שאלות פתוחות: הזזה אנכית f(x)+k - כיתה י"א 5 יח"ל

בדף הזה 36 שאלות פתוחות במתמטיקה על הזזה אנכית f(x)+k, לתלמידי כיתה י"א 5 יח"ל, מתוך הנושא "טרנספורמציות של פונקציות (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

36 שאלותקלה: 16בינונית: 17קשה: 3

שאלה 1 · פונקציה רציונלית: חקירה מודרכת ונפח גוף סיבובשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xx3−8f(x)=\frac{x}{x^3-8}f(x)=x3−8x​.

א.

סרטטו סקיצה של הפונקציה h(x)=x3−8h(x)=x^3-8h(x)=x3−8, וקבעו לפיה עבור אילו ערכי xxx מתקיים h(x)<0h(x)<0h(x)<0 ועבור אילו h(x)>0h(x)>0h(x)>0.

ב.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים, ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים.

(2)

הראו כי f′(x)=−2(x3+4)(x3−8)2f'(x)=\frac{-2(x^3+4)}{(x^3-8)^2}f′(x)=(x3−8)2−2(x3+4)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודת הקיצון של fff.

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

מצאו את נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב סביב ציר ה-xxx של השטח המוגבל על ידי גרף fff, ציר ה-xxx והאנך לציר ה-xxx בנקודת הקיצון של fff.
(היעזרו בכך ש-(1x3−8)′=−3x2(x3−8)2\left(\frac{1}{x^3-8}\right)'=\frac{-3x^2}{(x^3-8)^2}(x3−81​)′=(x3−8)2−3x2​.)

שאלה 2 · חקירת $\frac{1 + s i n ^{2} x}{s i n x}$ בתחום, וזיהוי הגרפים של $f - 2$ ושל $f - 2$ שאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=1+sin⁡2(x)sin⁡(x)f(x)=\frac{1+\sin^2(x)}{\sin(x)}f(x)=sin(x)1+sin2(x)​. ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(4)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונות שתי פונקציות: k(x)=f(x)−2k(x)=f(x)-2k(x)=f(x)−2, g(x)=f(x)−2g(x)=\sqrt{f(x)-2}g(x)=f(x)−2​.

אחד מן הגרפים א-ד שלפניכם מתאר את הפונקציה k(x)k(x)k(x), ואחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה g(x)g(x)g(x). קבעו איזה מן הגרפים מתאר כל אחת מן הפונקציות ונמקו את קביעותיכם.
גרף א
π2π
גרף ב
π2π
גרף ג
π2π
גרף ד
π2π

שאלה 3 · מספר נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ אחרי הזזה אנכיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)2(x+2)f(x)=(x-1)^2(x+2)f(x)=(x−1)2(x+2), המוגדרת לכל xxx. הפונקציה עולה בתחום x<−1x<-1x<−1, יורדת בתחום −1<x<1-1<x<1−1<x<1 ועולה בתחום x>1x>1x>1. נקודת המקסימום שלה היא (−1,4)(-1,4)(−1,4) ונקודת המינימום שלה היא (1,0)(1,0)(1,0). לפניכם סקיצה של הגרף.
y=f(x)
(-1,4)(1,0)
נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, כאשר kkk הוא מספר.

א.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם לגרף של g(x)g(x)g(x) ולציר ה-xxx יש שתי נקודות משותפות בדיוק.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם הגרף של g(x)g(x)g(x) חותך את ציר ה-xxx בשלוש נקודות.

שאלה 4 · הזזה אנכית של $y = \frac{1}{x ^{2}}$ : אסימפטוטות ותחום ערכיםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה g(x)=1x2+1g(x)=\frac{1}{x^2}+1g(x)=x21​+1.

תארו כיצד מתקבל הגרף של g(x)g(x)g(x) מהגרף של y=1x2y=\frac{1}{x^2}y=x21​. מצאו את משוואות האסימפטוטות של הגרף של g(x)g(x)g(x) ואת תחום הערכים של g(x)g(x)g(x).

שאלה 5 · שאלות קצרות: יחס שטחים בטרפז, מכפלה טלסקופית באינדוקציה, זהויות של $cos$ ושיקוף והזזה של גרףשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

לפניכם טרפז ABCDABCDABCD, (AB∥CD)(AB\parallel CD)(AB∥CD).
ABCD
נתון: שטח המשולש BDCBDCBDC הוא 45 ושטח המשולש ABCABCABC הוא 18.

(1)

חשבו את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז ABCDABCDABCD.

(2)

חשבו את שטח הטרפז ABCDABCDABCD.

ב.

(1)

בעבור כל nnn טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת את הטענה:
(1−122)⋅(1−132)⋅(1−142)⋅…⋅(1−1(n+1)2)=n+22(n+1)\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\frac{n+2}{2(n+1)}(1−221​)⋅(1−321​)⋅(1−421​)⋅…⋅(1−(n+1)21​)=2(n+1)n+2​

(2)

חשבו את המכפלה:
(1−132)⋅(1−142)⋅(1−152)⋅…⋅(1−11002)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{100^2}\right)(1−321​)⋅(1−421​)⋅(1−521​)⋅…⋅(1−10021​)

ג.

בעבור כל אחת מן הטענות (1)-(2) שלפניכם, קבעו אם היא נכונה לכל xxx. נמקו.

(1)

cos⁡(π−x)=cos⁡(π+x)\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)cos(π−x)=cos(π+x)

(2)

cos⁡(π2+x)=cos⁡(x−π2)\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)cos(2π​+x)=cos(x−2π​)

ד.

לפניכם הגרף של פונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא: y=2y=2y=2 (ראו סרטוט), ו-2 נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום (1,6)(1,6)(1,6) ונקודת מינימום (−3,−2)(-3,-2)(−3,−2).
f(x)
נגדיר את הפונקציה: g(x)=3−f(x)g(x)=3-f(x)g(x)=3−f(x). גם הפונקציה g(x)g(x)g(x) מוגדרת לכל xxx.

(1)

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

שאלה 6 · המרחק האנכי בין גרף להזזה שלו: מלבן וריבועשאלת ביניים · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2xf(x)=x2−2x ו-g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, כאשר k>0k>0k>0.
הגרף של f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בנקודות AAA ו-BBB (AAA משמאל ל-BBB). דרך AAA ודרך BBB מעבירים ישרים המקבילים לציר ה-yyy. הישר שעובר דרך AAA חותך את הגרף של g(x)g(x)g(x) בנקודה DDD, והישר שעובר דרך BBB חותך את הגרף של g(x)g(x)g(x) בנקודה CCC.

א.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB, והביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודות CCC ו-DDD.

ב.

הראו שהמרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן, ומצאו את kkk שעבורו הוא ריבוע.

ג.

עבור ה-kkk שמצאתם בסעיף ב, מצאו את קדקוד הפרבולה של g(x)g(x)g(x), וחשבו את שטח המשולש שקודקודיו DDD, CCC וקדקוד הפרבולה.

שאלה 7 · נקודות על הגרף אחרי הזזה אנכית, ותחום הערכים של שורש מוזזשאלה קצרה · קלה

שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

הנקודות A(−2,4)A(-2,4)A(−2,4), B(0,0)B(0,0)B(0,0) ו-C(3,9)C(3,9)C(3,9) נמצאות על הגרף של הפונקציה f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2. נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−5g(x)=f(x)-5g(x)=f(x)−5. רשמו את הנקודות על הגרף של g(x)g(x)g(x) שמתאימות לנקודות AAA, BBB ו-CCC.

ב.

נתונה הפונקציה h(x)=x+2h(x)=\sqrt{x}+2h(x)=x​+2. תארו כיצד מתקבל הגרף של h(x)h(x)h(x) מהגרף של y=xy=\sqrt{x}y=x​, ומצאו את תחום ההגדרה ואת תחום הערכים של h(x)h(x)h(x).

שאלה 8 · פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה בריבוע: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבובשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה h(x)=ax3+1h(x)=ax^3+1h(x)=ax3+1.

א.

היעזרו בפונקציה y=x3y=x^3y=x3 וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) עבור a>0a>0a>0 ועבור a<0a<0a<0.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=x(ax3+1)2f(x)=\frac{x}{(ax^3+1)^2}f(x)=(ax3+1)2x​, a>0a>0a>0.
ענו על סעיף ב. אם יש צורך הביעו בעזרת aaa.

(1)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(2)

כתבו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המקבילות לצירים.

(3)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתון a=1a=1a=1. מהו נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב סביב ציר ה-xxx של השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והאנך לציר ה-xxx בנקודת הקיצון של הפונקציה?

שאלה 9 · זיהוי מתיחה אופקית והזזה אנכית של גרף פולינוםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3xf(x)=x3−3x. לגרף של fff (קו מקווקו) שתי נקודות קיצון בלבד: מקסימום (−1,2)(-1,2)(−1,2) ומינימום (1,−2)(1,-2)(1,−2), והוא עובר דרך ראשית הצירים.
הגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x) (קו רציף) מתקבל מהגרף של fff על ידי שתי טרנספורמציות: מתיחה או כיווץ אופקיים, והזזה אנכית. לגרף של ggg שתי נקודות קיצון בלבד: מקסימום (−2,4)(-2,4)(−2,4) ומינימום (2,0)(2,0)(2,0). הוא חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,2)(0,2)(0,2) ואת ציר ה-xxx בנקודות (−4,0)(-4,0)(−4,0) ו-(2,0)(2,0)(2,0).
y=f(x)y=g(x)

א.

כתבו את g(x)g(x)g(x) בעזרת fff, ונמקו.

ב.

כתבו את g(x)g(x)g(x) כפולינום, ובדקו שהגרף שלו עובר דרך הנקודה (−4,0)(-4,0)(−4,0).

ג.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של ggg עם הישר y=2y=2y=2.

שאלה 10 · נקודות הקיצון של $3 - f (x)$ שאלה קצרה · קלה

לפניכם הגרף של פונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) 2 נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום (1,6)(1,6)(1,6) ונקודת מינימום (−3,−2)(-3,-2)(−3,−2).
f(x)
נגדיר את הפונקציה: g(x)=3−f(x)g(x)=3-f(x)g(x)=3−f(x). גם הפונקציה g(x)g(x)g(x) מוגדרת לכל xxx.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

עוד 3 שאלות על הזזה אנכית f(x)+k

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הזזה אנכית של $y = ∣ x ∣$ ושטח המשולש מתחת לציר (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=|x|-3$ .
שיקוף פרבולה ביחס לציר ה- $x$ והזזה למעלה: הביטויים והקדקודים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)^2$ . משקפים את הגרף של $f(x)$ ביחס לציר ה- $x$ , ומקבלים את הגרף של $g(x)$ . אחר כך מזיזים את הגרף של $g(x)$ $9$ …
שיקוף ביחס לציר ה-y, מתיחה והזזה, ותחום חיוביות (שאלת ביניים · בינונית)
את הגרף של הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}$ משקפים ביחס לציר ה- $y$ , את הגרף שהתקבל מותחים אנכית פי $3$ , ולבסוף מזיזים אותו יחידה אחת למטה.…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{x}{(x^2-2)^3}$ , $f(x)=\frac{x}{(x^2-2)^2}$ .
חקירת $\frac{c o s ^{2} x}{s i n x} + 3$ בתחום, וזיהוי הגרפים של $f - 3$ ושל $f - 3$ · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}+3$ . ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
שאלות קצרות: יחס שטחים בטרפז, מכפלה טלסקופית באינדוקציה, זהויות $sin (\frac{π}{2} \pm x)$ והזזה ושיקוף של גרף · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 1
חשבו את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז $ABCD$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3-1$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (19)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\sqrt{x+2}$ .
חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x(\sqrt{x}-3)$ .
חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$ .
חקירת פונקציה עם שורש וקיצון בקצה התחום; משיק אופקי להזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\cdot\sqrt{4x+20}$ .
חקירת פונקציה עם שורש בתחום חסום; משיק אופקי להזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\cdot\sqrt{16-x^2}$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: מקסימום נתון, משיקים ומספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\cdot\sqrt{a-2x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\cdot\sqrt{-2x+10}$ .
חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\cdot\sqrt{3x+15}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: מספר אפסים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-a\sqrt{x-4}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{x+3}$ .
חקירת $f (x) = \frac{12}{x} + 3 x$ , הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12}{x}+3x$ .
חקירת פונקציה רציונלית, הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\frac{18}{x}-3$ .
חקירת פונקציה רציונלית זוגית ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2-1}{x^2-1}$ .
חקירת פונקציה רציונלית זוגית עם מינימום, ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$ .
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{(x+4)^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{18x}{(x-3)^2}$ .
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x+2$ .
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-12x+11$ .
שילוב של כמה טרנספורמציות (שאלה קצרה · קלה)
לפונקציה $f(x)=\frac{2x^2}{x^2+1}$ אסימפטוטה אופקית $y=2$ , ונקודת קיצון אחת: מינימום בנקודה $(0,0)$ . נתונה…

שאלה 1 · פונקציה רציונלית: חקירה מודרכת ונפח גוף סיבובשאלה מלאה · קלה

שאלה 2 · חקירת sinx1+sin2x​ בתחום, וזיהוי הגרפים של f−2 ושל f−2​שאלה מלאה · בינונית

שאלה 3 · מספר נקודות החיתוך עם ציר ה-x אחרי הזזה אנכיתשאלה קצרה · קשה

שאלה 4 · הזזה אנכית של y=x21​: אסימפטוטות ותחום ערכיםשאלה קצרה · קלה

שאלה 5 · שאלות קצרות: יחס שטחים בטרפז, מכפלה טלסקופית באינדוקציה, זהויות של cos ושיקוף והזזה של גרףשאלה מלאה · בינונית