שאלות פתוחות: ערך מוחלט של פונקציה רציונלית - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על ערך מוחלט של פונקציה רציונלית, h(x)=|g(x)|, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים משרטטים את גרף הערך המוחלט על ידי שיקוף החלקים השליליים מעל ציר ה-x, ובודקים כמה פתרונות יש למשוואה כמו h(x)=1/9 או כמה פעמים ישר אופקי חותך את הגרף. לצד אלה יש שאלות חקירה על פונקציות כמו (x²+4)/x. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, ומתאים להרכבת מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

19 שאלותקלה: 3בינונית: 9קשה: 7

שאלה 1 · פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+4xf(x)=\frac{x^2+4}{x}f(x)=xx2+4​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

(2)

הראו שלגרף הפונקציה אין נקודות חיתוך עם הצירים.

(3)

הראו ש-f′(x)=x2−4x2f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}f′(x)=x2x2−4​.

(4)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|g(x)=∣f(x)∣.

(1)

הסבירו מדוע g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x) לכל x<0x<0x<0, ומצאו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(2)

כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=5g(x)=5g(x)=5? נמקו.

שאלה 2 · ערך מוחלט של פונקציה רציונליתשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−2x−3g(x)=\frac{1}{x^2-2x-3}g(x)=x2−2x−31​, ונתונה הפונקציה h(x)=∣g(x)∣h(x)=|g(x)|h(x)=∣g(x)∣. בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) והישר y=15y=\frac{1}{5}y=51​.
הישר y=15y=\frac{1}{5}y=51​ חותך את גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) בנקודות AAA ו-BBB. CCC היא נקודת המינימום של h(x)h(x)h(x) שבין האסימפטוטות האנכיות.
y=h(x)
ABC

א.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB, וחשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 3 · ערך מוחלט של פונקציה רציונליתשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1(x−3)2−cg(x)=\frac{1}{(x-3)^2-c}g(x)=(x−3)2−c1​, כאשר c>0c>0c>0 פרמטר, ונתונה הפונקציה h(x)=∣g(x)∣h(x)=|g(x)|h(x)=∣g(x)∣. נתון כי למשוואה h(x)=19h(x)=\frac{1}{9}h(x)=91​ יש בדיוק שלושה פתרונות.

א.

מצאו את ccc.

ב.

מצאו את ערכי kkk שעבורם למשוואה h(x)=kh(x)=kh(x)=k יש בדיוק ארבעה פתרונות, ואת ערכי kkk שעבורם יש לה בדיוק שני פתרונות.

שאלה 4 · חקירת פונקציה רציונלית: מהנגזרת לסקיצהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=24−16xx2+4+1f(x)=\frac{24-16x}{x^2+4}+1f(x)=x2+424−16x​+1, המוגדרת לכל xxx.

א.

מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה-xxx, ואת שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=16(x2−3x−4)(x2+4)2f'(x)=\frac{16(x^2-3x-4)}{(x^2+4)^2}f′(x)=(x2+4)216(x2−3x−4)​.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), קבעו את סוגן, ומצאו את תחומי העלייה והירידה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|g(x)=∣f(x)∣.

מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה-xxx של g(x)g(x)g(x), ואת שיעורי הנקודות שבהן גרף g(x)g(x)g(x) נוגע בציר ה-xxx.

שאלה 5 · ערך מוחלט של פונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=2x2+2x−8g(x)=\frac{2}{x^2+2x-8}g(x)=x2+2x−82​, ונתונה הפונקציה h(x)=∣g(x)∣h(x)=|g(x)|h(x)=∣g(x)∣.

א.

רשמו את משוואות האסימפטוטות של h(x)h(x)h(x).

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של h(x)h(x)h(x), וקבעו את סוגן.

שאלה 6 · ערך מוחלט של פונקציה רציונליתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​, כאשר f(x)f(x)f(x) פולינום ממעלה שנייה, ונתונה הפונקציה h(x)=∣g(x)∣h(x)=|g(x)|h(x)=∣g(x)∣.

האם ייתכן שלפונקציה h(x)h(x)h(x) יש בדיוק שתי נקודות קיצון? אם כן - תנו דוגמה לפולינום f(x)f(x)f(x) כזה; אם לא - נמקו מדוע.

שאלה 7 · האסימפטוטות של ערך מוחלט של 1/f(x)שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה g(x)=2x2+2x−8g(x)=\frac{2}{x^2+2x-8}g(x)=x2+2x−82​, ונתונה הפונקציה h(x)=∣g(x)∣h(x)=|g(x)|h(x)=∣g(x)∣.

רשמו את משוואות האסימפטוטות של h(x)h(x)h(x).

שאלה 8 · פונקציה רציונלית וערך מוחלט: מינימומים בגבהים שוניםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+3x−1f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}f(x)=x−1x2+3​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

רשמו את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכת לציר ה-xxx.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים, אם יש כאלה.

(4)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|g(x)=∣f(x)∣.

(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

(3)

כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=4g(x)=4g(x)=4? נמקו.

שאלה 9 · ערך מוחלט של פונקציה רציונליתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−2x+cg(x)=\frac{1}{x^2-2x+c}g(x)=x2−2x+c1​, כאשר ccc פרמטר, ונתונה הפונקציה h(x)=∣g(x)∣h(x)=|g(x)|h(x)=∣g(x)∣.

א.

מצאו את ערכי ccc שעבורם יש לפונקציה h(x)h(x)h(x) נקודת מקסימום, והביעו באמצעות ccc את שיעוריה.

ב.

הציבו c=−15c=-15c=−15. מצאו את נקודות הקיצון של h(x)h(x)h(x), וקבעו את סוגן.

שאלה 10 · ערך מוחלט של פונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x+1f(x)=\frac{2x-2}{x+1}f(x)=x+12x−2​, ונתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|g(x)=∣f(x)∣.

א.

מצאו את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים, ותארו את גרף g(x)g(x)g(x): האסימפטוטות שלו ונקודות המפגש שלו עם הצירים.

ב.

כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=2g(x)=2g(x)=2? נמקו.

עוד 6 שאלות על ערך מוחלט של פונקציה רציונלית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של |f(x)|=4 (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-2x+a}{x-1}$ , כאשר $a$ פרמטר ו- $a>1$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ .
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{30x}{x^2+9}-3$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מתי |f| נוגעת בציר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{24-16x}{x^2+4}+c$ , המוגדרת לכל $x$ . $c$ הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ .
ערך מוחלט של פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{10x}{x^2+4}-2$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה נקודת מינימום $(-2,-4.5)$ ונקודת מקסימום $(2,0.5)$ , ואין לה נקודות…
הזזה אנכית ואחריה ערך מוחלט: קיצון ומספר פתרונות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2-2x}$ . את גרף הפונקציה מזיזים יחידה אחת למעלה, וכך מתקבל גרף הפונקציה $f(x)=g(x)+1$ . נתונה גם הפונקציה…
נקודות הקיצון של ערך מוחלט של 1/f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2-2x+c}$ , כאשר $c$ פרמטר, ונתונה הפונקציה $h(x)=|g(x)|$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה ומספר פתרונות · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{72-18x}{x^2+9}-1$ , המוגדרת לכל $x$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-x^2}{x^2+1}$ , המוגדרת לכל $x$ , ונתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)|-b$ . $a$ ו- $b$ הם…