שאלות פתוחות: הגדרה, מנה ואיבר כללי - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על סדרה הנדסית - הגדרה, מנה ואיבר כללי - לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוצאים את האיבר הראשון והמנה מתוך שני איברים, כמו האיבר הרביעי והשביעי, או מתוך יחס בין איברים וסכום, ומוצאים מקום של איבר כשנתונים האיבר במקום n ובמקום 2n. יש גם שאלה שבה שלושה מספרים בסדרה חשבונית הופכים לסדרה הנדסית אחרי הוספה, ושאלות על סדרות חשבוניות לצורך השוואה. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. מתאים לשיעור הראשון על סדרה הנדסית ולבוחן שאחריו, עם פתרונות מלאים וקובץ וורד.

44 שאלותקלה: 13בינונית: 21קשה: 10

שאלה 1 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלה קצרה · קלה

בסדרה הנדסית האיבר השלישי גדול פי 999 מהאיבר הראשון. סכום האיבר השני והאיבר השלישי הוא −6-6−6.

א.

מצאו את שני הערכים האפשריים של מנת הסדרה.

ב.

מצאו את האיבר הראשון בסדרה עבור כל אחד מערכי המנה.

שאלה 2 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים נתון: a3=4a_3=4a3​=4. עבור מספר טבעי מסוים nnn ידוע כי an=32a_n=32an​=32 וכי a2n=2048a_{2n}=2048a2n​=2048.

א.

מצאו את מנת הסדרה.

ב.

מצאו את nnn ואת האיבר הראשון בסדרה.

שאלה 3 · סדרה חשבונית והנדסית: מתי נגמר המלאישאלה מלאה · קשה

במפעל החלו לייצר מקררים. בכל שבוע כמות המקררים שייצרו הייתה גדולה במספר קבוע מכמות המקררים שייצרו בשבוע שלפניו. הייצור נמשך 50 שבועות, ובתקופה זו ייצרו 147,000 מקררים סך הכול. בשבוע האחרון ייצרו פי 5 מקררים מבשבוע הראשון.

א.

כמה מקררים ייצרו בשבוע הראשון, ובכמה הייתה גדולה כמות המקררים שייצרו בכל שבוע מן הכמות שייצרו בשבוע שלפניו?

ב.

בגמר הייצור החל המפעל למכור את המקררים. כמות המקררים שנמכרו בכל חודש הייתה גדולה פי qqq מכמות המקררים שנמכרו בחודש שלפניו (qqq קבוע). בחודש השני נמכרו 60 מקררים, ובחודש השלישי ובחודש הרביעי נמכרו יחד 720 מקררים.

מצאו את qqq ואת מספר המקררים שנמכרו בחודש הראשון.

ג.

המפעל מכר מקררים בחודשים שלמים לפי הקצב הזה, כל עוד סך המקררים שנמכרו לא עבר את מספר המקררים שייצרו.

במשך כמה חודשים שלמים מכר המפעל מקררים לפי הקצב הזה?

ד.

בחודש שאחרי החודשים שמצאתם בסעיף ג מכר המפעל את כל המקררים שנשארו.

כמה מקררים נמכרו בחודש זה? האם זו כמות קטנה מזו שהייתה נמכרת בחודש זה לפי הקצב הקבוע?

שאלה 4 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלה קצרה · קלה

בסדרה הנדסית נתון: a4=−24a_4=-24a4​=−24, a7=192a_7=192a7​=192.

א.

מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון בסדרה.

ב.

האם המספר 768768768 הוא איבר בסדרה? אם כן, מצאו את מקומו.

שאלה 5 · שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

שלושה מספרים מהווים סדרה חשבונית שסכומה 151515. אם מוסיפים למספר הראשון 111, למספר השני 444 ולמספר השלישי 191919, מתקבלים, באותו סדר, שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית.

מצאו את שלושת המספרים ואת מנת הסדרה ההנדסית. מצאו את כל האפשרויות.

שאלה 6 · סדרה חשבונית עם הפרש לא ידוע וסדרה הנדסית: הפרש בין סכומי שתי תת-סדרותשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dotsa1​,a2​,a3​,…, והפרשה d≠0d\ne0d=0. נתון: a4+a5=a10a_4+a_5=a_{10}a4​+a5​=a10​.

א.

הביעו באמצעות ddd את האיבר הכללי ana_nan​ של הסדרה A.

ב.

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית B שאיבריה הם: b1,b2,b3,…b_1,b_2,b_3,\dotsb1​,b2​,b3​,…. נתון: b1=a8b_1=a_8b1​=a8​, b3=a3b_3=a_3b3​=a3​.

מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).

ג.

נתון כי הסדרה B אינה עולה ואינה יורדת. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה B גדול ב-54 מסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B.

מצאו את ddd ואת a1a_1a1​.

שאלה 7 · סדרה חשבונית והנדסית: ייצור ומכירה של אופנייםשאלה מלאה · קלה

במפעל החלו לייצר אופניים חשמליים. בשבוע הראשון ייצרו 500 אופניים, ובכל שבוע שלאחר מכן ייצרו 40 אופניים יותר מבשבוע שלפניו. הייצור נמשך 30 שבועות.

א.

(1)

באיזה שבוע ייצרו 1,300 אופניים?

(2)

כמה אופניים ייצרו במפעל בכל 30 השבועות?

ב.

בגמר הייצור מכר המפעל את האופניים במשך כמה חודשים. בכל חודש נמכרו פי 2 אופניים מבחודש שלפניו. בחודש ה-4 נמכרו 320 אופניים.

כמה אופניים נמכרו בחודש הראשון?

ג.

החודש ה-5 היה החודש האמצעי של חודשי המכירה.

כמה חודשים נמשכה המכירה?

ד.

כמה מן האופניים שייצרו במפעל לא נמכרו?

שאלה 8 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית נתון: a3=ka_3=ka3​=k, a6=k4a_6=k^4a6​=k4, כאשר k≠0k\ne 0k=0.

א.

הביעו באמצעות kkk את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון בסדרה.

ב.

נתון גם כי a1+a3=103a_1+a_3=\frac{10}{3}a1​+a3​=310​. מצאו את הערכים האפשריים של kkk, ולכל אחד מהם את a6a_6a6​.

שאלה 9 · סדרה חשבונית והנדסית: חיסכון שעובר יעד ותשלומים במנה לא ידועהשאלה מלאה · קשה

גיל הפקיד בכל חודש כסף לחיסכון. הפיקדון בכל חודש גדול בסכום קבוע מהפיקדון בחודש שלפניו. הפיקדון בחודש השישי גדול פי 2 מהפיקדון בחודש השני, וסכום הפיקדונות בשלושת החודשים הראשונים הוא 2,700 שקלים.

א.

מצאו את הפיקדון בחודש הראשון ואת ההפרש בין שני פיקדונות סמוכים.

ב.

בסוף איזה חודש עבר סכום הפיקדונות של גיל לראשונה את 40,000 שקלים?

ג.

את הפיקדון של החודש ה-12 ייעד גיל לקניית מחשב שמחירו שווה לפיקדון זה. גיל שילם בעבור המחשב בשלושה תשלומים. כל תשלום גדול פי qqq מן התשלום שלפניו (qqq קבוע). התשלום הראשון היה 450 שקלים.

מצאו את qqq.

שאלה 10 · סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית: סכום כל האיברים וסכום תת-סדרהשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית A, ובה 40 איברים: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dotsa1​,a2​,a3​,…. נתון: a4=14a_4=14a4​=14, a10=32a_{10}=32a10​=32.

א.

מצאו את הפרש הסדרה ואת a1a_1a1​.

ב.

מצאו את האיבר האחרון בסדרה A.

ג.

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית B שאיבריה הם: b1,b2,b3,…b_1,b_2,b_3,\dotsb1​,b2​,b3​,…. נתון: b1=a6b_1=a_6b1​=a6​, b3=a1b_3=a_1b3​=a1​.

מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).

ד.

נתון כי המנה של הסדרה B שלילית.

(1)

מצאו את סכום כל האיברים בסדרה B.

(2)

האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B (b2,b4,b6,…b_2,b_4,b_6,\dotsb2​,b4​,b6​,…) יוצרים סדרה הנדסית. מצאו את האיבר הראשון ואת המנה של סדרה זו, וחשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B.

עוד 21 שאלות על הגדרה, מנה ואיבר כללי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרה חשבונית והנדסית: ייצור ומכירה של משחקים (שאלה מלאה · בינונית)
במפעל צעצועים החלו לייצר ערכות משחק. בכל שבוע כמות הערכות שייצרו הייתה גדולה במספר קבוע מכמות הערכות שייצרו בשבוע שלפניו. בשבוע הראשון ייצרו…
סדרה הנדסית מתחלפת וסדרה חשבונית שמספר איבריה לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית A ובה 8 איברים. האיבר החמישי בסדרה הוא פי 16 מן האיבר הראשון.
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: מנה, סכום והפרש (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית A שכל איבריה חיוביים, ובה 8 איברים. האיבר הרביעי בסדרה הוא פי 8 מן האיבר הראשון.
הגדרה, מנה ואיבר כללי (שאלה קצרה · בינונית)
מספר המשתמשים החדשים שהצטרפו לאפליקציה בכל שבוע היה גדול פי מספר קבוע ממספר המשתמשים החדשים שהצטרפו בשבוע שלפניו. בשבוע השלישי הצטרפו 54…
סדרות חשבוניות והנדסית: נרות ריחניים ונרות צבעוניים (שאלה מלאה · קשה)
סדנת נרות החלה לייצר נרות ריחניים לקראת החגים. בכל יום ייצרו בסדנה 4 נרות ריחניים יותר מביום שלפניו. מספר הנרות הריחניים שייצרו בסדנה ביום…
סדרה הנדסית וחשבונית: בקבוקים למסיבת סיום (שאלה מלאה · קלה)
תלמידי שכבה ט' ותלמידי שכבה ח' בבית ספר אספו בקבוקים ריקים והעבירו אותם למחזור תמורת כסף, כדי לממן מסיבת סוף שנה. תלמידי שכבה ט' אספו…
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית: סכום האיברים במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A, ובה 31 איברים: $a_1,a_2,a_3,\dots$ . נתון: $a_3+a_5=a_9$ . האיבר האחרון בסדרה A הוא 128.
סדרה הנדסית וחשבונית: כמה שבועות צריך לאסוף (שאלה מלאה · קשה)
שתי כיתות אספו בקבוקים ריקים והעבירו אותם למחזור תמורת כסף, כדי לממן מסיבת סיום. הכיתה הראשונה אספה בקבוקים במשך 5 שבועות, ומספר הבקבוקים…
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: רכיבה הלוך וחזור (שאלה מלאה · קלה)
רון רוכב באופניים מביתו. בדקה הראשונה הוא עובר 300 מטר, ובכל דקה נוספת הוא עובר מרחק גדול פי 1.05 מהמרחק שעבר בדקה הקודמת. אחרי 8 דקות רון…
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית: סכום האיברים השליליים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A, ובה 40 איברים: $a_1,a_2,a_3,\dots$ . נתון: $a_7=3a_2$ . האיבר האחרון בסדרה A הוא 81.
סדרה הנדסית וחשבונית: פסטיבל אוכל ותרומה יורדת (שאלה מלאה · קשה)
פסטיבל אוכל נמשך 6 ימים. בכל יום נמכרו בפסטיבל פי $q$ מנות מאשר ביום שלפניו ( $q$ קבוע). בשלושת הימים הראשונים של הפסטיבל נמכרו 350 מנות סך…
מנת סדרה הנדסית מהיחס בין שני איברים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית A שכל איבריה חיוביים, ובה 8 איברים. האיבר הרביעי בסדרה הוא פי 8 מן האיבר הראשון.
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: יחס בין איברים וסכומים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שמנתה היא $q$ , ובה 12 איברים. האיבר השביעי בסדרה הוא פי 16 מן האיבר השלישי בסדרה.
מציאת המנה משלושה איברים כשאחד המקומות אינו ידוע (שאלה קצרה · קשה)
בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים נתון: $a_3=4$ . עבור מספר טבעי מסוים $n$ ידוע כי $a_n=32$ וכי $a_{2n}=2048$ .
הגדרה, מנה ואיבר כללי (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים יש 8 איברים. האיבר השביעי בסדרה גדול פי 16 מן האיבר השלישי, וסכום שני האיברים האמצעיים בסדרה הוא 216.
סדרה הנדסית עם פרמטר: מנה, איבר ראשון ושייכות של מספר לסדרה (שאלת ביניים · קשה)
בסדרה הנדסית נתון: $a_3=k$ , $a_6=k^4$ , כאשר $k\ne 0$ .
סדרה הנדסית וחשבונית: איסוף נייר למימון טיול (שאלה מלאה · בינונית)
שני סניפים של תנועת נוער, סניף "הדר" וסניף "אלון", החליטו לממן טיול שנתי. לשם כך הם אספו במשך כמה שבועות נייר ישן, והעבירו אותו למחזור תמורת…
הגדרה, מנה ואיבר כללי (שאלה קצרה · בינונית)
עמותה גייסה תרומות במשך 6 חודשים. סכום התרומות שגייסה העמותה בכל חודש היה גדול פי $q$ מסכום התרומות שגייסה בחודש שלפניו. סכום התרומות בחודש…
סדרה הנדסית וחשבונית: ריצת התרמה (שאלה מלאה · בינונית)
שתי קבוצות של מועדון ריצה, קבוצת הבוגרים וקבוצת הנוער, השתתפו במבצע התרמה למען מחלקת ילדים בבית חולים. כל קבוצה רשמה את מספר הקילומטרים שרצו…
מנה של סדרה הנדסית שאיבריה לקוחים מסדרה חשבונית (שתי אפשרויות) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A שבה $a_1=5$ והפרש הסדרה הוא $d=3$ .
שתי סדרות הנדסיות מנתון על יחס ועל סכום של איברים (שאלת ביניים · בינונית)
בסדרה הנדסית האיבר השלישי גדול פי $9$ מהאיבר הראשון. סכום האיבר השני והאיבר השלישי הוא $-6$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה חשבונית והנדסית: ייצור ומכירה של מחשבים · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 1
במפעל אלקטרוניקה החלו לייצר מחשבים. בכל שבוע כמות המחשבים שייצרו הייתה גדולה במספר קבוע מכמות המחשבים שייצרו בשבוע שלפניו. בשבוע הראשון ייצרו 900 מחשבים. הייצור…
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית: סכום האיברים במקומות הזוגיים · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
נתונה סדרה חשבונית A, ובה 46 איברים: $a_1,a_2,a_3,\dots$ . נתון: $a_2+a_4=a_6$ . האיבר האחרון בסדרה A הוא 138.
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: יחס בין איברים וסכומים · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 1
נתונה סדרה הנדסית A שמנת שלה היא $q$ , ובה 10 איברים. האיבר השישי בסדרה הוא פי 81 מן האיבר השני בסדרה.
סדרה הנדסית וחשבונית: איסוף בקבוקים למחזור · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
תלמידי כיתה י"ב1 ותלמידי כיתה י"ב2 בבית ספר מסוים החליטו לערוך מסיבת סיום. כדי לממן את עלות המסיבה הם אספו במשך כמה שבועות בקבוקים ריקים, והעבירו אותם למחזור…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ייצוג גרפי וסוגי סדרות: עולה, יורדת ומתחלפת סימן (שאלה קצרה · בינונית)
בכל אחד מהסעיפים נתונה סדרה הנדסית $a_n$ . קבעו אם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת, ונמקו.
סדרה הנדסית: מנה משני איברים, סוג הסדרה וסכום סדרת ההופכיים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ . נתון: $a_2=6$ , $a_4=54$ .
סדרה הנדסית נתונה: סדרת ההופכיים ויחס הסכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1,a_2,a_3,\ldots$ , שבה $a_1=3$ והמנה $q=2$ . נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים…
מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתונים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית $a_1, a_2, a_3, \ldots$ נתון: $a_6=9a_4$ , $a_5-a_3=48$ .
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שבה $a_1=3$ והמנה היא 2. הסדרה $d_n$ מוגדרת לכל $n$ טבעי כך: $d_n=a_n\cdot a_{n+1}$ .
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $q$ ( $q\neq0$ ). לכל $n$ טבעי מגדירים $b_n=a_n\cdot a_{n+2}$ .
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית בת $m$ איברים ( $m$ טבעי, $m>2$ ), שכל איבריה חיוביים. סכום $m-2$ האיברים האחרונים בסדרה קטן…
סדרה הנדסית שלילית, סדרת ההפכיים וסכום האיברים במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה $a_1,a_2,a_3,\ldots$ . כל איברי הסדרה A שליליים. נתון: $a_1=-\frac12$ ,…
סדרה הנדסית בת $3 n$ איברים: סכומים לפי שארית המקום בחלוקה ב-3 (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית בת $3n$ איברים: $a_1, a_2, ..., a_{3n}$ . מנת הסדרה היא $q$ .