שאלות פתוחות: וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריות - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריות, לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוצאים נקודה על קטע לפי יחס וקטורי, בודקים אם שלוש נקודות נמצאות על ישר אחד בתיבה או בפירמידה, ומוכיחים שני וקטורים קולינאריים במשולש בעזרת יחסים על הצלעות. יש גם שאלות שבהן הקודקודים נתונים בשיעורים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מכאן דף עבודה או מבחן בווקטורים, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

29 שאלותקלה: 7בינונית: 16קשה: 6

שאלה 1 · וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריותשאלה קצרה · קלה

הנקודה PPP נמצאת על הקטע ABABAB כך שמתקיים: AP→=25AB→\overrightarrow{AP}=\frac25\overrightarrow{AB}AP=52​AB.

מצאו את היחס AP:PBAP:PBAP:PB, והביעו את AP→\overrightarrow{AP}AP באמצעות PB→\overrightarrow{PB}PB.

שאלה 2 · וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריותשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט פירמידה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ABCDABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה KKK נמצאת על המקצוע SASASA כך ש-SK:KA=1:2SK:KA=1:2SK:KA=1:2, והנקודה LLL נמצאת על המקצוע SBSBSB כך ש-SL:LB=1:2SL:LB=1:2SL:LB=1:2.
ABCDSKL

א.

הוכיחו כי KL∥DCKL\parallel DCKL∥DC, ומצאו את היחס KL:DCKL:DCKL:DC.

ב.

הראו כי המרובע KLCDKLCDKLCD הוא טרפז.

שאלה 3 · מנסרה ישרה: מציאת קודקוד מתוך נפחשאלה מלאה · קשה

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבה: A(1,0,1)A(1,0,1)A(1,0,1), B(2,2,3)B(2,2,3)B(2,2,3), C(4,3,5)C(4,3,5)C(4,3,5), D(3,1,3)D(3,1,3)D(3,1,3).
ABCDA'B'C'D'

א.

הוכיחו כי המרובע ABCDABCDABCD הוא מעוין.

ב.

חשבו את זוויות המעוין ואת שטחו.

ג.

נתון כי נפח המנסרה הוא 34, והשיעור zzz של הקודקוד D′D'D′ חיובי. מצאו את שיעורי D′D'D′.

ד.

הנקודה EEE נמצאת על הישר DD′DD'DD′ ומקיימת DE→=k⋅DD′→\overrightarrow{DE}=k\cdot\vec{DD'}DE=k⋅DD′, כאשר k>0k>0k>0. נפח הפירמידה ABCDEABCDEABCDE שווה לנפח המנסרה. מצאו את kkk ואת שיעורי EEE. האם EEE נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′?

שאלה 4 · וקטורים בתיבה: טרפז בין מרכז התיבה למקצועשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה AA′=4AA'=4AA′=4. הנקודה EEE היא אמצע האלכסון BD′BD'BD′, והנקודה FFF היא אמצע המקצוע AA′AA'AA′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}AA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​ את הווקטורים AC→\overrightarrow{AC}AC, AE→\overrightarrow{AE}AE ו-FE→\overrightarrow{FE}FE.

ב.

הראו כי FE∥ACFE\parallel ACFE∥AC, ומצאו את היחס FEAC\frac{FE}{AC}ACFE​.

ג.

הראו כי הזוויות FACFACFAC ו-AFEAFEAFE ישרות.

ד.

חשבו את אורך הקטע CECECE ואת גודל הזווית ACEACEACE. היעזרו בווקטורים CA→\overrightarrow{CA}CA ו-CE→\overrightarrow{CE}CE.

ה.

מצאו את זוויות הטרפז ACEFACEFACEF.

שאלה 5 · וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריותשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע ABABAB כך ש-AD:DB=2:3AD:DB=2:3AD:DB=2:3. הנקודה EEE מקיימת: DE→=25BC→\overrightarrow{DE}=\frac25\overrightarrow{BC}DE=52​BC.

הוכיחו כי הנקודה EEE נמצאת על הצלע ACACAC, ומצאו את היחס AE:ECAE:ECAE:EC.

שאלה 6 · וקטורים בתיבה שגובהה משתנה: זווית וגובהשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה AA′=hAA'=hAA′=h. הנקודה EEE היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′DAA'D'DAA′D′D. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​. הנקודה FFF מקיימת: EF→=12u‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline uEF=21​u​.
uvwABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את BF→\overrightarrow{BF}BF ואת BD′→\vec{BD'}BD′ באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​, וקבעו את מיקום הנקודה FFF ביחס לקטע BD′BD'BD′. נמקו.

ב.

הביעו באמצעות hhh את cos⁡∠ABF\cos\angle ABFcos∠ABF.

ג.

נתון כי ∠ABF=60∘\angle ABF=60^\circ∠ABF=60∘. מצאו את hhh ואת נפח התיבה.

ד.

עבור הגובה hhh שמצאתם בסעיף ג, מצאו את הגדלים של הזוויות AEFAEFAEF ו-EFBEFBEFB במרובע AEFBAEFBAEFB.

שאלה 7 · וקטורים בתיבה: אמצע אלכסון וזוויתשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבה AB=4AB=4AB=4, AD=2AD=2AD=2 ו-AA′=4AA'=4AA′=4. הנקודה EEE היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′DAA'D'DAA′D′D. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​. הנקודה FFF מקיימת: EF→=12u‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline uEF=21​u​.
uvwABCDA'B'C'D'EF

א.

הראו כי AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac12\underline v+\frac12\underline wAE=21​v​+21​w​.

ב.

הביעו את BF→\overrightarrow{BF}BF (היעזרו במסלול B→A→E→FB\to A\to E\to FB→A→E→F) ואת BD′→\vec{BD'}BD′ באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​, והסבירו מדוע FFF היא אמצע הקטע BD′BD'BD′.

ג.

מצאו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​, וחשבו את אורך הקטע BFBFBF.

ד.

חשבו את גודל הזווית ABFABFABF.

שאלה 8 · וקטורים בתיבה: טרפז שקודקודו במרכז התיבהשאלה מלאה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. הנקודה FFF היא אמצע המקצוע CC′CC'CC′, והנקודה EEE היא אמצע האלכסון BD′BD'BD′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}AA′=w​. נתון: ∣u‾∣=2|\underline{u}|=2∣u​∣=2, ∣v‾∣=1|\underline{v}|=1∣v​∣=1, ∣w‾∣=2|\underline{w}|=2∣w​∣=2.
uvwABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את הווקטורים EF→\overrightarrow{EF}EF, BD′→\vec{BD'}BD′, AC→\overrightarrow{AC}AC ו-AE→\overrightarrow{AE}AE באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​ ו-w‾\underline{w}w​.

ב.

(1)

חשבו את אורך הווקטורים AC→\overrightarrow{AC}AC ו-AE→\overrightarrow{AE}AE.

(2)

חשבו את גודל הזווית EACEACEAC.

ג.

הסבירו מדוע EF∥ACEF\parallel ACEF∥AC.

ד.

מצאו את זוויות הטרפז EACFEACFEACF.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה משולשת: יחס לא ידוע על המקצועותשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC.
ABCSEF
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}AS=w​.
הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F נמצאת על המקצוע SC, כך ש-SE→=k⋅SB→\overrightarrow{SE}=k\cdot\overrightarrow{SB}SE=k⋅SB ו-SF→=k⋅SC→\overrightarrow{SF}=k\cdot\overrightarrow{SC}SF=k⋅SC, כאשר kkk הוא מספר קבוע (0<k<10<k<10<k<1).

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​, w‾\underline{w}w​ ו-kkk את הווקטורים SE→\overrightarrow{SE}SE, SF→\overrightarrow{SF}SF ו-EF→\overrightarrow{EF}EF.

ב.

הראו כי EF→=k⋅BC→\overrightarrow{EF}=k\cdot\overrightarrow{BC}EF=k⋅BC, והסבירו מדוע EF מקביל ל-BC.

ג.

נתון: B(−1,2,1)B(-1,2,1)B(−1,2,1), C(7,6,9)C(7,6,9)C(7,6,9). אורך הקטע EF הוא 3.

מצאו את kkk.

ד.

נתון: S(3,6,13)S(3,6,13)S(3,6,13).

מצאו את שיעורי הנקודות E ו-F.

ה.

נתון: A(3,−1,3)A(3,-1,3)A(3,−1,3).

חשבו את שטח המשולש EAF.

שאלה 10 · וקטורים בפירמידה משולשת: קטע מקביל לצלע הבסיס וזוויתשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC.
ABCSEF
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}AS=w​.
הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F נמצאת על המקצוע SC.
נתון: SE→=13SB→\overrightarrow{SE}=\frac13\overrightarrow{SB}SE=31​SB, SF→=13SC→\overrightarrow{SF}=\frac13\overrightarrow{SC}SF=31​SC.

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​ ו-w‾\underline{w}w​ את הווקטורים SB→\overrightarrow{SB}SB ו-SC→\overrightarrow{SC}SC.

ב.

(1)

הראו כי EF→=13BC→\overrightarrow{EF}=\frac13\overrightarrow{BC}EF=31​BC.

(2)

מה אפשר להסיק מסעיף ב(1) על הקטעים EF ו-BC? נמקו.

ג.

נתון: B(2,−1,1)B(2,-1,1)B(2,−1,1), C(8,5,1)C(8,5,1)C(8,5,1), E(4,3,5)E(4,3,5)E(4,3,5).

מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור EF→\overrightarrow{EF}EF ואת שיעורי הנקודה F.

ד.

נתון: A(4,5,1)A(4,5,1)A(4,5,1).

מצאו את גודל הזווית EAF.

עוד 13 שאלות על וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(1,-1,3)$ , $B(3,1,4)$ , $C(5,2,2)$ , $D(3,0,1)$ , $D'(-2,6,-1)$ .
וקטורים בפירמידה: מתי קטע מקביל לקטע בבסיס (שאלה מלאה · קשה)
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AD}=\underline w$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע אמצעים המקביל לבסיס (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AD}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ , הנקודה…
וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
מקדמי קולינאריות במשושה משוכלל (שאלה קצרה · קשה)
בסרטוט שלפניכם משושה משוכלל $ABCDEF$ שמרכזו $O$ .
מקבילות של קטעים בתיבה מתוך כפולה בסקלר (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה מרובעת: קטע מקביל לצלע הבסיס, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה הוא המקבילית ABCD. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AS}=\underline{w}$ .…
נקודות על מקצועות פירמידה מתוך וקטורים קולינאריים (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $SA$ כך ש- $SK:KA=1:2$ . הנקודה $L$ מקיימת $\overrightarrow{KL}=\frac13\overrightarrow{AB}$ ,…
שלוש נקודות על ישר אחד: השוואת מקדמים (שאלה קצרה · קלה)
הווקטורים $\vec{u}$ ו- $\vec{v}$ אינם מקבילים. נתון: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}+k\vec{v}$ ו- $\overrightarrow{AC}=k\vec{u}+4\vec{v}$ , כאשר $k$ מספר ממשי.
וקטורים במנסרה משולשת: קטע בין אלכסוני פאות, מקביל למקצוע, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה משולשת $ABCA'B'C'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $\vec{AA'}=\underline{w}$ . הנקודה $E$ …
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע המקביל למישור הבסיס (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AD}=\underline w$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $AD$ כך…
מיקום נקודה מתנאי קולינאריות עם מקדם שלילי (שאלה קצרה · בינונית)
$A$ ו- $B$ הן שתי נקודות שונות. הנקודה $P$ מקיימת: $\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{PB}$ .
וקטורים קולינאריים בטרפז ובאלכסוניו (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ שבסיסיו $AB$ ו- $DC$ . נתון: $AB=12$ , $DC=4$ . האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O$ . הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בקובייה: טרפז שקודקודו במרכז הקובייה · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
נתונה קובייה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BB'$ , והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $AC'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$ ,…
מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(-2,4,7)$ , $B(0,5,4)$ , $C(1,3,1)$ , $D(-1,2,4)$ , $D'(-10,5,-1)$ .
וקטורים בתיבה: מפגש אלכסוני פאה, ניצבות וזוויות של מרובע · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 1
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע מקביל לצלע הבסיס, זווית ושטח · בגרות 472 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AS}=\underline{w}$ . הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F…
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע המקביל למישור הבסיס · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 1
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AD}=\underline w$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AB}=\underline u$ . הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $AD$ , הנקודה $N$ נמצאת על הפאה…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה פירמידה $SABC$ . הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SB$ כך…