שאלות פתוחות: חקירת √f(x) מתוך הגרף של f - כיתה י"א 5 יח"ל

חקירת √f(x) כשנתון רק הגרף של f - שאלות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות נתון שרטוט של f עם נקודות חיתוך ותחומי עלייה, ומסיקים ממנו את תחום ההגדרה, נקודות הקיצון ותחומי העלייה של √f(x) בלי לגזור. יש גם שאלות שבהן f טריגונומטרית, כמו sin x·cos x בתחום נתון. רוב השאלות בינוניות. אלה שאלות שבודקות הבנה ולא רק חישוב; המורה יכול לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, לקבל פתרון מלא ולהוריד את הדף ל-Word.

27 שאלותקלה: 5בינונית: 18קשה: 4

שאלה 1 · חקירה מודרכת של $\frac{2}{s i n x} - sin x$ בתחום והגרף של $f - 1$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2sin⁡(x)−sin⁡(x)f(x)=\frac{2}{\sin(x)}-\sin(x)f(x)=sin(x)2​−sin(x). ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

(2)

הראו כי f′(x)=−cos⁡x (2+sin⁡2x)sin⁡2xf'(x)=-\frac{\cos x\,(2+\sin^2x)}{\sin^2x}f′(x)=−sin2xcosx(2+sin2x)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−1g(x)=\sqrt{f(x)-1}g(x)=f(x)−1​.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-xxx. איזה מבין הגרפים I ו-II שלפניכם מתאר את g(x)g(x)g(x)? נמקו.
I
π2π
II
π2π

שאלה 2 · חקירת √f(x) מתוך הגרף של fשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה fff, המוגדרת וגזירה לכל xxx. הגרף חותך את ציר ה-xxx בנקודות (−3,0)(-3,0)(−3,0), (0,0)(0,0)(0,0) ו-(3,0)(3,0)(3,0), ולפונקציה נקודת מקסימום (−2,5)(-2,5)(−2,5) ונקודת מינימום (2,−5)(2,-5)(2,−5). מחוץ לתחום המשורטט הגרף ממשיך לרדת משמאל ולעלות מימין, בלי חיתוכים או נקודות קיצון נוספים.
y=f(x)
-4-3-2-11234-8-6-4-22468
מגדירים g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של ggg.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של ggg, כולל נקודות קיצון בקצוות תחום ההגדרה, וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · חקירת √f(x) מתוך הגרף של fשאלה קצרה · קשה

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה fff, המוגדרת וגזירה לכל xxx. מחוץ לתחום המשורטט הגרף ממשיך לרדת משמאל ולעלות מימין. על הגרף מסומנות נקודת החיתוך עם ציר ה-xxx, (−2,0)(-2,0)(−2,0), נקודת המקסימום (0,5)(0,5)(0,5), נקודת המינימום (2,4)(2,4)(2,4), והנקודה (3,5)(3,5)(3,5).
y=f(x)
-3-2-11234-11234567
מגדירים g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם למשוואה g(x)=kg(x)=kg(x)=k יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 4 · חקירת $sin x cos x$ והמרחק בינה לבין $\frac{1}{f}$ (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)f(x)=sin(x)⋅cos(x) המוגדרת בתחום: −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}−2π​≤x≤2π​.

א.

הראו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ג.

הראו כי f′(x)=cos⁡2x−sin⁡2xf'(x)=\cos^2x-\sin^2xf′(x)=cos2x−sin2x, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות הקצה) וקבעו את סוגן.

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}g(x)=f(x)​1​.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), והראו כי לגרף g(x)g(x)g(x) יש נקודת מינימום שבה x=π4x=\frac{\pi}{4}x=4π​. מצאו את שיעור ה-yyy שלה.

ה.

הסבירו מדוע בתחום 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​ ההפרש g(x)−f(x)g(x)-f(x)g(x)−f(x) קטן ככל ש-f(x)f(x)f(x) גדל, ומצאו את המרחק המינימלי בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) בתחום זה.

שאלה 5 · חקירת √f(x) מתוך הגרף של fשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל xxx, והישר y=1y=1y=1. מחוץ לתחום המשורטט הגרף ממשיך לרדת משמאל ולעלות מימין. לגרף שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx, נקודת מקסימום (−1,1)(-1,1)(−1,1) שבה הוא משיק לישר y=1y=1y=1, ונקודת מינימום (1,−1)(1,-1)(1,−1). הגרף חותך את הישר y=1y=1y=1 שוב בנקודה (2,1)(2,1)(2,1).
y=f(x)y=1
-2-112-2-112(-1,1)(1,-1)(2,1)
מגדירים g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה g(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=f(x). נמקו.

שאלה 6 · חקירת $sin^{2} x cos x$ : שני ענפים של $\frac{1}{f}$ , מספר חיתוכים עם $y = m$ ומרחק מינימלישאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡2(x)⋅cos⁡(x)f(x)=\sin^2(x)\cdot\cos(x)f(x)=sin2(x)⋅cos(x) המוגדרת בתחום: −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}−2π​≤x≤2π​, ונתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}g(x)=f(x)​1​.

א.

חקרו את הפונקציה f(x)f(x)f(x): זוגיות, נקודות החיתוך עם הצירים, ונקודות הקיצון (כולל נקודות הקצה) וסוגן.

ב.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), את האסימפטוטות האנכיות שלה ואת נקודות הקיצון שלה.

ג.

מצאו את כל הערכים של mmm שבעבורם הישר y=my=my=m חותך את גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בארבע נקודות בדיוק.

ד.

מצאו את המרחק המינימלי בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) בתחום שבו שתי הפונקציות מוגדרות.

שאלה 7 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינוםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}31⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)​.

(2)

דנה טוענת כי 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n21\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=2n^21⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n2 לכל nnn טבעי. היעזרו בתת-סעיף (1), ומצאו את כל הערכים של nnn שבעבורם הטענה של דנה נכונה. האם הטענה נכונה לכל nnn טבעי?

ב.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הראו כי ∠AOB=2α\angle AOB=2\alpha∠AOB=2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הצלע AB.

נתון: α=30∘\alpha=30^\circα=30∘.

(2)

הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה x=1x=1x=1, ו-f(2)=0f(2)=0f(2)=0.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת שיעור ה-xxx של נקודת המינימום של f(x)f(x)f(x), ורשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x)f(x).

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המוגדרת לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה מקיימת: g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

נתון כי g(x)g(x)g(x) פונקציה זוגית, ו-g(2)=5g(2)=5g(2)=5.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של g(x)g(x)g(x), וקבעו אם g(0)g(0)g(0) גדול מ-5 או קטן מ-5. נמקו.

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6)f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)(x-6)f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6).

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, ואת התחומים שבהם f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​. רשמו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), והסבירו מדוע לגרף g(x)g(x)g(x) אין נקודת חיתוך עם ציר ה-yyy.

נתון: ∫69g(x) dx=k\int_6^9g(x)\,dx=k∫69​g(x)dx=k.

(3)

הביעו באמצעות kkk את ∫47g(x+2) dx\int_4^7g(x+2)\,dx∫47​g(x+2)dx, ואת ∫47[g(x+2)+2]dx\int_4^7\left[g(x+2)+2\right]dx∫47​[g(x+2)+2]dx.

שאלה 8 · חקירת √f(x) מתוך הגרף של fשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) והמשיק לגרף בנקודה (1,4)(1,4)(1,4). המשיק עובר גם דרך הנקודה (2,10)(2,10)(2,10).
y=f(x)
-1123-2246810121416
מגדירים g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ggg בנקודה שבה x=1x=1x=1.

שאלה 9 · הפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ כש- $f = 4 cos x + cos 2 x$ והסימן של $a$ לא ידועשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=4cos⁡x+cos⁡(2x)f(x)=4\cos x+\cos(2x)f(x)=4cosx+cos(2x), המוגדרת בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π. נתונה גם הפונקציה g(x)=a⋅f′(x)g(x)=\sqrt{a\cdot f^{\prime}(x)}g(x)=a⋅f′(x)​, כאשר a≠0a\neq0a=0 הוא פרמטר.

א.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) זוגית, ומצאו את נקודות הקיצון ואת נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), בנפרד עבור a>0a>0a>0 ועבור a<0a<0a<0.

ג.

מצאו את כל הערכים של aaa שבעבורם הערך הגדול ביותר של g(x)g(x)g(x) הוא 3.

ד.

בעבור a=3a=\sqrt3a=3​, קבעו כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m, לפי ערכי mmm.

שאלה 10 · חקירת $x + sin 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $- f^{'} (x)$ (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x+sin⁡(2x)f(x)=x+\sin(2x)f(x)=x+sin(2x), המוגדרת בתחום −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}−2π​≤x≤2π​.

א.

הוכיחו כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא אי-זוגית.

ב.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=−f′(x)g(x)=\sqrt{-f^{\prime}(x)}g(x)=−f′(x)​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx, ואת ערכי ggg בקצוות x=±π2x=\pm\frac{\pi}{2}x=±2π​.

ה.

הראו כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות פיתול בקטע π3<x<π2\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{2}3π​<x<2π​, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

עוד 11 שאלות על חקירת √f(x) מתוך הגרף של f

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת $\frac{1 + s i n ^{2} x}{s i n x}$ בתחום, וזיהוי הגרפים של $f - 2$ ושל $f - 2$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1+\sin^2(x)}{\sin(x)}$ . ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ מתוך החקירה של $f$ (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^3(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ . נתון: גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את…
תחום ההגדרה של $f (x)$ מתוך הגרף של $f$ (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה $f$ , המוגדרת וגזירה לכל $x$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $(-3,0)$ , $(0,0)$ ו- $(3,0)$ , ולפונקציה נקודת מקסימום…
חקירת √f(x) מתוך הגרף של f (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט מתואר הגרף של הפונקציה $h(x)=1-2\sin(x)$ בתחום $0\le x\le2\pi$ . נתונה הפונקציה $g(x)=\sqrt{h(x)}$ .
חקירת $sin^{3} x cos^{3} x$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^3(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי:…
שאלות קצרות: סכום $k \cdot 3^{k - 1}$ באינדוקציה, $(x - 3) 4 x - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , היקף משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
חקירת $cos^{2} x \cdot sin 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\cos x)^2\cdot\sin(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
חקירת √f(x) מתוך הגרף של f (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2x^3-9x^2+12x$ , המוגדרת בתחום $0\le x\le3$ , והפונקציה $g(x)=\sqrt{a\cdot f^{\prime}(x)}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר שלילי.
שאלות קצרות: סדרה טריגונומטרית מחזורית, זיהוי $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ , כלל נסיגה וזוגיות (שאלה מלאה · בינונית)
פרק ראשון: ענו על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה.
ביטוי מתוך גרף, ותחום וסקיצה של $f (x)$ (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $\frac{c o s ^{2} x}{s i n x} + 3$ בתחום, וזיהוי הגרפים של $f - 3$ ושל $f - 3$ · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}+3$ . ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
חקירת $sin x cos^{3} x$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .
שאלות קצרות: נוסחת סכום באינדוקציה, התאמת פונקציית שורש לגרף ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
מצאו את הערך של $b$ .
חקירת $sin^{2} x \cdot cos 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\sin x)^2\cdot\cos(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{4}$ .
שאלות קצרות: סדרה טריגונומטרית, זיהוי $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ , כלל נסיגה וזוגיות · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
פרק ראשון: ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה 1.

שאלה 1 · חקירה מודרכת של sinx2​−sinx בתחום והגרף של f−1​שאלה מלאה · קלה

שאלה 2 · חקירת √f(x) מתוך הגרף של fשאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · חקירת √f(x) מתוך הגרף של fשאלה קצרה · קשה

שאלה 4 · חקירת sinxcosx והמרחק בינה לבין f​1​ (מודרך)שאלה מלאה · קלה

שאלה 5 · חקירת √f(x) מתוך הגרף של fשאלה קצרה · בינונית

שאלה 6 · חקירת sin2xcosx: שני ענפים של f​1​, מספר חיתוכים עם y=m ומרחק מינימלישאלה מלאה · קשה

שאלה 7 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינוםשאלה מלאה · קלה

שאלה 8 · חקירת √f(x) מתוך הגרף של fשאלה קצרה · בינונית

שאלה 9 · הפונקציה a⋅f′(x)​ כש-f=4cosx+cos2x והסימן של a לא ידועשאלה מלאה · קשה

שאלה 10 · חקירת x+sin2x בתחום סגור והפונקציה −f′(x)​ (מודרך)שאלה מלאה · קלה