שאלות פתוחות: נקודות החיתוך עם הצירים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נקודות החיתוך של פונקציה רציונלית עם הצירים, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוצאים חיתוך עם ציר ה-x מאיפוס המונה וחיתוך עם ציר ה-y מהצבת x=0, תוך בדיקה שהנקודה בתחום ההגדרה. יש שאלות שבהן מוצאים פרמטר מתוך נקודת חיתוך נתונה, שאלה על גרף שמשיק לציר ה-x, ושאלות עם שני גרפים בסרטוט. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, והמורה יכול לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

94 שאלותקלה: 24בינונית: 55קשה: 15

שאלה 1 · שתי פונקציות רציונליות: קטע אנכי מקסימלישאלה מלאה · קלה

לפניך הגרפים של שתי הפונקציות: f(x)=4x2+3f(x)=\frac{4}{x^2+3}f(x)=x2+34​, g(x)=4xx2+3g(x)=\frac{4x}{x^2+3}g(x)=x2+34x​ המוגדרות לכל xxx.
‫א‬‫ב‬M

א.

חשבו את f(0)f(0)f(0) ואת g(0)g(0)g(0), וקבעו את הסימן של g(x)g(x)g(x) עבור x<0x<0x<0. על פי זה קבעו איזה גרף מתאים לאיזו פונקציה.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך MMM של שני הגרפים.

ג.

מעבירים ישר המקביל לציר ה-yyy משמאל לנקודת החיתוך MMM. הישר חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה AAA ואת גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בנקודה BBB. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה AAA.

(1)

הראו כי AB=4−4tt2+3AB=\frac{4-4t}{t^2+3}AB=t2+34−4t​.

(2)

מצאו את ערכו של ttt עבורו אורך הקטע ABABAB מקסימלי, ואת האורך המקסימלי.

שאלה 2 · נקודות החיתוך עם הציריםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+bx−12x2f(x)=\frac{x^2+bx-12}{x^2}f(x)=x2x2+bx−12​, כאשר bbb פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=3x=3x=3.

א.

מצאו את bbb.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך הנוספת של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx. האם לגרף יש נקודת חיתוך עם ציר ה-yyy? אם כן, מצאו אותה; אם לא, נמקו.

שאלה 3 · נקודות החיתוך עם הציריםשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ax2x2−1−3f(x)=\frac{ax^2}{x^2-1}-3f(x)=x2−1ax2​−3, כאשר aaa פרמטר.

א.

נתון כי גרף הפונקציה עובר דרך הנקודה (2,1)(2,1)(2,1). מצאו את aaa, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).

ב.

בסעיף זה הנתון של סעיף א' אינו מתקיים בהכרח. מצאו את כל ערכי aaa שעבורם לגרף הפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx.

שאלה 4 · חקירת $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ומשיקשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}f(x)=x+x4​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

הראו כי f′(x)=x2−4x2f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}f′(x)=x2x2−4​, ומצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ג.

הסבירו מדוע אין לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−4g(x)=f(x)-4g(x)=f(x)−4. מצאו את הנקודה שבה גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx.

ה.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=4x=4x=4, ואת השטח שהוא יוצר עם הצירים.

שאלה 5 · נקודות החיתוך עם הציריםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2−x+bx2+1f(x)=2-\frac{x+b}{x^2+1}f(x)=2−x2+1x+b​, כאשר bbb פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,−1)(0,-1)(0,−1).

מצאו את bbb, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx.

שאלה 6 · נקודות החיתוך עם הציריםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+bx+9x−1f(x)=\frac{x^2+bx+9}{x-1}f(x)=x−1x2+bx+9​, כאשר bbb פרמטר. גרף הפונקציה משיק לציר ה-xxx בנקודה שבה x>0x>0x>0.

א.

מצאו את bbb.

ב.

מצאו את כל נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית: נגזרת נתונה וקיצוןשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2(x−2)2f(x)=\frac{x^2}{(x-2)^2}f(x)=(x−2)2x2​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות המקבילות לצירים.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג.

הראו כי f′(x)=−4x(x−2)3f'(x)=\frac{-4x}{(x-2)^3}f′(x)=(x−2)3−4x​.

ד.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

רשמו את האסימפטוטות המקבילות לצירים של g(x)g(x)g(x) ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

שאלה 8 · חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכיתשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−1f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).

(4)

הראו כי הפונקציה היא זוגית.

(5)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-kg(x)=f(x)−k, kkk הוא פרמטר.

מהו הערך של kkk שבעבורו הישר y=−4y=-4y=−4 משיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x)?

שאלה 9 · שתי פונקציות רציונליות עם פרמטר: קטע מקסימלישאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=8x2+4f(x)=\frac{8}{x^2+4}f(x)=x2+48​, g(x)=mxx2+4g(x)=\frac{mx}{x^2+4}g(x)=x2+4mx​, כאשר m>0m>0m>0 הוא פרמטר. הגרפים נחתכים בנקודה MMM.
fgM

א.

הביעו באמצעות mmm את שיעורי הנקודה MMM.

ב.

ישר המקביל לציר ה-yyy, x=tx=tx=t, נמצא משמאל ל-MMM וחותך את גרף fff בנקודה AAA ואת גרף ggg בנקודה BBB.

ידוע כי אורך הקטע ABABAB מקסימלי כאשר t=−23t=-\frac23t=−32​. מצאו את mmm.

ג.

הציבו m=3m=3m=3. מצאו את האורך המקסימלי של הקטע ABABAB.

ד.

(עם m=3m=3m=3) עכשיו הישר x=tx=tx=t נמצא מימין ל-MMM. מצאו את ttt שבעבורו אורך הקטע ABABAB מקסימלי, ואת האורך.

שאלה 10 · חקירת פונקציה רציונלית זוגית בלי חיתוך עם ציר ה-xשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+1x2−1f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}f(x)=x2−1x2+1​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=−4x(x2−1)2f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}f′(x)=(x2−1)2−4x​.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, kkk הוא פרמטר. נתון: משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x)g(x)g(x) היא: y=3y=3y=3.

(1)

מצאו את kkk.

(2)

מהם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), ומהו סוגה?

עוד 55 שאלות על נקודות החיתוך עם הצירים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שתי פונקציות רציונליות: זיהוי גרפים וקטע מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
לפניך הגרפים של שתי הפונקציות: $f(x)=\frac{15}{x^2+5}$ , $g(x)=\frac{5x+5}{x^2+5}$ המוגדרות לכל $x$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-a)^2}{(x+2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת פונקציה רציונלית ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ .
חקירת פונקציה רציונלית, הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\frac{18}{x}-3$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax^2-1}{x^2-1}$ , $a$ הוא פרמטר, $a>0$ , $a\neq1$ .
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה מודרכת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$ .
חקירת פונקציה רציונלית ושיקוף שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{(x-1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של |f(x)|=4 (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-2x+a}{x-1}$ , כאשר $a$ פרמטר ו- $a>1$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ .
פונקציה רציונלית: מהנגזרת לגרף הנגזרת ולשטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}+1$ .
חקירת פונקציה רציונלית זוגית עם מינימום, ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטחים שווים מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}-1$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\frac{1}{x^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-b}{x-3}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות וקיצון של g (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-4x^2}{9-x^2}$ , כאשר $a$ פרמטר, $a>36$ .
חקירת פונקציה רציונלית: מהסימן של f לקיצון של g (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-25}{x^2-4}$ .
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: מינימומים בגבהים שונים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-a}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>1$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{x^2-1}$ .
פונקציה רציונלית יורדת-עולה: זיהוי גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2-\frac{8}{(2x+3)^2}$ .
שטח מינימלי עם פרמטר: גובה קבוע של המשולש האופטימלי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x+a}{x-2}$ , $a>-6$ הוא פרמטר. הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, מימין לאסימפטוטה האנכית. הנקודה $C$ נמצאת על ציר…
חקירת פונקציה רציונלית: מנה ועוד קבוע (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}+3$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{48}{x^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: פרמטר משטח ומספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{(x-2)^2}$ , כאשר $k>0$ פרמטר. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ העבירו ישר המקביל לציר ה- $x$ . הישר…
בעיית קיצון: משולש מתחת לגרף - עם הכוונה (שאלה מלאה · קלה)
נתון גרף הפונקציה $f(x)=2-\frac8x$ בתחום $x>0$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . מן הנקודה $B(16,0)$ מעבירים אנך לציר ה- $x$ . $C$ היא נקודה…
חקירת פונקציה רציונלית והקיצון של g כש-g'=f (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{36-4x^2}{4-x^2}$ .
נקודות החיתוך עם ציר ה-x בהבעה באמצעות פרמטר (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-a}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>1$ .
פונקציה רציונלית: גרף הנגזרת, פרמטר ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{x^2-9}+a$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ ( $a$ פרמטר). בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף $f'(x)$ חותך…
חקירת פונקציה רציונלית שהמקסימום שלה על ציר ה-x (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{x^2+9}-1$ .
מגרף הנגזרת לנוסחת הפונקציה, לחיתוך עם הצירים ולסקיצה (שאלת ביניים · קשה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
פונקציה רציונלית: נגזרת, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x^2-12}{x^2+2}$ , המוגדרת לכל $x$ . בסוף השאלה מופיעים שני גרפים, I ו-II: גרף I: גרף II:
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת: אסימפטוטות ב-±2 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+1$ .
פרמטר שבעבורו המשיקים בנקודות החיתוך עם ציר ה-x מקבילים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-1)(x+a)}{x+3}$ , כאשר $a$ פרמטר. לגרף הפונקציה יש שתי נקודות חיתוך שונות עם ציר ה- $x$ , והמשיקים לגרף בשתי…
היפרבולה ומשיק: קטע אנכי מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{8}{x-2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq2$ . הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק ונגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x+54}{16x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
משולש עם קודקוד על היפרבולה: שטח מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+3}{x-1}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון ( $x>1$ ). הנקודה $C$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך ש- $AC$ מקביל…
בעיית קיצון: משולש שקודקודו על גרף $4 - \frac{9}{x}$ (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=4-\frac9x$ , בתחום $x>0$ . גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . מן הנקודה $B(16,0)$ …
חקירת פונקציה רציונלית: מהנגזרת לסקיצה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{24-16x}{x^2+4}+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
נקודות החיתוך עם הצירים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{20-6x}{x^2+4}-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-33}{x^2+3}+2$ , המוגדרת לכל $x$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה רציונלית: גרף הנגזרת והשטח מתחתיו (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-3}$ המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף…
פונקציה רציונלית: היקף מינימלי של מלבן (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{2x-2}{x-3}$ . $A$ היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ . הנקודה $C(t,f(t))$ נמצאת על הגרף בתחום…
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{18x}{(x-3)^2}$ .
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, נקודה שנייה על ישר ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{(x-3)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-0.5 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+4x+a}{x^2}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
נקודות החיתוך עם הצירים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{9}{(3x-1)^2}$ .
משולש עם קודקוד על גרף רציונלי: שטח מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{(x+1)^2}{x-3}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון. הנקודה $C$ נמצאת על ציר…
נקודות החיתוך עם הצירים של מנה של שני ביטויים ריבועיים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{36-4x^2}{4-x^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{30x}{x^2+9}-3$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=6$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{3x-3}{x-4}$ .
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, חיתוך עם ישר אופקי ושטח מורכב (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{9}{(x-1)^2}-1$ .
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-8}{x-3}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$ .
שתי פונקציות רציונליות: זיהוי גרפים וקטע מקסימלי · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 8
לפניך הגרפים של שתי הפונקציות: $f(x)=\frac{3}{x^2+1}$ , $g(x)=\frac{4x}{x^2+1}$ המוגדרות לכל $x$ .
חקירת $f (x) = \frac{12}{x} + 3 x$ , הזזה אנכית ומשיק · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12}{x}+3x$ .
חקירת פונקציה רציונלית ושיקוף שלה · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x+3)^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית זוגית ושיקוף עם הזזה · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2-1}{x^2-1}$ .
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה ומספר פתרונות · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{(4x-1)^2}-4$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\frac{4}{x^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית והקיצון של פונקציה שהנגזרת שלה נתונה · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{16-9x^2}{1-x^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 471 חורף 2023, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{5x}{x^2+4}+1$ .
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת · בגרות 471 קיץ 2024 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-9}+4$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק אופקי ופונקציה קדומה · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+8}{10x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
בעיית קיצון: משולש שקודקודו על גרף $4 - \frac{3}{x}$ · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=4-\frac3x$ , בתחום $x>0$ . גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . מן הנקודה $B(12,0)$ העבירו אנך לציר ה- $x$ .…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 6
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm4$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ …
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו · בגרות 471 קיץ 2025 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי · בגרות 471 קיץ 2025 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-4}$ המוגדרת בתחום $x\neq4$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר…
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה · בגרות 471 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{(x+4)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-11 · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+x+a}{x}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
משולש עם קודקוד על גרף רציונלי: שטח מינימלי · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{x-4}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון. הנקודה $C$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך שהקטע $AC$ …
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{72-18x}{x^2+9}-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2}{x^2-9}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-5)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne5$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=7$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-2$ . בסוף…
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-6}$ .
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, חיתוך עם ישר אופקי ושטח מורכב · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{4}{(2x+1)^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-5}{x+3}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית עם מכנה בריבוע ושטח בין שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף שנמצא מעל גרף אחר ושטח ביניהם (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-a^2}{(x-3)^2}$ , $0<a<3$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר במכנה: חקירה, גרף מעל גרף ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4}{(x-a)^2}$ , $0<a<2$ הוא פרמטר.