דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופים - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופים, לכיתה י"ב (4 יחידות). התלמידים מסתכלים על כל הווקטורים בין קודקודי תיבה ומסווגים אותם, מוצאים יחס על מקצוע כך ששני וקטורים יהיו קולינאריים בפירמידה, ובודקים וקטורים בין אמצעי המקצועות הצדדיים של פירמידה שבסיסה מקבילית. יש גם קובייה ותיבה עם נקודות על מקצועות. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. השאלות מתאימות לתרגול כיתתי לפני מבחן בווקטורים, ואפשר לאסוף אותן לדף עבודה עם פתרון מלא ולהוריד בוורד.

34 שאלותקלה: 10בינונית: 19קשה: 5

שאלה 1 · זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופיםשאלה קצרה · קלה

בפירמידה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה KK נמצאת על המקצוע SBSB כך ש-SK:KB=1:3SK:KB=1:3, והנקודה MM נמצאת על המקצוע SCSC. נתון: KM→=14AD→\overrightarrow{KM}=\frac14\overrightarrow{AD}.

מצאו את היחס SM:MCSM:MC.

שאלה 2 · זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופיםשאלה קצרה · בינונית

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס הוא ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}, AA′→=w→\vec{AA'}=\vec{w}. הנקודה KK נמצאת על המקצוע AA′AA' כך ש-AK:KA′=1:3AK:KA'=1:3, והנקודה LL נמצאת על המקצוע CC′CC'. נתון: BK→=LD′→\overrightarrow{BK}=\vec{LD'}.

ABCDA'B'C'D'K
א.

הביעו את BK→\overrightarrow{BK} באמצעות u→\vec{u}, v→\vec{v} ו-w→\vec{w}.

ב.

מצאו את היחס CL:LC′CL:LC'.

שאלה 3 · וקטורים בתיבה שגובהה משתנה: זווית וגובהשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה AA′=hAA'=h. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′DAA'D'D. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה FF מקיימת: EF→=12u‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u.

uvwABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו את BF→\overrightarrow{BF} ואת BD′→\vec{BD'} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w, וקבעו את מיקום הנקודה FF ביחס לקטע BD′BD'. נמקו.

ב.

הביעו באמצעות hh את cos⁡∠ABF\cos\angle ABF.

ג.

נתון כי ∠ABF=60∘\angle ABF=60^\circ. מצאו את hh ואת נפח התיבה.

ד.

עבור הגובה hh שמצאתם בסעיף ג, מצאו את הגדלים של הזוויות AEFAEF ו-EFBEFB במרובע AEFBAEFB.

שאלה 4 · זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופיםשאלה קצרה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה. מסתכלים על כל הווקטורים שנקודת ההתחלה ונקודת הסיום שלהם הן קודקודים של התיבה.

ABCDA'B'C'D'

רשמו את כל הווקטורים האלה הקולינאריים לווקטור AB→\overrightarrow{AB} (לא כולל AB→\overrightarrow{AB} עצמו), ומיינו אותם לווקטורים השווים ל-AB→\overrightarrow{AB} ולווקטורים הנגדיים לו. כמה וקטורים כאלה יש?

שאלה 5 · זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופיםשאלה קצרה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה.

ABCDA'B'C'D'

מצאו וקטור שנקודת ההתחלה ונקודת הסיום שלו הן קודקודים של התיבה, ושווה לסכום AB→+B′C′→+C′C→+DD′→\overrightarrow{AB}+\vec{B'C'}+\vec{C'C}+\vec{DD'}.

שאלה 6 · וקטורים בתיבה: איפה על המקצוע נוצרת זווית ישרהשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה MM היא מפגש האלכסונים בפאה A′B′C′D′A'B'C'D'. נקודה PP נמצאת על המקצוע CC′CC' ומקיימת CP→=t⋅CC′→\overrightarrow{CP}=t\cdot\vec{CC'}, כאשר 0<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'MP
א.

הביעו את הווקטורים AP→\overrightarrow{AP} ו-MP→\overrightarrow{MP} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-tt.

ב.

נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=4|\underline u|=|\underline v|=4, ∣w‾∣=10|\underline w|=10.

מצאו את כל הערכים של tt שבעבורם AP→\overrightarrow{AP} מאונך ל-MP→\overrightarrow{MP}.

ג.

בעבור כל אחד מן הערכים של tt שמצאתם בסעיף ב חשבו את שטח המשולש APMAPM. באיזה מן המקרים השטח גדול יותר?

ד.

מעתה נתון כי אורך המקצוע AA′AA' הוא 8, ועדיין ∣u‾∣=∣v‾∣=4|\underline u|=|\underline v|=4.

מצאו את הערך של tt שבעבורו AP→\overrightarrow{AP} מאונך ל-MP→\overrightarrow{MP}. מהו המיקום של PP על המקצוע CC′CC' במקרה זה? חשבו את שטח המשולש APMAPM.

שאלה 7 · זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופיםשאלה קצרה · קלה

בפירמידה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודות KK, LL, MM, NN הן אמצעי המקצועות SASA, SBSB, SCSC, SDSD בהתאמה.

ABCDSKLMN
א.

הביעו את KL→\overrightarrow{KL} ואת NM→\overrightarrow{NM} באמצעות AB→\overrightarrow{AB}.

ב.

מהו סוג המרובע KLMNKLMN? נמקו.

שאלה 8 · וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו ציור). הנקודות FF ו-HH הן אמצעי המקצועות ABAB ו-D′C′D'C' בהתאמה. הנקודה EE מקיימת: AE→=14AA′→\overrightarrow{AE}=\frac14\vec{AA'}. הנקודה GG מקיימת: CG→=34CC′→\overrightarrow{CG}=\frac34\vec{CC'}. נסמן: AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u.

ABCDA'B'C'D'EGFH
א.
(1)

הביעו את הווקטורים EF→\overrightarrow{EF}, FG→\overrightarrow{FG}, HG→\overrightarrow{HG} ו-EH→\overrightarrow{EH} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

האם המרובע EFGHEFGH הוא מקבילית? נמקו.

ב.

הנפח של הקובייה הנתונה הוא 64.

(1)

מצאו את אורך המקצוע של הקובייה.

(2)

מצאו את אורכי הווקטורים EF→\overrightarrow{EF} ו-EH→\overrightarrow{EH}.

ג.
(1)

מצאו את גודל הזווית HEFHEF.

(2)

מצאו את שטח המרובע EFGHEFGH.

שאלה 9 · וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצועשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה MM היא אמצע המקצוע C′D′C'D', והנקודה PP נמצאת על המקצוע AA′AA' ומקיימת AP→=k⋅AA′→\overrightarrow{AP}=k\cdot\vec{AA'}, כאשר 0≤k≤10\le k\le1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. נתון: ∣u‾∣=6|\underline u|=6, ∣v‾∣=4|\underline v|=4, ∠DAB=120∘\angle DAB=120^\circ, ונפח המנסרה הוא 36336\sqrt3.

ABCDA'B'C'D'MP
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-kk את הווקטורים PM→\overrightarrow{PM} ו-CM→\overrightarrow{CM}.

ב.

מצאו את ∣w‾∣|\underline w| ואת המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ג.

מצאו את הערך של kk שעבורו PM→\overrightarrow{PM} מאונך ל-CM→\overrightarrow{CM}.

ד.

נתון כי k=1k=1, כלומר הנקודה PP מתלכדת עם A′A'.

חשבו את גודל הזווית PMCPMC.

שאלה 10 · וקטורים בקובייה: מלבן שקודקודיו באמצעי המקצועותשאלה מלאה · קלה

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שאורך המקצוע שלה 4 (ראו ציור). הנקודות EE, FF, GG ו-HH הן אמצעי המקצועות AA′AA', ABAB, CC′CC' ו-D′C′D'C' בהתאמה. נסמן: AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u.

ABCDA'B'C'D'EGFH
א.
(1)

הראו כי EF→=12u‾−12w‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u-\frac12\underline w.

(2)

הביעו את הווקטורים HG→\overrightarrow{HG} ו-EH→\overrightarrow{EH} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הוכיחו כי המרובע EFGHEFGH הוא מקבילית.

ג.

חשבו את האורכים ∣EF→∣|\overrightarrow{EF}| ו-∣EH→∣|\overrightarrow{EH}|.

ד.

הוכיחו כי EF→⊥EH→\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{EH}. מה סוג המרובע EFGHEFGH?

ה.

חשבו את שטח המרובע EFGHEFGH.

עוד 17 שאלות על זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=2AB=2, AD=22AD=2\sqrt2, ∠BAD=45∘\angle BAD=45^\circ, נפח המנסרה הוא 12. הנקודה FF היא…

  2. מציאת יחס חלוקה של מקצוע בפירמידה מווקטור שווה לחלק של צלע הבסיס (שאלה קצרה · קשה)

    בפירמידה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה KK נמצאת על המקצוע SBSB כך ש-SK:KB=1:3SK:KB=1:3, והנקודה MM נמצאת על המקצוע SCSC. נתון:…

  3. וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)

    במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו-∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. גובה המנסרה הוא AA′=3AA'=3. הנקודה EE היא אמצע המקצוע…

  4. וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הפאה ABB′A′ABB'A'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u,…

  5. אלכסוני התיבה חוצים זה את זה: הוכחה בעזרת וקטורים שווים (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה. נתון: AB=3AB=3, AD=4AD=4,…

  6. וקטורים בתיבה: אמצע אלכסון וזווית (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבה AB=4AB=4, AD=2AD=2 ו-AA′=4AA'=4. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′DAA'D'D. נסמן:…

  7. וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין. הנקודה MM היא אמצע המקצוע SCSC. ASAS מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…

  8. וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 6, ו-∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. המקצוע ASAS מאונך לבסיס הפירמידה,…

  9. וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה MM היא מפגש האלכסונים בפאה A′B′C′D′A'B'C'D'. נקודה PP נמצאת על המקצוע CC′CC' ומקיימת…

  10. וקטורים בתיבה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה MM היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה A′B′C′D′A'B'C'D', והנקודה PP היא אמצע המקצוע CC′CC'. נסמן:…

  11. וקטורים בתיבה: גובה התיבה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה FF נמצאת על המקצוע ABAB, כך ש-AF=13ABAF=\frac13AB. הנקודה EE נמצאת על…

  12. וקטורים בקובייה: גובה במשולש אלכסונים (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שאורך מקצועה 6. הנקודה EE היא אמצע האלכסון B′D′B'D' של הפאה העליונה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u,…

  13. וקטורים במנסרה משולשת ישרה: גובה המנסרה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' שבסיסה ABCABC הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ, AB=ACAB=AC). הנקודה FF נמצאת על…

  14. וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו-∠DAB=60∘\angle DAB=60^\circ. גובה המנסרה הוא AA′=4AA'=4. הנקודה MM…

  15. וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה NN היא אמצע המקצוע B′C′B'C', והנקודה QQ נמצאת על המקצוע DD′DD'…

  16. וקטורים במנסרה ישרה עם זווית קהה בבסיס: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה MM היא אמצע המקצוע A′B′A'B', והנקודה PP נמצאת על המקצוע CC′CC'…

  17. וקטורים שווים בפירמידה ישרה שבסיסה משושה משוכלל (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה פירמידה ישרה SABCDEFSABCDEF שבסיסה המשושה המשוכלל ABCDEFABCDEF (הקודקודים לפי הסדר). הנקודה OO היא מרכז הבסיס, ו-SOSO הוא גובה הפירמידה.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.