דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: הוכחה שסדרה היא הנדסית - כיתה י"ב 4 יח"ל

הוכחה שסדרה היא הנדסית, לכיתה י"ב (4 יחידות) - שאלות פתוחות על סדרות חדשות שנבנות מסדרה נתונה. התלמידים מוכיחים שסדרות חדשות שנבנות מסדרה הנדסית הן הנדסיות, למשל מכפלה של איברים עוקבים, סכום שלושה איברים עוקבים או החלפת סימן של איברים במקומות זוגיים, ומוצאים את המנה החדשה. יש גם 3 בחזקת סדרה חשבונית, וכלל נסיגה שאחרי הזזה בקבוע נותן סדרה הנדסית. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. שאלות הוכחה כאלה מתאימות לסעיף מסכם במבחן, ואפשר להוריד אותן לוורד עם פתרון מלא.

31 שאלותקלה: 12בינונית: 16קשה: 3

שאלה 1 · הוכחה שסדרה היא הנדסיתשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה הנדסית ana_n שמנתה qq (q≠0q\ne0, a1≠0a_1\ne0). מחליפים את הסימן של כל איבר הנמצא במקום זוגי, ומתקבלת סדרה חדשה cnc_n: a1, −a2, a3, −a4, …a_1,\ -a_2,\ a_3,\ -a_4,\ \dots

א.

הוכיחו כי cnc_n היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות qq.

ב.

נתון a1=3a_1=3, q=2q=2. חשבו את סכום ששת האיברים הראשונים של cnc_n.

שאלה 2 · הוכחה שסדרה היא הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה חשבונית ana_n שבה a1=5a_1=5 והפרש הסדרה הוא d=−2d=-2. מגדירים סדרה חדשה: cn=3anc_n=3^{a_n}.

א.

הוכיחו כי הסדרה cnc_n היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

ב.

מצאו את סכום ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה cnc_n.

שאלה 3 · הוכחה שסדרה היא הנדסיתשאלה קצרה · קשה

סדרה מוגדרת לכל nn טבעי על ידי an=p⋅2n+r⋅3na_n=p\cdot2^n+r\cdot3^n, כאשר pp ו-rr מספרים ממשיים שאינם שניהם אפס.

א.

הראו כי אם r=0r=0 הסדרה היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

ב.

הוכיחו כי אם p≠0p\ne0 וגם r≠0r\ne0, הסדרה אינה סדרה הנדסית.

שאלה 4 · הוכחה שסדרת חזקות של 3 במעריכים של סדרה חשבונית היא הנדסיתשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה חשבונית ana_n שבה a1=5a_1=5 והפרש הסדרה הוא d=−2d=-2. מגדירים סדרה חדשה: cn=3anc_n=3^{a_n}.

הוכיחו כי הסדרה cnc_n היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

שאלה 5 · הוכחה שסדרה היא הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה a1=3a_1=3, an+1=4an−3a_{n+1}=4a_n-3. מגדירים סדרה חדשה: bn=an−1b_n=a_n-1.

א.

הוכיחו כי הסדרה bnb_n היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

ב.

מצאו ביטוי לאיבר הכללי ana_n.

שאלה 6 · סכומים של שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסיתשאלת ביניים · קשה

נתונה סדרה הנדסית ana_n שמנתה qq (a1≠0a_1\ne0, q≠0q\ne0). מגדירים סדרה חדשה: dn=an+an+1+an+2d_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}, כלומר d1=a1+a2+a3d_1=a_1+a_2+a_3, d2=a2+a3+a4d_2=a_2+a_3+a_4, וכן הלאה.

א.

הוכיחו כי dnd_n היא סדרה הנדסית, ושמנתה שווה למנה qq של הסדרה ana_n.

ב.

נתון כי כל איברי הסדרה ana_n חיוביים, וכי d1=21d_1=21 ו-d3=336d_3=336.

מצאו את a1a_1 ואת qq.

ג.

מצאו את nn שעבורו d1+d2+⋯+dn=7161d_1+d_2+\dots+d_n=7161.

שאלה 7 · הוכחה שסדרה היא הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית ana_n נתון: a1=8a_1=8, q=−12q=-\frac{1}{2}. מגדירים סדרה חדשה: bn=an⋅an+1b_n=a_n\cdot a_{n+1}.

א.

הוכיחו כי הסדרה bnb_n הנדסית, ומצאו את האיבר הראשון שלה ואת מנתה.

ב.

קבעו אם הסדרה bnb_n עולה, יורדת או מתחלפת. נמקו.

שאלה 8 · הוכחה שסדרה היא הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה הנדסית ana_n שבה a1=2a_1=2 והמנה היא −3-3. מגדירים סדרה חדשה bn=a2n−1⋅a2nb_n=a_{2n-1}\cdot a_{2n}, כלומר b1=a1a2b_1=a_1a_2, b2=a3a4b_2=a_3a_4, וכן הלאה.

הוכיחו כי bnb_n היא סדרה הנדסית, ומצאו את איברה הראשון ואת מנתה.

שאלה 9 · הוכחה שסדרה היא הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה הנדסית ana_n שמנתה qq (q≠0q\ne0, a1≠0a_1\ne0). מגדירים סדרה חדשה: bn=an+2−5an+1+6anb_n=a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n.

מצאו את כל ערכי qq שעבורם bnb_n היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה במקרים אלה.

שאלה 10 · הוכחה שסדרות של מכפלות הפוכות הן הנדסיותשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots.

נתון: a1=2a_1=2, ומנת הסדרה היא q=−3q=-3.

א.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין-סופית B שאיבריה מקיימים bn=1an⋅an+1b_n=\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי.

הראו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית שמנתה 19\frac19, ומצאו את b1b_1.

ב.

בונים סדרה C שאיבריה הם ka1⋅a2, ka3⋅a4, ka5⋅a6,…\frac{k}{a_1\cdot a_2},\ \frac{k}{a_3\cdot a_4},\ \frac{k}{a_5\cdot a_6}, \ldots, כאשר k≠0k\ne0 הוא פרמטר.

הראו כי C היא סדרה הנדסית שמנתה 181\frac{1}{81}, והביעו את c1c_1 באמצעות kk.

עוד 1 שאלות על הוכחה שסדרה היא הנדסית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. סדרה הנדסית שנבנית מכלל נסיגה (שאלת ביניים · בינונית)

    סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה a1=3a_1=3, an+1=4an−3a_{n+1}=4a_n-3. מגדירים סדרה חדשה: bn=an−1b_n=a_n-1.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (20)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.