שאלות פתוחות: שילוב של כמה טרנספורמציות - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על שילוב של כמה טרנספורמציות בפונקציה רציונלית, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מבצעים ברצף שיקוף, מתיחה אנכית והזזה, למשל h(x)=1-2g(x-1), ומוצאים את האסימפטוטות ואת נקודת הקיצון של הגרף החדש. יש שאלות שבהן מחפשים את הפרמטרים p ו-k מתוך נקודת החיתוך של האסימפטוטות, ושאלות שבהן הגרף עובר בראשית. רוב השאלות בינוניות, לצד קלות וקשות, ואפשר לבנות מהן מבחן מסכם בנושא, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

22 שאלותקלה: 4בינונית: 13קשה: 5

שאלה 1 · שילוב של כמה טרנספורמציותשאלה קצרה · קלה

הגרף של הפונקציה g(x)=f(x+p)+kg(x)=f(x+p)+kg(x)=f(x+p)+k מתקבל מהזזה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), כאשר ppp ו-kkk פרמטרים. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מינימום אחת בלבד, (2,−3)(2,-3)(2,−3), ולפונקציה g(x)g(x)g(x) יש נקודת מינימום אחת בלבד, (−1,2)(-1,2)(−1,2). כמו כן נתון: f(5)=4f(5)=4f(5)=4.

א.

מצאו את ppp ואת kkk.

ב.

חשבו את g(2)g(2)g(2).

שאלה 2 · שילוב של כמה טרנספורמציותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=a(x−p)2+kg(x)=\frac{a}{(x-p)^2}+kg(x)=(x−p)2a​+k, כאשר a>0a>0a>0, ו-ppp, kkk פרמטרים. האסימפטוטות של הפונקציה נחתכות בנקודה (2,−1)(2,-1)(2,−1), וגרף הפונקציה עובר בראשית הצירים.

א.

מצאו את aaa, ppp ו-kkk.

ב.

מצאו את ערכי mmm שעבורם הישר y=my=my=m חותך את גרף הפונקציה בדיוק בשתי נקודות. האם יש ערך של mmm שעבורו הישר חותך את הגרף בנקודה אחת בדיוק? נמקו.

שאלה 3 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=ax2−1x2−1f(x)=\frac{ax^2-1}{x^2-1}f(x)=x2−1ax2−1​, aaa הוא פרמטר, a>0a>0a>0, a≠1a\neq1a=1.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x)f(x)f(x), ואת שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה בעבור כל ערכי aaa.

ג.

נתונה הפונקציה: g(x)=−f(x)+6g(x)=-f(x)+6g(x)=−f(x)+6. נתון: משוואת האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x) היא y=3y=3y=3.

(1)

מצאו את aaa.

(2)

מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x). מהו סוגה? נמקו.

ד.

בעבור הערך שמצאתם, מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m לפי ערכי mmm.

שאלה 4 · שילוב של כמה טרנספורמציותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ax−3+4f(x)=\frac{a}{x-3}+4f(x)=x−3a​+4, כאשר aaa פרמטר. גרף הפונקציה עובר בנקודה (1,2)(1,2)(1,2).

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

שאלה 5 · שילוב של כמה טרנספורמציותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−4g(x)=\frac{1}{x^2-4}g(x)=x2−41​, ונתונה הפונקציה h(x)=1−2g(x−1)h(x)=1-2g(x-1)h(x)=1−2g(x−1).

א.

רשמו את משוואות האסימפטוטות של h(x)h(x)h(x).

ב.

מצאו את תחום הערכים של h(x)h(x)h(x).

שאלה 6 · פונקציית שורש עם פרמטר: מהשטח לפרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x⋅x+af(x)=x\cdot\sqrt{x+a}f(x)=x⋅x+a​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי כל נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=−2⋅f(x)g(x)=-2\cdot f(x)g(x)=−2⋅f(x). נסמן ב-AAA וב-BBB את נקודות הקיצון הפנימיות של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) בהתאמה, וב-OOO את ראשית הצירים.

הביעו באמצעות aaa את שטח המשולש ABOABOABO.

ג.

נתון ששטח המשולש ABOABOABO הוא 192. מצאו את aaa.

ד.

בעבור aaa שמצאתם, קבעו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k לכל ערך של kkk.

שאלה 7 · חקירת פונקציית שורש ושיקוףשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x⋅x+3f(x)=x\cdot\sqrt{x+3}f(x)=x⋅x+3​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=3x+62x+3f'(x)=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}f′(x)=2x+3​3x+6​.

(2)

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), כולל נקודת הקצה של התחום, וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

(1)

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(2)

נסמן ב-AAA את נקודת המינימום של f(x)f(x)f(x) וב-BBB את נקודת המקסימום של g(x)g(x)g(x). OOO ראשית הצירים. חשבו את שטח המשולש ABOABOABO.

שאלה 8 · שילוב של כמה טרנספורמציותשאלת ביניים · בינונית

את הגרף של הפונקציה g(x)=1x2+2x+2g(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}g(x)=x2+2x+21​ משקפים ביחס לציר ה-yyy, את הגרף שהתקבל מותחים אנכית פי 333, ולבסוף מזיזים אותו יחידה אחת למטה. כך מתקבל גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x).

א.

רשמו את הפונקציה h(x)h(x)h(x).

ב.

מצאו את ערכי xxx שעבורם h(x)>0h(x)>0h(x)>0.

שאלה 9 · הזזה אנכית שבעבורה הגרף נוגע בציר ה-xשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1x2+2x+5g(x)=\frac{1}{x^2+2x+5}g(x)=x2+2x+51​. את גרף הפונקציה משקפים ביחס לציר ה-xxx, מותחים אנכית פי 222, ואחר כך מזיזים אנכית ב-kkk יחידות. כך מתקבל גרף הפונקציה h(x)=−2g(x)+kh(x)=-2g(x)+kh(x)=−2g(x)+k, כאשר kkk פרמטר.

מצאו את הערך של kkk שעבורו לגרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) יש נקודה משותפת אחת בדיוק עם ציר ה-xxx, ומצאו את הנקודה.

שאלה 10 · שילוב של כמה טרנספורמציותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1(x+3)2−4f(x)=\frac{1}{(x+3)^2}-4f(x)=(x+3)21​−4.

א.

רשמו את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

עוד 6 שאלות על שילוב של כמה טרנספורמציות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית זוגית עם מינימום, ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$ .
הזזה אנכית ואחריה ערך מוחלט: קיצון ומספר פתרונות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2-2x}$ . את גרף הפונקציה מזיזים יחידה אחת למעלה, וכך מתקבל גרף הפונקציה $f(x)=g(x)+1$ . נתונה גם הפונקציה…
שילוב של כמה טרנספורמציות (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $f(x)=\frac{2x^2}{x^2+1}$ אסימפטוטה אופקית $y=2$ , ונקודת קיצון אחת: מינימום בנקודה $(0,0)$ . נתונה הפונקציה $g(x)=-f(x)+k$ , $k$ הוא…
חקירת פונקציית שורש ושטח משולש בין נקודות קיצון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\cdot\sqrt{12-x}$ .
שילוב של כמה טרנספורמציות (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $f(x)=(x-3)\sqrt x$ , המוגדרת ל- $x\ge0$ , יש נקודת מקסימום בקצה התחום $(0,0)$ ונקודת מינימום $(1,-2)$ .
שיקוף והזזה של 1/x²: חקירה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=-\frac{1}{x^2}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה רציונלית זוגית ושיקוף עם הזזה · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2-1}{x^2-1}$ .
חקירת פונקציית שורש ושטח משולש בין נקודות קיצון · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\cdot\sqrt{x+18}$ .
הפונקציה 1/x² והזזות שלה: חקירה, משיק ושטח · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציית שורש: צמצום, חקירה וגרף של $- f (x + 2)$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(x-3)^2(x+2)}{\sqrt{x+2}}$ .
קיצון של פונקציה שהיא הזזה ומתיחה של פונקציה מוכרת (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $p(x)=\frac{\sqrt x}{x^2+12}$ , המוגדרת בתחום $x\ge0$ , יש נקודת קיצון פנימית יחידה: מקסימום…
אסימפטוטה ונקודות קיצון של $f (2 - x) + 1$ מתוך הגרף של $f$ (שאלה קצרה · קשה)
לפניכם הגרף של פונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה $y=-2$ , ו-2 נקודות…