דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: כפל וקטור בסקלר - כיתה י"ב 4 יח"ל

דף שאלות פתוחות על כפל וקטור בסקלר לכיתה י"ב (4 יחידות), במשולשים, במקביליות ובגופים. התלמידים מבטאים וקטור לנקודה שמחלקת צלע ביחס נתון במשולש, במקבילית ובפירמידה, מבטאים וקטורים בתיבה ובקובייה לנקודות אמצע, ומוצאים בפירמידה משולשת את הווקטור לנקודת מפגש התיכונים של הבסיס. יש גם מנסרה ישרה שנפחה נתון. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. בונים מהן דף תרגול או בוחן על כפל בסקלר, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא שאפשר להוריד בוורד.

31 שאלותקלה: 6בינונית: 20קשה: 5

שאלה 1 · כפל וקטור בסקלרשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABC שבשרטוט הנקודה DD נמצאת על הצלע BCBC כך ש-BD:DC=2:3BD:DC=2:3. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v}.

uvABCD

הביעו את AD→\overrightarrow{AD} באמצעות u→\vec{u} ו-v→\vec{v}.

שאלה 2 · כפל וקטור בסקלרשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה SABCDSABCD שבסרטוט הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v} ו-AS→=w→\overrightarrow{AS}=\vec{w}. הנקודה KK נמצאת על המקצוע SCSC כך ש-SK:KC=1:2SK:KC=1:2.

uvwABCDSK

הביעו באמצעות u→\vec{u}, v→\vec{v} ו-w→\vec{w} את הווקטורים SC→\overrightarrow{SC} ו-AK→\overrightarrow{AK}.

שאלה 3 · וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרהשאלה מלאה · קשה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=6AB=6, AD=4AD=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ, ונפח המנסרה הוא 72372\sqrt3.

הנקודה EE נמצאת על המקצוע C′D′C'D' ומקיימת C′E→=t⋅C′D′→\vec{C'E}=t\cdot\vec{C'D'}, כאשר 0≤t≤10\le t\le1.

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'E
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-tt את הווקטורים B′A→\vec{B'A} ו-B′E→\vec{B'E}.

ב.

מצאו את הערך של tt שעבורו B′A→\vec{B'A} מאונך ל-B′E→\vec{B'E}.

ג.

חשבו את גובה המנסרה.

ד.

עבור הערך של tt שמצאתם בסעיף ב, חשבו את שטח המשולש AB′EAB'E.

ה.

עבור t=12t=\frac12 (כלומר כאשר EE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'), קבעו אם הזווית AB′EAB'E חדה, ישרה או קהה. נמקו.

שאלה 4 · וקטורים בתיבה: טרפז בין מרכז התיבה למקצועשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה AA′=4AA'=4. הנקודה EE היא אמצע האלכסון BD′BD', והנקודה FF היא אמצע המקצוע AA′AA'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}.

ABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים AC→\overrightarrow{AC}, AE→\overrightarrow{AE} ו-FE→\overrightarrow{FE}.

ב.

הראו כי FE∥ACFE\parallel AC, ומצאו את היחס FEAC\frac{FE}{AC}.

ג.

הראו כי הזוויות FACFAC ו-AFEAFE ישרות.

ד.

חשבו את אורך הקטע CECE ואת גודל הזווית ACEACE. היעזרו בווקטורים CA→\overrightarrow{CA} ו-CE→\overrightarrow{CE}.

ה.

מצאו את זוויות הטרפז ACEFACEF.

שאלה 5 · כפל וקטור בסקלרשאלה קצרה · בינונית

במקבילית ABCDABCD שבשרטוט נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}. הנקודה EE היא אמצע הצלע CDCD, והנקודה KK נמצאת על הקטע AEAE כך ש-AK→=23AE→\overrightarrow{AK}=\frac23\overrightarrow{AE}.

uvABCDKE
א.

הביעו את הווקטור BK→\overrightarrow{BK} באמצעות u→\vec{u} ו-v→\vec{v}.

ב.

הוכיחו כי הנקודה KK נמצאת על האלכסון BDBD, ומצאו את היחס BK:KDBK:KD.

שאלה 6 · וקטורים בתיבה: נקודה משתנה על האלכסוןשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 4. הנקודה FF היא אמצע המקצוע BCBC. הנקודה EE נמצאת על האלכסון A′C′A'C', כך ש-A′E→=t⋅A′C′→\vec{A'E}=t\cdot\vec{A'C'}, כאשר 0<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'FE
א.

הביעו את FE→\overrightarrow{FE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-tt.

ב.

מצאו את tt שעבורו FE→\overrightarrow{FE} מאונך ל-A′C′→\vec{A'C'}.

ג.

עבור ה-tt שמצאתם בסעיף ב, שטח המשולש A′FC′A'FC' הוא 666\sqrt6.

מצאו את גובה התיבה.

ד.

בסעיף זה נתון שגובה התיבה הוא 2.

מצאו את tt שעבורו ∣A′E→∣=∣FE→∣|\vec{A'E}|=|\overrightarrow{FE}|.

שאלה 7 · וקטורים בקובייה: מלבן שקודקודיו באמצעי המקצועותשאלה מלאה · קלה

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שאורך המקצוע שלה 4 (ראו ציור). הנקודות EE, FF, GG ו-HH הן אמצעי המקצועות AA′AA', ABAB, CC′CC' ו-D′C′D'C' בהתאמה. נסמן: AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u.

ABCDA'B'C'D'EGFH
א.
(1)

הראו כי EF→=12u‾−12w‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u-\frac12\underline w.

(2)

הביעו את הווקטורים HG→\overrightarrow{HG} ו-EH→\overrightarrow{EH} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הוכיחו כי המרובע EFGHEFGH הוא מקבילית.

ג.

חשבו את האורכים ∣EF→∣|\overrightarrow{EF}| ו-∣EH→∣|\overrightarrow{EH}|.

ד.

הוכיחו כי EF→⊥EH→\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{EH}. מה סוג המרובע EFGHEFGH?

ה.

חשבו את שטח המרובע EFGHEFGH.

שאלה 8 · כפל וקטור בסקלרשאלה קצרה · בינונית

נתונה פירמידה משולשת SABCSABC. נסמן: SA→=a→\overrightarrow{SA}=\vec{a}, SB→=b→\overrightarrow{SB}=\vec{b}, SC→=c→\overrightarrow{SC}=\vec{c}. הנקודה GG היא נקודת המפגש של התיכונים במשולש ABCABC.

הביעו את הווקטור SG→\overrightarrow{SG} באמצעות a→\vec{a}, b→\vec{b} ו-c→\vec{c}.

שאלה 9 · וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצועשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה MM היא אמצע המקצוע C′D′C'D', והנקודה PP נמצאת על המקצוע AA′AA' ומקיימת AP→=k⋅AA′→\overrightarrow{AP}=k\cdot\vec{AA'}, כאשר 0≤k≤10\le k\le1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. נתון: ∣u‾∣=6|\underline u|=6, ∣v‾∣=4|\underline v|=4, ∠DAB=120∘\angle DAB=120^\circ, ונפח המנסרה הוא 36336\sqrt3.

ABCDA'B'C'D'MP
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-kk את הווקטורים PM→\overrightarrow{PM} ו-CM→\overrightarrow{CM}.

ב.

מצאו את ∣w‾∣|\underline w| ואת המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ג.

מצאו את הערך של kk שעבורו PM→\overrightarrow{PM} מאונך ל-CM→\overrightarrow{CM}.

ד.

נתון כי k=1k=1, כלומר הנקודה PP מתלכדת עם A′A'.

חשבו את גודל הזווית PMCPMC.

שאלה 10 · וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות ושטח משולששאלה מלאה · קלה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו-∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. גובה המנסרה הוא AA′=3AA'=3.

הנקודה EE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'.

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'E
א.
(1)

הראו כי B′E→=v‾−12u‾\vec{B'E}=\underline v-\frac12\underline u.

(2)

הביעו את B′A→\vec{B'A} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w ו-v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ג.

הוכיחו כי B′A→\vec{B'A} מאונך ל-B′E→\vec{B'E}.

ד.

חשבו את האורכים ∣B′E→∣|\vec{B'E}| ו-∣B′A→∣|\vec{B'A}|.

ה.

חשבו את שטח המשולש AB′EAB'E.

עוד 14 שאלות על כפל וקטור בסקלר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. כפל וקטור בסקלר (שאלה קצרה · בינונית)

    בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבשרטוט הבסיס הוא ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה. נסמן:…

  2. וקטורים בפירמידה: מתי קטע מקביל לקטע בבסיס (שאלה מלאה · קשה)

    בפירמידה משולשת ABCDABCD: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline v, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline w. הנקודה EE נמצאת על המקצוע BCBC כך…

  3. וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו-∠DAB=60∘\angle DAB=60^\circ. גובה המנסרה הוא AA′=4AA'=4. הנקודה MM…

  4. וקטורים בתיבה: טרפז שקודקודו במרכז התיבה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה FF היא אמצע המקצוע CC′CC', והנקודה EE היא אמצע האלכסון BD′BD'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u},…

  5. כפל בסקלר שלילי: משולש הפוך מעל קודקוד הפירמידה (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה פירמידה SABCSABC שבסיסה המשולש ABCABC, ובו ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ, AB=8AB=8, BC=6BC=6. הנקודות DD, EE ו-FF מקיימות:…

  6. וקטור שהוא חצי מאלכסון הבסיס בתיבה: מקבילות ויחס אורכים (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה EE היא אמצע האלכסון BD′BD', והנקודה FF היא אמצע המקצוע AA′AA'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u},…

  7. וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו ציור). הנקודות FF ו-HH הן אמצעי המקצועות ABAB ו-D′C′D'C' בהתאמה. הנקודה EE מקיימת:…

  8. וקטורים בפירמידה משולשת: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · בינונית)

    בפירמידה המשולשת ABCDABCD הפאות ABCABC ו-ABDABD הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה EE היא אמצע המקצוע CDCD. הנקודה FF נמצאת על המקצוע…

  9. וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=2AB=2, AD=22AD=2\sqrt2, ∠BAD=45∘\angle BAD=45^\circ, נפח המנסרה הוא 12. הנקודה FF היא…

  10. וקטורים בתיבה: גובה התיבה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה FF נמצאת על המקצוע ABAB, כך ש-AF=13ABAF=\frac13AB. הנקודה EE נמצאת על…

  11. וקטורים במנסרה משולשת ישרה: גובה המנסרה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' שבסיסה ABCABC הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ, AB=ACAB=AC). הנקודה FF נמצאת על…

  12. וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה NN היא אמצע המקצוע B′C′B'C', והנקודה QQ נמצאת על המקצוע DD′DD'…

  13. וקטורים במנסרה ישרה עם זווית קהה בבסיס: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה MM היא אמצע המקצוע A′B′A'B', והנקודה PP נמצאת על המקצוע CC′CC'…

  14. כפל בסקלר במקבילית: נקודות על המשכי הצלעות (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה מקבילית ABCDABCD. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}. הנקודה EE נמצאת על המשך הצלע BCBC כך ש-BE→=2BC→\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BC}, והנקודה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

  • אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון (שאלה קצרה · בינונית)

    SABCSABC פירמידה משולשת. MM אמצע המקצוע ABAB, ו-NN אמצע המקצוע BCBC. נסמן: SM→=a‾\overrightarrow{SM}=\underline a,…

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.