שאלות פתוחות: קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר - כיתה י"ב 3 יח"ל

קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר, שאלות לכיתה י"ב 3 יחידות. התלמידים מוצאים את הקו היוצר בעזרת משפט פיתגורס ומחשבים כמה רעפים צריך לגג של מגדל שמירה או כמה בד לגג של ביתן. יש גם השוואה בין אוהל חרוטי לאוהל בצורת פירמידה, כוסות נייר ונרות, ובדיקת טענה של יצרן גביעי פופקורן על כמות הנייר. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מורה יכול להרכיב מכאן בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל סעיף.

34 שאלותקלה: 5בינונית: 23קשה: 6

שאלה 1 · קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישרשאלה קצרה · קלה

גג של מגדל שמירה הוא בצורת חרוט ישר (ראו סרטוט). גובה הגג 444 מטר, והקו היוצר שלו 555 מטר. מכסים את הגג ברעפים (בלי הבסיס).
ℓh

חשבו את שטח הרעפים. השאירו π\piπ בתשובה.

שאלה 2 · קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישרשאלה קצרה · בינונית

גג של ביתן בגן הוא בצורת חרוט ישר שרדיוס בסיסו 999 מטר. לכיסוי המעטפת של הגג נדרשו 135π135\pi135π מ"ר בד.

א.

מצאו את גובה הגג.

ב.

חשבו את נפח החלל שמתחת לגג (נפח החרוט). השאירו π\piπ בתשובה.

שאלה 3 · חרוט: נר באותו נפח בתבנית רחבה יותרשאלה מלאה · קשה

בבית מלאכה יוצקים נרות בתבנית בצורה של חרוט.
קוטר הבסיס של הנר (BCBCBC) הוא 8 ס"מ, וגובה הנר (ADADAD) הוא 15 ס"מ (ראו סרטוט).
ABCD

א.

כמה סמ"ק שעווה דרושים להכנת נר אחד?

ב.

את המעטפת של כל נר עוטפים בנייר מעוטר. כמה סמ"ר נייר דרושים לנר אחד?

ג.

בית המלאכה רוצה תבנית חדשה בצורה של חרוט, שקוטר הבסיס שלה גדול ב-25% מקוטר התבנית הקיימת, וכמות השעווה לנר תישאר כמו קודם. בכמה אחוזים צריך לשנות את הגובה של התבנית?

ד.

האם לנר מהתבנית החדשה דרוש יותר נייר או פחות נייר מאשר לנר המקורי? בכמה סמ"ר?

שאלה 4 · חרוט: גג של מגדל - קו יוצר, מעטפת ונפחשאלה מלאה · קלה

לגג של מגדל עגול יש צורה של חרוט. רדיוס הבסיס של הגג (DCDCDC) הוא 6 מטרים, וגובה הגג (ADADAD) הוא 8 מטרים (ראו סרטוט).
ABCD

א.

מצאו את האורך של הקו היוצר של הגג (ACACAC).

ב.

צובעים את הגג מבחוץ (את המעטפת בלבד). מהו השטח שצובעים?

ג.

מהו הנפח של החלל שמתחת לגג?

ד.

במגדל אחר יש גג בצורה של חרוט שרדיוס הבסיס שלו גדול פי 2, והגובה שלו שווה לגובה של הגג הראשון. פי כמה גדול הנפח של החלל שמתחת לגג השני מהנפח של החלל שמתחת לגג הראשון?

שאלה 5 · קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישרשאלה קצרה · בינונית

בחנות מחנאות מוכרים שני אוהלים. אוהל א' בצורת חרוט ישר: רדיוס הבסיס 1.51.51.5 מטר והגובה 222 מטר. אוהל ב' בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע: אורך צלע הבסיס 2.42.42.4 מטר והגובה 1.61.61.6 מטר. בשני האוהלים הבד מכסה רק את הדפנות (בלי רצפה).

א.

חשבו כמה מ"ר בד יש באוהל א'.

ב.

נועה רוצה את האוהל שיש בו פחות בד. איזה אוהל תבחר? נמקו בחישוב.

שאלה 6 · פירמידה וחרוט: אוהל בגובה נתוןשאלה מלאה · קשה

יצרן אוהלים מייצר אוהל בצורת חרוט ישר: אורך כל קו יוצר הוא 2.5 מטר, ורדיוס הבסיס הוא 1.5 מטר.
היצרן רוצה לייצר גם אוהל בצורת פירמידה ישרה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ריבוע שאורך צלעו 2 מטר, כך שגובה האוהל יהיה שווה לגובה של אוהל החרוט.
שני האוהלים מצופים בבד רק בדפנות (בלי רצפה).
ABCDOSE

א.

מצאו את הגובה של אוהל החרוט.

ב.

מצאו את האורך של כל אחד מן המוטות SASASA, SBSBSB, SCSCSC, SDSDSD של אוהל הפירמידה.

ג.

לאיזה מן האוהלים דרוש יותר בד, ובכמה מטרים רבועים?

ד.

בכמה אחוזים גדול נפח האוויר באוהל החרוט מנפח האוויר באוהל הפירמידה?

שאלה 7 · חרוט: כוסות שתייה מניירשאלה מלאה · קלה

במתקן מים במשרד יש כוסות נייר חד-פעמיות בצורת חרוט.
הרדיוס של בסיס הכוס הוא 6 ס"מ, וגובה הכוס הוא 8 ס"מ.
OSPQ

א.

חשבו את נפח הכוס.

ב.

הראו כי אורך הקו היוצר של הכוס הוא 10 ס"מ.

ג.

הכוס פתוחה מלמעלה, ולכן היא עשויה ממעטפת החרוט בלבד.

חשבו את שטח הנייר הדרוש לכוס אחת.

ד.

כמה כוסות מלאות אפשר למלא מבקבוק שיש בו 10,000 סמ"ק מים?

שאלה 8 · קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישרשאלה קצרה · בינונית

יצרן גביעי פופקורן טוען שגביע שלו, בצורת חרוט ישר בלי בסיס, שרדיוס פתחו 555 ס"מ, עשוי בדיוק מ-20π20\pi20π סמ"ר נייר (שטח המעטפת של החרוט).

א.

האם ייתכן גביע כזה? נמקו.

ב.

היצרן תיקן את הגביע: רדיוס הפתח נשאר 555 ס"מ, וגובה הגביע 121212 ס"מ. כמה סמ"ר נייר דרושים לגביע אחד? השאירו π\piπ בתשובה.

שאלה 9 · גופים במרחב: חרוט ופירמידה עם נפח שווהשאלה מלאה · קשה

במפעל מייצרים נרות שעווה מסוג א', שצורתם פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס של נר כזה הוא 8 ס"מ וגובהו 9 ס"מ.
המפעל מתכנן נר חדש מסוג ב', שצורתו חרוט ישר שגובהו 12 ס"מ. הנר החדש צריך לדלוק בדיוק אותו זמן כמו נר מסוג א', כלומר נפח השעווה בשני הנרות שווה.
VOPL

א.

מצאו את רדיוס הבסיס של נר מסוג ב'.

ב.

את המעטפת של נר מסוג ב' מכסים בנייר דקורטיבי. כמה נייר דרוש לנר אחד?

ג.

במחסן יש 50,000 סמ"ק שעווה. המפעל רוצה לייצר מכל סוג אותו מספר של נרות. כמה נרות לכל היותר אפשר לייצר מכל סוג?

ד.

המעצבים מציעים נר נוסף בצורת חרוט ישר, עם אותו נפח שעווה, שרדיוס הבסיס שלו הוא חצי מהרדיוס שמצאתם בסעיף א. מה צריך להיות גובהו?

שאלה 10 · גופים במרחב: כובע מסיבה בצורת חרוטשאלה מלאה · קלה

כובע מסיבה עשוי מנייר בצורת מעטפת של חרוט ישר (בלי בסיס). רדיוס הבסיס של הכובע הוא 9 ס"מ וגובהו 12 ס"מ.
VOPL

א.

מצאו את האורך של הקו היוצר של הכובע.

ב.

כמה נייר דרוש להכנת כובע אחד?

ג.

בחנות יש גליל נייר ששטחו 2 מ"ר. כמה כובעים לכל היותר אפשר להכין ממנו (בלי להתחשב בפחת)?

ד.

הופכים את הכובע וממלאים אותו בסוכריות. הסוכריות נמכרות בקופסה מלאה בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, שאורך צלע הבסיס שלה 15 ס"מ וגובהה 14 ס"מ.

האם כל הסוכריות שבקופסה ייכנסו לכובע? נמקו.

עוד 19 שאלות על קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר (שאלה קצרה · בינונית)
קופסת מתנה סגורה מקרטון היא בצורת חרוט ישר שרדיוס בסיסו $6$ ס"מ. שטח הבסיס של הקופסה הוא בדיוק רבע מכל הקרטון של הקופסה (מעטפת ובסיס).
גופים במרחב: משפכים בצורת חרוט (שאלה מלאה · קשה)
במפעל מייצרים משפכים גדולים מפח בצורת מעטפת של חרוט (בלי בסיס). הגובה של כל משפך הוא 40 ס"מ, והקו היוצר שלו ארוך ב-20 ס"מ מרדיוס הבסיס שלו.
גופים במרחב: אהיל חרוטי ואהיל גלילי (שאלה מלאה · קלה)
בחנות תאורה יש שני אהילים מבד (ראו סרטוט): אהיל א הוא בצורת מעטפת של חרוט. רדיוס הבסיס שלו 12 ס"מ, והגובה שלו 16 ס"מ. אהיל ב הוא בצורת מעטפת…
חרוט: גביע גלידה - קו יוצר, מעטפת, נפח ושינוי ממדים (שאלה מלאה · בינונית)
בגלידרייה מגישים גלידה בגביעי וופל בצורה של חרוט. קוטר הבסיס של הגביע ( $BC$ ) הוא 6 ס"מ, וגובה הגביע ( $AD$ ) הוא 12 ס"מ (ראו סרטוט).
קו יוצר של חרוט שבסיסו רבע משטח הפנים (שאלה קצרה · קשה)
קופסת מתנה סגורה מקרטון היא בצורת חרוט ישר שרדיוס בסיסו $6$ ס"מ. שטח הבסיס של הקופסה הוא בדיוק רבע מכל הקרטון של הקופסה (מעטפת ובסיס).
קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר (שאלה קצרה · בינונית)
כובע ליצן עשוי מבד בצורה של מעטפת של חרוט (בלי בסיס). קוטר הבסיס של הכובע הוא 20 ס"מ, וגובה הכובע הוא 24 ס"מ.
אוהל אירועים: גג חרוטי על דופן גלילית, בד ושינוי הגג (שאלת ביניים · קשה)
אוהל אירועים עגול בנוי מדופן בצורת מעטפת של גליל ישר ומגג בצורת מעטפת של חרוט ישר שמונח על הדופן (ראו סרטוט). רדיוס הבסיס של הדופן ושל הגג…
פירמידה וחרוט: אוהלים רחבים (שאלה מלאה · בינונית)
בחנות לציוד טיולים מוכרים שני סוגי אוהלים: אוהלים בצורת פירמידה שבסיסה ריבוע ואוהלים בצורת חרוט (ראו סרטוטים). כל אחד מן האוהלים נארז בתיק…
קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר (שאלה קצרה · בינונית)
אהיל של מנורה בנוי בצורת מעטפת של חרוט ישר (בלי בסיס). גובה החרוט $KM$ הוא 12 ס"מ, ואורך הקו היוצר $KA$ הוא 13 ס"מ.
חרוט: קונוסים של פופקורן (שאלה מלאה · בינונית)
בקולנוע מוכרים פופקורן בקונוסים מנייר בצורת חרוט. יש קונוסים בשני גדלים: קונוס רגיל וקונוס ענק. הרדיוס של בסיס הקונוס הרגיל הוא 8 ס"מ,…
קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר (שאלה קצרה · בינונית)
אוהל בצורת חרוט עשוי מבד (בלי רצפה). גובה האוהל הוא 2.4 מטרים, ורדיוס הבסיס שלו הוא 1.8 מטרים.
גופים במרחב: פרלינים בצורת פירמידה וחרוט (שאלה מלאה · בינונית)
במפעל שוקולד מייצרים שני סוגים של פרלינים משוקולד מלא: פרלין מסוג א', שצורתו פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, ופרלין מסוג ב', שצורתו חרוט ישר.…
קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר (שאלה קצרה · בינונית)
אהיל של מנורה עשוי מבד בצורת מעטפת של חרוט ישר. רדיוס הבסיס של האהיל 5 ס"מ וגובהו 12 ס"מ.
גופים במרחב: משקולות נייר מזכוכית בצורת פירמידה וחרוט (שאלה מלאה · בינונית)
בבית מלאכה לזכוכית מייצרים שני סוגים של משקולות נייר מזכוכית מלאה: משקולת מסוג א', שצורתה פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, ומשקולת מסוג ב', שצורתה…
גופים במרחב: כובעי מסיבה וקופסת עוגה (שאלה מלאה · בינונית)
לקראת מסיבת יום הולדת הכינו ארבעה כובעי מסיבה זהים מנייר בצורת חרוט (בלי בסיס, ראו סרטוט). נתון כי האורך של רדיוס הבסיס של כל אחד מן הכובעים…
קו יוצר, שטח מעטפת ושטח פנים של חרוט ישר (שאלה קצרה · בינונית)
אוהל בצורת חרוט עומד על קרקע מישורית. רדיוס הבסיס של האוהל הוא 1.6 מטרים, והגובה שלו 1.2 מטרים. הדפנות של האוהל עשויות מבד (בלי רצפה).
גופים במרחב: כוסות נייר ובקבוק של מתקן מים (שאלה מלאה · בינונית)
ליד מתקן מים במשרד יש ערימה של 24 כוסות נייר זהות בצורת חרוט (בלי בסיס, ראו סרטוט). נתון כי האורך של רדיוס הבסיס של כל אחת מן הכוסות הוא 4…
גופים במרחב: ערימות חול ומכל מים באתר בנייה (שאלה מלאה · בינונית)
באתר בנייה יש ארבע ערימות חול זהות בצורת חרוט. כדי שהחול לא יתפזר ברוח, מכסים כל ערימה ביריעת ניילון שמכסה את המעטפת שלה (ראו סרטוט). נתון…
כובע מסיבה: קו יוצר, שטח המעטפת ומספר כובעים מגליל נייר (שאלת ביניים · בינונית)
כובע מסיבה עשוי מנייר בצורת מעטפת של חרוט ישר (בלי בסיס). רדיוס הבסיס של הכובע הוא 9 ס"מ וגובהו 12 ס"מ.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חרוט: קו יוצר, מעטפת, נפח ושינוי ממדים באחוזים · בגרות 372 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
במאפייה משתמשים בתבנית מתכת בצורה של חרוט, כדי להכין חרוטי בצק חלולים. קוטר הבסיס של חרוט המתכת ( $BC$ ) הוא 2.4 ס"מ, וגובה החרוט ( $AD$ ) הוא 9 ס"מ (ראו סרטוט).
פירמידה וחרוט: אוהלי מחנאות · בגרות 372 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
בחנות של ציוד מחנאות מוכרים שני סוגי אוהלים: אוהלים בצורת פירמידה שבסיסה ריבוע ואוהלים בצורת חרוט (ראו סרטוטים). כל אחד מן האוהלים נארז בתיק נפרד. בכל תיק לאוהל…
חרוט: גביעי גלידה · בגרות 372 חורף 2023, שאלה 4
בגלידרייה משפחתית מייצרים גלידה. הגלידה מוגשת בגביע נייר בצורת חרוט. בגלידרייה יש גביעים בשני גדלים: גביע רגיל וגביע אקסטרים. הרדיוס של בסיס הגביע הרגיל הוא 4…
גופים במרחב: נרות בצורת פירמידה וחרוט · בגרות 372 חורף 2025, שאלה 6
במפעל מייצרים שני סוגים של נרות שעווה: נר מסוג א', שצורתו פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, ונר מסוג ב', שצורתו חרוט ישר (ראו סרטוט). נר מסוג א': נר מסוג ב': נתון כי…
גופים במרחב: קונוסים ועמוד של תמרור · בגרות 372 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
בעקבות עבודות בכביש חסמה העירייה את אחד הנתיבים. כדי לשמור על הבטיחות הציבו הפועלים תמרור אזהרה ושלושה קונוסים זהים בצורת חרוט (ראו סרטוט). נתון כי האורך של…