שאלות פתוחות: שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפז - כיתה י"ב 3 יח"ל

שטח מרובעים במערכת צירים לכיתה י"ב, 3 יחידות: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפז. התלמידים מחשבים שטח של טרפז שקודקודיו נתונים, של מעוין לפי האלכסונים אחרי שמוצאים את הקודקוד הרביעי, ושל מלבן שצלע שלו מונחת על ישר נתון. יש גם מרובע עם אלכסונים מאונכים, מרובע כללי שמפרקים לחלקים, ומרובע שנוצר בין ישר, ציר x וקו אופקי. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מכאן מבחן או דף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא ויצוא ל-Word.

34 שאלותקלה: 6בינונית: 19קשה: 9

שאלה 1 · שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפזשאלה קצרה · קלה

קודקודי הטרפז ABCDABCDABCD הם A(2,1)A(2,1)A(2,1), B(7,1)B(7,1)B(7,1), C(5,5)C(5,5)C(5,5) ו-D(3,5)D(3,5)D(3,5) (ראו סרטוט).
ABCD

חשבו את שטח הטרפז.

שאלה 2 · שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפזשאלה קצרה · בינונית

נתון מעוין ABCDABCDABCD (במעוין האלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה). נקודת המפגש של האלכסונים היא MMM. נתון: A(1,2)A(1,2)A(1,2), B(3,8)B(3,8)B(3,8), C(9,6)C(9,6)C(9,6).

א.

מצאו את שיעורי הנקודה MMM ואת שיעורי הקודקוד DDD.

ב.

חשבו את שטח המעוין.

שאלה 3 · גאומטריה אנליטית: בניית טרפז ישר-זווית ושטחושאלה מלאה · קשה

במרובע ABCDABCDABCD נתון: A(−10,3)A(-10,3)A(−10,3), B(10,8)B(10,8)B(10,8). הצלע BCBCBC מאונכת לצלע ABABAB, והקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

הקודקוד DDD נמצא מתחת לציר ה-xxx, הצלע DCDCDC מאונכת לצלע BCBCBC, ו-DC=BCDC=BCDC=BC.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ג.

מהו סוג המרובע ABCDABCDABCD? פי כמה גדולה הצלע ABABAB מן הצלע DCDCDC?

ד.

חשבו את שטח המרובע ABCDABCDABCD.

שאלה 4 · משולש ישר זווית במערכת צירים: נקודת חיתוך ושטחיםשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC הקודקודים AAA ו-CCC מונחים על ציר ה-xxx, כמתואר בסרטוט. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB, והנקודה FFF נמצאת על ציר ה-xxx מתחת ל-EEE (EFEFEF מקביל לציר ה-yyy).
נתון: משוואת הישר ABABAB היא y=x+4y=x+4y=x+4. שיעור ה-yyy של קודקוד BBB הוא 12.
ABCEF

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ב.

נתון: C(20,0)C(20,0)C(20,0).

הראו כי AB⊥BCAB\perp BCAB⊥BC.

ג.

נתון: משוואת הישר ECECEC היא y=−12x+10y=-\frac12x+10y=−21​x+10.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ד.

חשבו את שטח המשולש EBCEBCEBC. (היעזרו בסעיף ב.)

ה.

חשבו את שטח המרובע FEBCFEBCFEBC. (פרקו אותו לשני משולשים.)

שאלה 5 · שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפזשאלה קצרה · בינונית

קודקודי המרובע ABCDABCDABCD הם A(1,1)A(1,1)A(1,1), B(7,3)B(7,3)B(7,3), C(5,9)C(5,9)C(5,9) ו-D(−1,7)D(-1,7)D(−1,7) (ראו סרטוט).
ABCD

חשבו את שטח המרובע ABCDABCDABCD.

שאלה 6 · גאומטריה אנליטית: קודקוד חסר של דלתון לפי שטחשאלה מלאה · קשה

נתון המרובע ABCDABCDABCD. האלכסון ACACAC מאונך לאלכסון BDBDBD, והאלכסונים נפגשים בנקודה EEE, שהיא אמצע האלכסון BDBDBD.
משוואת הישר שעליו מונח האלכסון ACACAC היא y=−12x+13y=-\frac12x+13y=−21​x+13, ושיעור ה-xxx של הנקודה EEE הוא 10.
משוואת הישר שעליו מונחת הצלע ABABAB היא y=−3x+18y=-3x+18y=−3x+18.
בסרטוט מופיעים הקודקודים AAA, BBB, DDD, הנקודה EEE והישר ACACAC. הקודקוד CCC אינו מסורטט.
ABDE

א.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE ואת משוואת האלכסון BDBDBD.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-DDD.

ג.

נתון ששטח המשולש BCDBCDBCD הוא 40. מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ד.

הסבירו, בלי לחשב אורכים, מדוע CB=CDCB=CDCB=CD וגם AB=ADAB=ADAB=AD. חשבו את היקף המרובע ABCDABCDABCD.

שאלה 7 · מלבן במערכת צירים: הוכחת ניצבות, שטח והקודקוד הרביעישאלה מלאה · קלה

נתון מלבן ABCDABCDABCD. הקודקודים הם A(−1,0)A(-1,0)A(−1,0) ו-B(0,3)B(0,3)B(0,3), והצלע BCBCBC מונחת על הישר y=−13x+3y=-\frac13x+3y=−31​x+3 (ראו ציור).
ABCD

א.

הראו כי הצלע ABABAB מאונכת לישר BCBCBC.

ב.

שיעור ה-xxx של הקודקוד CCC הוא 6. מצאו את שיעור ה-yyy של CCC.

ג.

חשבו את שטח המלבן ABCDABCDABCD.

ד.

MMM היא נקודת המפגש של אלכסוני המלבן ABCDABCDABCD.

מצאו את שיעורי MMM.

ה.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

שאלה 8 · שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפזשאלה קצרה · בינונית

הישר y=−2x+12y=-2x+12y=−2x+12 חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת הישר y=4y=4y=4 בנקודה BBB. הישר y=4y=4y=4 חותך את ציר ה-yyy בנקודה CCC, ו-OOO היא ראשית הצירים (ראו סרטוט).
OABC

חשבו את שטח המרובע OABCOABCOABC.

שאלה 9 · משולש ישר זווית במערכת צירים: נקודה על צלע לפי יחס שטחיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC הקודקודים AAA ו-CCC מונחים על ציר ה-xxx, והזווית ABCABCABC ישרה, כמתואר בסרטוט.
נתון: משוואת הישר ABABAB היא y=34x+6y=\frac34x+6y=43​x+6. שיעור ה-xxx של קודקוד BBB הוא 8.
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-CCC.

ב.

הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB כך ששטח המשולש EBCEBCEBC הוא 34\frac3443​ משטח המשולש ABCABCABC. מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ג.

הנקודה FFF נמצאת על ציר ה-xxx כך שהקטע EFEFEF מקביל לציר ה-yyy. חשבו את שטח המרובע FEBCFEBCFEBC.

ד.

הנקודה PPP נעה על הצלע ABABAB, ו-QQQ היא הנקודה על ציר ה-xxx שעבורה PQPQPQ מקביל לציר ה-yyy. מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה שטח המרובע PQCBPQCBPQCB גדול פי 3 משטח המשולש APQAPQAPQ.

שאלה 10 · שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפזשאלה קצרה · בינונית

בטרפז ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC) נתון: A(0,0)A(0,0)A(0,0), B(10,0)B(10,0)B(10,0). הקודקודים CCC ו-DDD נמצאים מעל ציר ה-xxx; שיעור ה-xxx של CCC הוא 777, ושיעור ה-xxx של DDD הוא 222. שטח הטרפז הוא 454545.

מצאו את שיעורי הקודקודים CCC ו-DDD.

עוד 16 שאלות על שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפז

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משולש ישר זווית ושווה שוקיים: מציאת הקודקוד והשוואת שטחים (שאלה מלאה · קשה)
משוואת הישר $AB$ היא $y=2x+6$ . הנקודה $A$ נמצאת על ציר ה- $x$ , והנקודה $B$ נמצאת על ציר ה- $y$ . הנקודה $D$ נמצאת ברביע השני, כך שהמשולש $ABD$ …
שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפז (שאלה קצרה · בינונית)
קודקודי המרובע $ABCD$ הם $A(7,1)$ , $B(0,0)$ , $C(-1,7)$ ו- $D(9,12)$ .
מרובע עם אלכסונים מאונכים: פרמטר במשוואת האלכסון (שאלה מלאה · קשה)
במרובע $OABC$ הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ , הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $O$ הוא ראשית הצירים (ראו סרטוט). האלכסון $AC$ מאונך…
משולש במערכת צירים: ניצבות, נקודת חיתוך ושטח מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ הקודקודים $A$ ו- $C$ מונחים על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ . נתון: משוואת הישר $AB$ היא…
משולש ישר זווית שקודקודו על ציר ה-x: זווית ישרה ושטח מרובע הפוך (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $ABC$ הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , מימין לנקודה $D$ שבה הצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $x$ …
שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפז (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המרובע $PQRS$ שקודקודיו $P(-2,0)$ , $Q(4,6)$ , $R(10,0)$ , $S(2,-4)$ .
גאומטריה אנליטית: מציאת קודקוד מתנאי ניצבות ומעוין (שאלה מלאה · קשה)
הישר $AB$ נתון על ידי המשוואה $y=\frac{12}{5}x+\frac{36}{5}$ . הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה- $x$ , והנקודה $A$ נמצאת על הישר,…
משולש שווה שוקיים שבסיסו על ישר נתון: גובה, קודקודים ומעוין (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB=AC)$ . הבסיס $BC$ מונח על הישר $x+2y=12$ , והקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . נתון: $A(7,10)$ .
שטח דלתון שאין לו צלע המקבילה לציר (שאלה קצרה · קשה)
קודקודי הדלתון $ABCD$ הם $A(7,1)$ , $B(0,0)$ , $C(-1,7)$ ו- $D(9,12)$ .
משולש ישר זווית במערכת צירים: קודקוד מאמצע, ישר מאונך ושטח מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ACB=90^\circ$ ), הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $x$ בנקודה $D$ (ראו סרטוט). נתון כי…
השלמת משולש שווה שוקיים למעוין, שטח המעוין והאם הוא ריבוע (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB=AC)$ . נתון: $A(7,10)$ , $B(-4,8)$ , $C(12,0)$ . הנקודה $E(4,4)$ היא אמצע הבסיס $BC$ .
שטח מרובעים במערכת צירים: מלבן, מקבילית, מעוין, דלתון וטרפז (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המרובע $PQRS$ : $P(0,8)$ , $Q(6,8)$ , $R(10,0)$ , $S(0,-4)$ .
משולש ישר זווית במערכת צירים: קודקוד מאמצע, ישר מאונך ושטח מרובע שצלעו על ציר ה-x (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ACB=90^\circ$ ), הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $x$ , והצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $D$ (ראו סרטוט). נתון כי…
מלבן במערכת צירים: צלע מאונכת, שטח, מפגש האלכסונים והקודקוד הרביעי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ . הצלע $BC$ מונחת על הישר שמשוואתו $y=\frac12x+4$ , והצלע $CD$ מונחת על הישר שמשוואתו $y=-2x+24$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר…
מלבן במערכת צירים: צלע מאונכת, שטח, מפגש האלכסונים והקודקוד הרביעי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ . הצלע $BC$ מונחת על הישר שמשוואתו $y=\frac13x+6$ , והצלע $CD$ מונחת על הישר שמשוואתו $y=-3x+36$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר…
שטח משולש ישר זווית ושטח מרובע המתחלק על ידי אלכסון (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ACB=90^\circ$ ), הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $x$ בנקודה $D$ (ראו סרטוט). נתון:…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש במערכת צירים: ניצבות, נקודת חיתוך ושטח מרובע · בגרות 372 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
במשולש $ABC$ הקודקודים $A$ ו- $C$ מונחים על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ . נתון: משוואת הישר $AB$ היא $y=\frac12x+3$ . שיעור ה- $y$ של…
משולש ישר זווית במערכת צירים: קודקוד מאמצע, ישר מאונך ושטח מרובע · בגרות 372 חורף 2025, שאלה 2
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ACB=90^\circ$ ), הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $x$ בנקודה $D$ . נתון כי משוואת הצלע $AB$ היא…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (6)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שטח של צורה מורכבת: מלבן פחות שני משולשים (שאלה קצרה · קלה)
חצר שצורתה מלבן $ABCD$ , $AB=15$ מ', $BC=10$ מ'. בשתי פינות של החצר יש ערוגות פרחים שצורתן משולש ישר זווית:…
שטח צורה פנימית באריח: שלם פחות משולשים (שאלה קצרה · קלה)
באריחים מצוירות צורות פנימיות, ובפינות האריח נשארים ארבעה משולשים ישרי זווית.
מלבן במערכת צירים: קודקודים ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במלבן $ABCD$ נתונים הקודקודים $A(-4,0)$ ו- $B(0,2)$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ , כמתואר באיור. $O$ - ראשית…
דלתון במערכת צירים: אלכסון ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם דלתון $ABCD$ ( $AB=CB$ , $AD=CD$ ). הקודקוד $C$ נמצא ברביע השני, והצלע $BC$ מקבילה לציר ה- $x$ .…
קודקוד ריבוע מישרים מאונכים ושטח הריבוע (שאלה קצרה · בינונית)
הצלע $AB$ של הריבוע $ABCD$ מונחת על הישר $y=\frac12x$ . הקודקוד $C$ הוא הנקודה $C(7,-4)$ .
שטח מרובע במערכת צירים כהפרש שטחים (שאלה קצרה · בינונית)
הישר $y=2x-6$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת הישר $y=8$ בנקודה $B$ . הנקודות $D(0,2)$ ו- $E(0,8)$ נמצאות על…