שאלות פתוחות: אסימפטוטות אנכיות - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על אסימפטוטות אנכיות של פונקציה רציונלית לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוצאים את הערכים שבהם המכנה מתאפס ובודקים שהמונה אינו מתאפס שם, בפונקציות כמו (x²-9)/(x²-x-2) או x²/(x-2)². בשאלות עם פרמטר נתון כיוון השאיפה של הגרף משני צידי האסימפטוטה, ומזה מוצאים את הפרמטר, ובחלק מהשאלות האסימפטוטות הן שלב בחקירה מלאה. הרמות הן קלה, בינונית וקשה, ואפשר לבנות מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

102 שאלותקלה: 25בינונית: 60קשה: 17

שאלה 1 · פונקציה רציונלית זוגית וגרף הנגזרת שלהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2x2−1f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}f(x)=x2−1x2​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=−2x(x2−1)2f'(x)=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}f′(x)=(x2−1)2−2x​, ומצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

לפניכם גרפים 1-3.
גרף 1
גרף 2
גרף 3

(1)

איזה מן הגרפים 1-3 הוא גרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x)? נמקו.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר x=−12x=-\frac12x=−21​.

שאלה 2 · אסימפטוטות אנכיותשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−9x2−x−2f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-x-2}f(x)=x2−x−2x2−9​.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.

ב.

לכל אחת מהאסימפטוטות האנכיות קבעו אם f(x)f(x)f(x) שואפת ל-∞\infty∞ או ל-−∞-\infty−∞ כאשר xxx מתקרב אליה מימין, וכאשר הוא מתקרב אליה משמאל.

שאלה 3 · אסימפטוטות אנכיותשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x−ax2−4f(x)=\frac{x-a}{x^2-4}f(x)=x2−4x−a​, כאשר aaa פרמטר. נתון כי כאשר x→2+x\to2^+x→2+ (שואף ל-222 מימין) מתקיים f(x)→∞f(x)\to\inftyf(x)→∞, וכי כאשר x→−2+x\to-2^+x→−2+ (שואף ל-−2-2−2 מימין) גם כן f(x)→∞f(x)\to\inftyf(x)→∞.

מצאו את כל ערכי aaa האפשריים.

שאלה 4 · פונקציה רציונלית: נגזרת נתונה וקיצוןשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2(x−2)2f(x)=\frac{x^2}{(x-2)^2}f(x)=(x−2)2x2​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות המקבילות לצירים.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג.

הראו כי f′(x)=−4x(x−2)3f'(x)=\frac{-4x}{(x-2)^3}f′(x)=(x−2)3−4x​.

ד.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

רשמו את האסימפטוטות המקבילות לצירים של g(x)g(x)g(x) ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

שאלה 5 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1f(x)=x2a​−1, aaa הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x=−2x=-2x=−2 הוא 111.

א.

חשבו את aaa.

ב.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה).

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה בתחום x>0x>0x>0.

ג.

איזה מבין הגרפים I, II, III הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) בתחום x>0x>0x>0? נמקו.
גרף I
גרף II
גרף III

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1, x=4x=4x=4.

שאלה 6 · אסימפטוטות אנכיותשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=1(x−1)(x−a)f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-a)}f(x)=(x−1)(x−a)1​, כאשר a>1a>1a>1 פרמטר.

א.

רשמו את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה, והוכיחו כי f(x)<0f(x)<0f(x)<0 לכל xxx בקטע 1<x<a1<x<a1<x<a.

ב.

קבעו אם f(x)f(x)f(x) שואפת ל-∞\infty∞ או ל-−∞-\infty−∞ כאשר x→1+x\to1^+x→1+, וכאשר x→a−x\to a^-x→a−. נמקו.

שאלה 7 · חקירת פונקציה רציונלית זוגית בלי חיתוך עם ציר ה-xשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+1x2−1f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}f(x)=x2−1x2+1​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=−4x(x2−1)2f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}f′(x)=(x2−1)2−4x​.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, kkk הוא פרמטר. נתון: משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x)g(x)g(x) היא: y=3y=3y=3.

(1)

מצאו את kkk.

(2)

מהם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), ומהו סוגה?

שאלה 8 · חקירת פונקציה רציונלית, הזזה אנכית ומשיקשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=2x+18x−3f(x)=2x+\frac{18}{x}-3f(x)=2x+x18​−3.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(3)

הסבירו מדוע אין לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות חיתוך עם הצירים.

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c, ccc הוא פרמטר. נתון שגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx.

מצאו את הערך של ccc (מצאו את שתי האפשרויות). נמקו.

ג.

הציבו: c=−9c=-9c=−9.

(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בנקודה שבה x=1x=1x=1.

(3)

חשבו את השטח שיוצר המשיק עם הצירים.

שאלה 9 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח הפוךשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2−x2+ax−8f(x)=\frac{x^2}{-x^2+ax-8}f(x)=−x2+ax−8x2​, aaa הוא פרמטר. ידוע שהישר x=1x=1x=1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

א.

מצאו את aaa.

ב.

הציבו a=9a=9a=9. מצאו את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים, ואת נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וסוגן.

ג.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש בדיוק שני פתרונות.

ד.

הישר x=tx=tx=t (t<0t<0t<0), ציר ה-xxx וגרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) חוסמים שטח שגודלו 49\frac4994​. מצאו את ttt.

שאלה 10 · חקירת פונקציה רציונלית ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x−1x+1f(x)=\frac{2x-1}{x+1}f(x)=x+12x−1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ג.

הראו כי f′(x)=3(x+1)2f'(x)=\frac{3}{(x+1)^2}f′(x)=(x+1)23​, וקבעו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

היעזרו בכך ש-f(x)f(x)f(x) היא פונקציה קדומה של f′(x)f'(x)f′(x), וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), על ידי ציר ה-xxx, על ידי ציר ה-yyy ועל ידי הישר x=2x=2x=2.

עוד 60 שאלות על אסימפטוטות אנכיות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית, גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x^2}{-x^2+6x-8}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-a)^2}{(x+2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת פונקציה רציונלית ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{9}{x^2-9}+2$ .
חקירת פונקציה רציונלית ושיקוף שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{(x-1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax^2-1}{x^2-1}$ , $a$ הוא פרמטר, $a>0$ , $a\neq1$ .
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה מודרכת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$ .
חקירת פונקציה רציונלית זוגית עם מינימום, ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מונוטוניות, פרמטר משטח וספירת פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}$ , $b\neq8$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: מהנגזרת לגרף הנגזרת ולשטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}+1$ .
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-b}{x-3}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של |f(x)|=4 (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-2x+a}{x-1}$ , כאשר $a$ פרמטר ו- $a>1$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ .
חקירת פונקציה רציונלית: מהסימן של f לקיצון של g (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-25}{x^2-4}$ .
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{-12}{x^2-4}+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטחים שווים מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}-1$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
פונקציה רציונלית: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{x^2-1}$ .
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: מינימומים בגבהים שונים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות וקיצון של g (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-4x^2}{9-x^2}$ , כאשר $a$ פרמטר, $a>36$ .
חקירת פונקציה רציונלית: מנה ועוד קבוע (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}+3$ .
פונקציה רציונלית יורדת-עולה: זיהוי גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2-\frac{8}{(2x+3)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מתי יש קיצון? (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x}{x^2-a}$ . $a\ne0$ הוא פרמטר.
בעיית קיצון: היקף מלבן ליד היפרבולה (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4}{1-x}+1$ , המוגדרת לכל $x\neq1$ . מנקודה $A$ , הנמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, העבירו אנכים…
חקירת פונקציה רציונלית והקיצון של g כש-g'=f (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{36-4x^2}{4-x^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x+4}{8x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון וחיתוך עם ישרים אופקיים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8x}{(x+2)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+1}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה $\left(4,\frac57\right)$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-4}+a$ , ו- $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית, וקיצון של g כש-g'=f-10 (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+16}{x}$ .
חקירת פונקציה רציונלית שהמקסימום שלה על ציר ה-x (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{x^2+9}-1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מלבן בהיקף מינימלי ומספר מלבנים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-k}$ , ו- $k>2$ הוא פרמטר. $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ . הנקודה $C$ נמצאת על גרף…
משולש עם קודקוד על היפרבולה: שטח מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+3}{x-1}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון ( $x>1$ ). הנקודה $C$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך ש- $AC$ מקביל…
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת: אסימפטוטות ב-±2 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיום קיצון, ערכי קיצון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+a}{x-2}$ , $a$ פרמטר, $a\neq-4$ .
חקירת פונקציה רציונלית זוגית והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-1}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק ונגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x+54}{16x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
פרמטר מאסימפטוטה אנכית נתונה, האסימפטוטה השנייה והתנהגות הגרף לידן (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x-1}{x^2+ax+a-1}$ , כאשר $a$ פרמטר. נתון כי הישר $x=3$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
פונקציה רציונלית: גרף הנגזרת והשטח מתחתיו (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
בעיית קיצון: מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{16}{x+1}-3$ , המוגדרת לכל $x\neq-1$ .
פונקציה רציונלית: היקף מינימלי של מלבן (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{2x-2}{x-3}$ . $A$ היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ . הנקודה $C(t,f(t))$ נמצאת על הגרף בתחום…
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{18x}{(x-3)^2}$ .
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, נקודה שנייה על ישר ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{(x-3)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-0.5 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+4x+a}{x^2}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+3}{x+1}$ . בסוף השאלה מופיעים שני גרפים, I ו-II. גרף I: גרף II:
משולש עם קודקוד על גרף רציונלי: שטח מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{(x+1)^2}{x-3}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון. הנקודה $C$ נמצאת על ציר…
פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ .
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, נגזרת נתונה וקיצון (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x-4}{x^2}+2$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=6$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
חקירת פונקציה רציונלית ואסימפטוטות של הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x+1}{x^2-4x}$ .
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{3x-3}{x-4}$ .
חקירה, משיק ושטח של פונקציה רציונלית פשוטה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}+2$ .
מלבן בין נקודה על הגרף לאסימפטוטות: היקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם ציור של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4}{(x+1)^2}+2$ . מנקודה $A$ , הנמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון, העבירו אנכים לאסימפטוטות של…
תחום ההגדרה והאסימפטוטות האנכיות (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{x^2-1}$ .
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, חיתוך עם ישר אופקי ושטח מורכב (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{9}{(x-1)^2}-1$ .
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-8}{x-3}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סימן הנגזרת והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{x-3}{(x+b)^2}$ לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=4$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה ואסימפטוטות של הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{2x-1}{ax^2+8x}$ . $a$ הוא פרמטר.
שיקוף והזזה של 1/x²: חקירה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=-\frac{1}{x^2}$ .
אסימפטוטה אנכית ואי-חיתוך עם ציר ה-x בפונקציה עם פרמטר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-2x+a}{x-1}$ , כאשר $a$ פרמטר ו- $a>1$ .
פרמטר משטח המלבן שיוצרות האסימפטוטות, והזזה אופקית (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax^2-x+5}{3x^2+3x-18}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. ציר ה- $x$ והאסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים יוצרים מלבן…
אסימפטוטות, נקודת קיצון וסקיצה של פונקציה רציונלית (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$ . גרף הפונקציה חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $(-3,0)$ ו- $(3,0)$ , ואת ציר ה- $y$ בנקודה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+2$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=2$ הוא $-2$ .
חקירת $f (x) = \frac{12}{x} + 3 x$ , הזזה אנכית ומשיק · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12}{x}+3x$ .
חקירת פונקציה רציונלית, גרף הנגזרת ושטח מתחתיו · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{-x^2+4x-3}$ .
חקירת פונקציה רציונלית ושיקוף שלה · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x+3)^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית זוגית ושיקוף עם הזזה · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2-1}{x^2-1}$ .
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{4x^2-1}+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה ומספר פתרונות · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{(4x-1)^2}-4$ .
חקירת פונקציה רציונלית והקיצון של פונקציה שהנגזרת שלה נתונה · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{16-9x^2}{1-x^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה $(3,1.2)$ .
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 471 חורף 2023, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{5x}{x^2+4}+1$ .
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת · בגרות 471 קיץ 2024 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-9}+4$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק אופקי ופונקציה קדומה · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+8}{10x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
בעיית קיצון: מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 8
לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{9}{1-x}+2$ , המוגדרת לכל $x\neq1$ .
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה · בגרות 471 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{(x+4)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-11 · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+x+a}{x}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
משולש עם קודקוד על גרף רציונלי: שטח מינימלי · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{x-4}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון. הנקודה $C$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך שהקטע $AC$ …
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2}{x^2-9}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-5)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne5$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=7$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-2$ . בסוף…
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-6}$ .
מלבן בין נקודה על הגרף לאסימפטוטות: היקף מינימלי · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 8
לפניכם ציור של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4}{x-1}+3$ ברביע הראשון. מנקודה $A$ , הנמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה…
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, חיתוך עם ישר אופקי ושטח מורכב · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{4}{(2x+1)^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-5}{x+3}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סימן הנגזרת והזזה · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בסרטוט שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x+b}$ לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה ואסימפטוטות של הנגזרת · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{4x+1}{ax^2-2x}$ . $a$ הוא פרמטר.
הפונקציה 1/x² והזזות שלה: חקירה, משיק ושטח · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית עם מכנה בריבוע ושטח בין שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף שנמצא מעל גרף אחר ושטח ביניהם (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-a^2}{(x-3)^2}$ , $0<a<3$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+6$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne1$ . $a$ הוא…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x+1}+4$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$ . $a$ הוא פרמטר…
פונקציה רציונלית עם פרמטר במכנה: חקירה, גרף מעל גרף ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4}{(x-a)^2}$ , $0<a<2$ הוא פרמטר.