שאלות פתוחות: תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0 - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה רציונלית ועל אי-שוויונות מהצורה f(x)/g(x)>0, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים פותרים אי-שוויונות כמו 1/x<2/(x+3) בעזרת טבלת סימנים, ומוצאים פרמטר כשנתון תחום הפתרון. יש שאלות שבהן משווים בין פונקציה לישר, ושאלות שבהן קוראים מסרטוט של פרבולה וישר היכן המנה חיובית. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש גם קשות, ואפשר לבחור מהן לדף עבודה או לבוחן, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

19 שאלותקלה: 6בינונית: 11קשה: 2

שאלה 1 · תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−9(x−1)2f(x)=\frac{x^2-9}{(x-1)^2}f(x)=(x−1)2x2−9​.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx.

ב.

מצאו את תחום השליליות של הפונקציה.

שאלה 2 · תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x(3−x)(x+2)(x−4)f(x)=\frac{x(3-x)}{(x+2)(x-4)}f(x)=(x+2)(x−4)x(3−x)​.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של הפונקציה.

שאלה 3 · תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0שאלת ביניים · קשה

נתון כי תחום הפתרון של אי-השוויון x2+bx−2x−4≤0\frac{x^2+bx-2}{x-4}\le0x−4x2+bx−2​≤0, כאשר bbb פרמטר, הוא: x≤−1x\le-1x≤−1 או 2≤x<42\le x<42≤x<4.

א.

מצאו את bbb.

ב.

פתרו את אי-השוויון x−4x2+bx−2>0\frac{x-4}{x^2+bx-2}>0x2+bx−2x−4​>0.

שאלה 4 · תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0שאלה קצרה · קלה

נתון אי-השוויון 1x<2x+3\frac{1}{x}<\frac{2}{x+3}x1​<x+32​.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 5 · תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0שאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=6x−2f(x)=\frac{6}{x-2}f(x)=x−26​ ונתון הישר y=x−1y=x-1y=x−1.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הישר.

ב.

מצאו את תחומי ה-xxx שבהם גרף הפונקציה נמצא מעל הישר.

שאלה 6 · תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0שאלה קצרה · קשה

בשרטוט מתוארים גרף הפרבולה y=g(x)y=g(x)y=g(x) וגרף הישר y=h(x)y=h(x)y=h(x). הפרבולה פתוחה כלפי מעלה וחותכת את ציר ה-xxx בנקודות x=−1x=-1x=−1 ו-x=3x=3x=3. הישר יורד וחותך את ציר ה-xxx בנקודה x=1x=1x=1.
y=g(x)y=h(x)
-3-2-112345-6-4-22468

פתרו את אי-השוויון g(x)h(x)≤0\frac{g(x)}{h(x)}\le0h(x)g(x)​≤0.

שאלה 7 · שתי פונקציות רציונליות: קטע אנכי מקסימלישאלה מלאה · קלה

לפניך הגרפים של שתי הפונקציות: f(x)=4x2+3f(x)=\frac{4}{x^2+3}f(x)=x2+34​, g(x)=4xx2+3g(x)=\frac{4x}{x^2+3}g(x)=x2+34x​ המוגדרות לכל xxx.
‫א‬‫ב‬M

א.

חשבו את f(0)f(0)f(0) ואת g(0)g(0)g(0), וקבעו את הסימן של g(x)g(x)g(x) עבור x<0x<0x<0. על פי זה קבעו איזה גרף מתאים לאיזו פונקציה.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך MMM של שני הגרפים.

ג.

מעבירים ישר המקביל לציר ה-yyy משמאל לנקודת החיתוך MMM. הישר חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה AAA ואת גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בנקודה BBB. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה AAA.

(1)

הראו כי AB=4−4tt2+3AB=\frac{4-4t}{t^2+3}AB=t2+34−4t​.

(2)

מצאו את ערכו של ttt עבורו אורך הקטע ABABAB מקסימלי, ואת האורך המקסימלי.

שאלה 8 · שתי פונקציות רציונליות: זיהוי גרפים וקטע מקסימלישאלה מלאה · בינונית

לפניך הגרפים של שתי הפונקציות: f(x)=15x2+5f(x)=\frac{15}{x^2+5}f(x)=x2+515​, g(x)=5x+5x2+5g(x)=\frac{5x+5}{x^2+5}g(x)=x2+55x+5​ המוגדרות לכל xxx.
‫א‬‫ב‬M

א.

קבעו איזה גרף מתאים לאיזו פונקציה. נמקו.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך MMM של שתי הפונקציות.

ג.

מעבירים ישר המקביל לציר ה-yyy משמאל לנקודת החיתוך MMM. הישר חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה AAA ואת גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בנקודה BBB. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה AAA.

(1)

הבע באמצעות ttt את אורך הקטע ABABAB.

(2)

מצאו את ערכו של ttt עבורו אורך הקטע ABABAB הוא מקסימלי.

שאלה 9 · תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0שאלה קצרה · קלה

לפניכם הגרפים I ו-II של הפונקציות f(x)=x2−3x2+1f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+1}f(x)=x2+1x2−3​ ו-g(x)=2xx2+1g(x)=\frac{2x}{x^2+1}g(x)=x2+12x​, המוגדרות לכל xxx.
III

א.

קבעו איזה גרף מתאים לאיזו פונקציה. נמקו.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים.

שאלה 10 · חקירת פונקציה רציונלית והקיצון של g כש-g'=fשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=36−4x24−x2f(x)=\frac{36-4x^2}{4-x^2}f(x)=4−x236−4x2​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(4)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(5)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת: g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x). לפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) יש אותו תחום הגדרה. מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן. נמקו את תשובתכם.

עוד 5 שאלות על תחומי חיוביות ושליליות ואי-שוויונות f(x)/g(x)>0

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית: מהסימן של f לקיצון של g (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-25}{x^2-4}$ .
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{30x}{x^2+9}-3$ , המוגדרת לכל $x$ .
תחום השליליות של פונקציה רציונלית עם מכנה ריבועי (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-9}{(x-1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סימן הנגזרת והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{x-3}{(x+b)^2}$ לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=4$ .
תחום הגדרה ותחומי סימן של מנה עם שורש במונה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4x}}{x-6}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שתי פונקציות רציונליות: זיהוי גרפים וקטע מקסימלי · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 8
לפניך הגרפים של שתי הפונקציות: $f(x)=\frac{3}{x^2+1}$ , $g(x)=\frac{4x}{x^2+1}$ המוגדרות לכל $x$ .
חקירת פונקציה רציונלית והקיצון של פונקציה שהנגזרת שלה נתונה · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{16-9x^2}{1-x^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{72-18x}{x^2+9}-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סימן הנגזרת והזזה · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בסרטוט שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x+b}$ לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=1$ .