שאלות פתוחות: היקף מצולע במערכת צירים - כיתה י"ב 3 יח"ל

היקף מצולע במערכת צירים לכיתה י"ב, 3 יחידות. התלמידים מחשבים את אורכי הצלעות בעזרת נוסחת המרחק ומחברים: מקבילית שקודקודיה נתונים, משולש שישר יוצר עם הצירים, מרובע OPQR, ומשולש שקודקודיו אמצעי צלעות של משולש אחר. בחלק מהשאלות צריך קודם למצוא קודקוד חסר - קודקוד של מלבן שנמצא על ישר נתון, או קודקוד של משולש שווה שוקיים לפי הגובה לבסיס. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מורה יכול לבנות מהן דף עבודה או לשלב שאלה במבחן, עם פתרון מלא לכל סעיף.

31 שאלותקלה: 4בינונית: 24קשה: 3

שאלה 1 · היקף מצולע במערכת ציריםשאלה קצרה · קלה

קודקודי המקבילית ABCDABCDABCD הם A(1,2)A(1,2)A(1,2), B(7,2)B(7,2)B(7,2), C(10,6)C(10,6)C(10,6) ו-D(4,6)D(4,6)D(4,6) (ראו סרטוט).
ABCD

חשבו את היקף המקבילית.

שאלה 2 · היקף מצולע במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

הישר y=−2x+8y=-2x+8y=−2x+8 יוצר עם הצירים משולש (ראו סרטוט).
O

חשבו את היקף המשולש.

שאלה 3 · גאומטריה אנליטית: קודקוד חסר של דלתון לפי שטחשאלה מלאה · קשה

נתון המרובע ABCDABCDABCD. האלכסון ACACAC מאונך לאלכסון BDBDBD, והאלכסונים נפגשים בנקודה EEE, שהיא אמצע האלכסון BDBDBD.
משוואת הישר שעליו מונח האלכסון ACACAC היא y=−12x+13y=-\frac12x+13y=−21​x+13, ושיעור ה-xxx של הנקודה EEE הוא 10.
משוואת הישר שעליו מונחת הצלע ABABAB היא y=−3x+18y=-3x+18y=−3x+18.
בסרטוט מופיעים הקודקודים AAA, BBB, DDD, הנקודה EEE והישר ACACAC. הקודקוד CCC אינו מסורטט.
ABDE

א.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE ואת משוואת האלכסון BDBDBD.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-DDD.

ג.

נתון ששטח המשולש BCDBCDBCD הוא 40. מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ד.

הסבירו, בלי לחשב אורכים, מדוע CB=CDCB=CDCB=CD וגם AB=ADAB=ADAB=AD. חשבו את היקף המרובע ABCDABCDABCD.

שאלה 4 · משולש שווה שוקיים במערכת צירים: מהגובה לקודקודים ולהיקףשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=AC)(AB=AC)(AB=AC).
AEAEAE הוא הגובה לבסיס BCBCBC.
הקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx.
נתון: E(2,3)E(2,3)E(2,3), A(4,7)A(4,7)A(4,7).
ABCE

א.

מצאו את השיפוע של AEAEAE.

ב.

הראו כי משוואת הישר BCBCBC היא y=−12x+4y=-\frac12x+4y=−21​x+4.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ד.

הסבירו מדוע הנקודה EEE היא אמצע הצלע BCBCBC, ומצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ה.

מצאו את היקף המשולש ABCABCABC.

שאלה 5 · היקף מצולע במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

צלעות המלבן ABCDABCDABCD מקבילות לצירים, והצלע ABABAB מקבילה לציר ה-xxx. נתון: A(−2,1)A(-2,1)A(−2,1). הקודקוד CCC, הנגדי ל-AAA, נמצא על הישר y=7y=7y=7 ומימין ל-AAA. היקף המלבן הוא 363636.

מצאו את שיעורי הקודקודים BBB, CCC ו-DDD.

שאלה 6 · מציאת קודקוד על ציר ה-x לפי היקף המשולששאלה קצרה · קשה

נתונות הנקודות A(0,3)A(0,3)A(0,3) ו-B(0,−3)B(0,-3)B(0,−3). הנקודה CCC נמצאת על ציר ה-xxx, ואינה בראשית הצירים.

נתון כי היקף המשולש ABCABCABC הוא 161616. מצאו את שיעורי הנקודה CCC (מצאו את כל האפשרויות).

שאלה 7 · היקף מצולע במערכת ציריםשאלה קצרה · קלה

קודקודי המרובע OPQROPQROPQR הם O(0,0)O(0,0)O(0,0), P(0,6)P(0,6)P(0,6), Q(8,12)Q(8,12)Q(8,12), R(17,0)R(17,0)R(17,0).
OPQR

מצאו את היקף המרובע OPQROPQROPQR.

שאלה 8 · היקף מצולע במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

נתון משולש ABCABCABC שקודקודיו A(0,0)A(0,0)A(0,0), B(8,6)B(8,6)B(8,6) ו-C(8,−6)C(8,-6)C(8,−6). הנקודות KKK, LLL ו-NNN הן אמצעי הצלעות ABABAB, ACACAC ו-BCBCBC בהתאמה.

א.

חשבו את היקף המשולש KLNKLNKLN.

ב.

חשבו את שטח המשולש KLNKLNKLN.

שאלה 9 · היקף מחומש שגובהו לא ידועשאלת ביניים · קשה

קודקודי המחומש ABCDEABCDEABCDE הם A(0,0)A(0,0)A(0,0), B(8,0)B(8,0)B(8,0), C(8,h)C(8,h)C(8,h), D(4,h+3)D(4,h+3)D(4,h+3) ו-E(0,h)E(0,h)E(0,h), כאשר h>0h>0h>0 (הסרטוט מתאר מקרה אחד).
ABCDE

א.

הראו כי אורכי הצלעות CDCDCD ו-DEDEDE אינם תלויים ב-hhh, וחשבו אותם.

ב.

הביעו באמצעות hhh את היקף המחומש ABCDEABCDEABCDE.

ג.

ידוע שהיקף המחומש ABCDEABCDEABCDE גדול פי 222 מהיקף המשולש CDECDECDE. מצאו את hhh.

שאלה 10 · גאומטריה אנליטית: משולש ישר זווית ואמצע היתרשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם משולש ABCABCABC.
הקודקוד AAA מונח על ציר ה-yyy והקודקוד BBB מונח על ציר ה-xxx.
משוואת הצלע ABABAB היא y=−2x+8y=-2x+8y=−2x+8, ונתון: C(8,2)C(8,2)C(8,2).
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ב.

הראו כי הצלע BCBCBC מאונכת לצלע ABABAB.

ג.

הנקודה MMM היא אמצע הצלע ACACAC.

מצאו את שיעורי הנקודה MMM.

ד.

הראו כי המשולש ABMABMABM הוא שווה שוקיים.

ה.

חשבו את היקף המשולש ABMABMABM.

עוד 16 שאלות על היקף מצולע במערכת צירים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

היקף מצולע במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(0,3)$ ו- $B(0,-3)$ . הנקודה $C$ נמצאת על ציר ה- $x$ , ואינה בראשית הצירים.
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: גובה בשיפוע שלילי, קודקודים וישר מקביל (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB=AC)$ . $AE$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . נתון: $E(0,3)$ , $A(-4,11)$ .
היקף מצולע במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המשולש $KLM$ שקודקודיו $K(0,-3)$ , $L(0,13)$ , $M(-6,5)$ .
מרובע במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, אמצע קטע והיקף (שאלה מלאה · בינונית)
במרובע $OABC$ הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ , והקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . הקודקוד $O$ הוא ראשית הצירים (ראו סרטוט). נתון כי האלכסון $AC$ …
משולש ישר זווית במערכת צירים: אמצע, ניצבות ושווה שוקיים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $A(6,0)$ ,…
משולש ישר זווית במערכת צירים: קודקוד על ציר ה-y, צלע מקבילה לציר ה-y ושווה שוקיים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $A(0,11)$ ,…
גאומטריה אנליטית: מרובע ונקודת אמצע על צלע (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מרובע $ABCD$ . הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $BC$ מאונכת לצלע $AB$ . משוואת הצלע $AB$ היא…
גאומטריה אנליטית: מרובע עם צלע המקבילה לציר ה-y ומשולש שווה שוקיים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מרובע $ABCD$ . הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $BC$ מאונכת לצלע $AB$ . משוואת הצלע $AB$ היא…
מרובע במערכת צירים: צלעות מאונכות והיקף משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מרובע $ABCD$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ , הצלע $CD$ מקבילה לציר ה- $x$ , והצלע $AB$ מאונכת לצלע $AD$ , כמתואר בסרטוט. משוואת הצלע $AB$ …
היקף מצולע במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $P(2,9)$ , $Q(8,9)$ ו- $R(4,1)$ . הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $QR$ .
מרובע במערכת צירים: צלעות מאונכות, אלכסון והיקף משולש מתחת לציר ה-x (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מרובע $ABCD$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ , הצלע $CD$ מקבילה לציר ה- $x$ , והצלע $AB$ מאונכת לצלע $AD$ , כמתואר בסרטוט. משוואת הצלע $AB$ …
מקבילית במערכת צירים: קודקודים, שטח והיקף (שאלה מלאה · בינונית)
שני קודקודים סמוכים במקבילית $ABCD$ הם: $A(-6,-2)$ ו- $B(10,10)$ . הנקודה $M(4.5,-2)$ היא נקודת המפגש של אלכסוני המקבילית $ABCD$ (ראה סרטוט).
מקבילית במערכת צירים: אלכסון אנכי, שטח והיקף (שאלה מלאה · בינונית)
שני קודקודים סמוכים במקבילית $ABCD$ הם: $A(3,-6)$ ו- $B(-9,-1)$ . הנקודה $M(3,1)$ היא נקודת המפגש של אלכסוני המקבילית $ABCD$ (ראו סרטוט).
היקף מצולע במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המרובע $ABCD$ שקודקודיו $A(1,2)$ , $B(9,8)$ , $C(24,0)$ ו- $D(16,-6)$ .
היקף המשולש שקודקודיו אמצעי הצלעות של משולש נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתון משולש $ABC$ שקודקודיו $A(0,0)$ , $B(8,6)$ ו- $C(8,-6)$ . הנקודות $K$ , $L$ ו- $N$ הן אמצעי הצלעות $AB$ , $AC$ ו- $BC$ בהתאמה.
היקף משולש ושני חלקיו (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $A(0,0)$ ו- $C(14,0)$ . הנקודה $M(2.5,6)$ היא אמצע הצלע $AB$ (ראו סרטוט).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש שווה שוקיים במערכת צירים: גובה, קודקודים וישר מקביל · בגרות 372 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB=AC)$ . $AE$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . נתון: $E(0,2)$ , $A(4,14)$ .
מרובע במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, אמצע קטע והיקף · בגרות 372 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
במרובע $OABC$ הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ , והקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . הקודקוד $O$ הוא ראשית הצירים (ראו סרטוט). נתון כי האלכסון $AC$ מאונך לאלכסון $OB$ .…
משולש ישר זווית במערכת צירים: אמצע, ניצבות ושווה שוקיים · בגרות 372 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $A(-2,0)$ , $E(4,9)$ .
גאומטריה אנליטית: מרובע ומשולש שווה שוקיים · בגרות 372 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מרובע $ABCD$ . הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $BC$ מאונכת לצלע $AB$ . משוואת הצלע $AB$ היא $y=-\frac{1}{3}x+2$ .
מרובע במערכת צירים: צלעות מאונכות, אלכסון והיקף משולש · בגרות 372 חורף 2026, שאלה 2
נתון מרובע $ABCD$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ , הצלע $CD$ מקבילה לציר ה- $x$ , והצלע $AB$ מאונכת לצלע $AD$ , כמתואר בסרטוט. משוואת הצלע $AB$ היא $y=-\frac12x+5$ .