מבחן לדוגמה: פונקציות עם שורשים ריבועיים: חקירה מלאה - כיתה י"א 5 יח"ל

הסרטוט לסעיף א:

במעגל שבסרטוט המיתרים $AB$ ו-$CD$ נחתכים בנקודה $P$. נתון: הקשת $AC$ (שאינה מכילה את $B$ ואת $D$) היא $80^\circ$, והקשת $BD$ (שאינה מכילה את $A$ ואת $C$) היא $120^\circ$. מעבירים את המיתר $BC$. חשבו את $\sphericalangle ABC$, את $\sphericalangle BCD$ ואת $\sphericalangle BPD$.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי: $\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$.

נתון גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-3\le x\le5$, ונתונה הפונקציה $h(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dx$ עבור $a>-1$.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ אין נקודות פיתול.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

היעזרו בגרף הפונקציה $f(x)$, וקבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הנגזרת השנייה $f''(x)$. נמקו את קביעתכם.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים: $x=2$ ו-$x=3$.

קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה $f(x)$, נמקו את קביעתכם:

I. $f(x)=-x(x+5)(x-6)$

II. $f(x)=-(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)$

III. $f(x)=(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)$

IV. $f(x)=-(x+5)(x-1)(x-2)(x-6)$

נתונה הפונקציה: $g(x)=\sqrt{f(x)}$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הראו כי $f'(x)=\frac{x-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-16}}$, וקבעו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

היעזרו בזהות $f(x)=\frac{-16}{\sqrt{x^2-16}+x}$ (הכפלה בצמוד), מצאו את האסימפטוטה האופקית של $f(x)$ וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הוכיחו כי $f(x)$ אי-זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{36-6x^2}{x^4\sqrt{3x^2-12}}$, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

מצאו את תחומי הקעירות של הפונקציה ואת נקודות הפיתול שלה (אם יש כאלה).

הראו כי $f'(x)=-\frac{\sqrt x+6}{4\sqrt x(\sqrt x+2)^3}$, ומצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{x}{\sqrt x+2}$, המוגדרת לכל $x\ge0$.

הראו כי לכל $x>0$ מתקיים $g'(x)=f(x)$.

קבעו אם יש לגרף הפונקציה $g(x)$ משיק ששיפועו 1, ואם יש לפונקציה $g(x)$ נקודת פיתול. נמקו.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$.

מצאו את כל ערכי $x$ שעבורם $f(x)>g(x)$.