פתוחות: תחומי עלייה וירידה - כיתה י"א 4 יח"ל

בדף הזה 14 שאלות פתוחות במתמטיקה על תחומי עלייה וירידה, לתלמידי כיתה י"א 4 יח"ל, מתוך הנושא "חשבון דיפרנציאלי: פונקציה פולינומיאלית (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

14 שאלותקלה: 3בינונית: 9קשה: 2

שאלה 1 · גרף הנגזרת: עלייה, ירידה וקיצוןשאלה מלאה · קלה

הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) של הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6. גרף הנגזרת הוא פרבולה שקודקודה (3,2)(3,2)(3,2).
(1,0)(5,0)(3,2)

א.

עבור אילו ערכי xxx שיפוע המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) הוא אפס?

ב.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוג נקודות הקיצון שלה שאינן בקצות התחום.

ג.

באיזה ערך של xxx שיפוע המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) הוא הגדול ביותר? מהו השיפוע הזה?

ד.

לפניכם שלושה גרפים. איזה מהם יכול להיות הגרף של f(x)f(x)f(x)? נמקו.
גרף II
גרף IIII
גרף IIIIII

שאלה 2 · מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קיצון ופונקציה קדומהשאלה מלאה · בינונית

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה שמוגדרת לכל xxx. בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).
הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) עובר דרך הנקודות: (−1,0)(-1,0)(−1,0), (3,0)(3,0)(3,0).
f′(x)

א.

(1)

על פי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מהו שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), ומהו סוג הקיצון? נמקו.

(3)

נתון כי פונקציית הנגזרת היא f′(x)=12x3−12x2−60x−36f'(x)=12x^3-12x^2-60x-36f′(x)=12x3−12x2−60x−36. שיעור ה-yyy של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) הוא −240-240−240. מצאו את הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את השיעורים של הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) הוא 0.

שאלה 3 · נגזרת שמתאפסת בלי להחליף סימןשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x5−20x3f(x)=3x^5-20x^3f(x)=3x5−20x3.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 4 · תחומי עלייה וירידה של פולינום ממעלה שלישיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3+3x2−45xf(x)=x^3+3x^2-45xf(x)=x3+3x2−45x.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 5 · פולינום עם פרמטר: חקירה, שיקוף ושטח בין $f$ ל- $- f$ שאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−ax+(a−12)x4f(x)=x^3-ax+(a-12)x^4f(x)=x3−ax+(a−12)x4, כאשר aaa הוא פרמטר.
ידוע: f′(1)=−9f'(1)=-9f′(1)=−9.

א.

מצאו את הערך של הפרמטר aaa.

ב.

הציבו a=12a=12a=12 וענו:

מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

ג.

מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? רשמו את שיעוריהן ואת סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של:

(1)

גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x)

(2)

גרף הפונקציה −f(x)-f(x)−f(x)

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-−f(x)-f(x)−f(x).

שאלה 6 · עלייה וירידה של $(x + 1)^{3} (x - 3)$ שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)3(x−3)f(x)=(x+1)^3(x-3)f(x)=(x+1)3(x−3).

א.

הראו כי f′(x)=4(x+1)2(x−2)f'(x)=4(x+1)^2(x-2)f′(x)=4(x+1)2(x−2).

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ג.

הראו כי f(x)≥−27f(x)\ge-27f(x)≥−27 לכל xxx.

שאלה 7 · תחומי עלייה וירידה לפי סימן הנגזרתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x3−15x2+24xf(x)=2x^3-15x^2+24xf(x)=2x3−15x2+24x.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 8 · קריאת הפונקציה מתוך גרף הנגזרתשאלה מלאה · בינונית

הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) של הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8.
(2,0)(6,0)(7,2.5)

א.

עבור אילו ערכי xxx שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) הוא אפס?

ב.

הסבירו מדוע לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד (שאינה בקצה התחום). מהו סוג הקיצון?

ג.

הנקודה (7,1)(7,1)(7,1) נמצאת על הגרף של f(x)f(x)f(x). היעזרו בסרטוט:

(1)

מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה זו?

(2)

האם יש נקודה נוספת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) שבה שיפוע המשיק שווה לערך שמצאתם בסעיף ג(1)?

ד.

לפניכם ארבעה גרפים.
גרף א‫א‬
גרף ב‫ב‬
גרף ג‫ג‬
גרף ד‫ד‬

איזה מהם מתאים לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x)? נמקו.

שאלה 9 · פונקציה יורדת לכל $x$ שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=−x3+3x2−5x+2f(x)=-x^3+3x^2-5x+2f(x)=−x3+3x2−5x+2.

הראו שהפונקציה יורדת לכל xxx.

שאלה 10 · תחומי עלייה וירידה של פולינום ממעלה רביעיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x4−4x3−8x2+1f(x)=x^4-4x^3-8x^2+1f(x)=x4−4x3−8x2+1.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

עוד 1 שאלות על תחומי עלייה וירידה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

עלייה וירידה: השוואת ערכים ושיקוף (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=-x^3+3x^2+24x-5$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קיצון ופונקציה קדומה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
$f(x)$ היא פונקציה שמוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עובר דרך הנקודות: $(-2,0)$ , $(1,0)$ .
פולינום עם פרמטר: חקירה, שיקוף ושטח בין $f$ ל- $- f$ · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-ax^2+(a-3)x^4$ , $a$ הוא פרמטר. ידוע: $f'(1)=-3$ .
קריאת הפונקציה מתוך גרף הנגזרת · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ בתחום $0\le x\le9$ .