מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ט' (נוסח 2026) - עם פתרונות מלאים

התשובה: 48 נוסעים.

מחברים את מספר המדרגים בכל השורות של הטבלה:

$6 + 14 + 28 = 48$

התשובה הנכונה: לא.

3 כוכבים הם הדירוג הגבוה ביותר האפשרי. הממוצע יכול להיות שווה לערך הגבוה ביותר רק אם כל הדירוגים שווים לו.

בינואר 6 נוסעים נתנו כוכב אחד ו־14 נוסעים נתנו 2 כוכבים – כלומר 20 נוסעים נתנו פחות מ־3 כוכבים. הדירוגים האלה "מושכים" את הממוצע מתחת ל־3, ושום דירוג בפברואר לא יכול לפצות עליהם, כי אי אפשר לתת יותר מ־3 כוכבים.

לדוגמה, הממוצע של ינואר לבדו:

$\frac{6 \cdot 1 + 14 \cdot 2 + 28 \cdot 3}{48} = \frac{6 + 28 + 84}{48} = \frac{118}{48} \approx 2.46$

גם אם כל הנוסעים בפברואר ייתנו 3 כוכבים, הממוצע של שני החודשים יחד יעלה, אבל תמיד יישאר קטן מ־3.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. כדי שהממוצע יהיה 3 כוכבים כל הנוסעים היו צריכים לתת 3 כוכבים, אבל בינואר היו נוסעים שנתנו כוכב אחד או 2 כוכבים, ולכן הממוצע יהיה נמוך מ־3."

למה לא "כן"? מי שעונה כן חושב שאם בפברואר יהיו הרבה דירוגים של 3 כוכבים הממוצע יגיע ל־3. אבל אין דירוג גבוה מ־3 שיכול לאזן את הדירוגים הנמוכים, ולכן הממוצע יכול רק להתקרב ל־3 ולא להגיע אליו.

התשובה הנכונה: אורית כהן.

מחפשים את העמודה שהחלק העליון שלה מגיע בדיוק לקו של 25,000. זו העמודה של אורית כהן.

למה לא מיכל דהן? העמודה שלה מגיעה ל־15,000 בלבד.

למה לא נגה אלון? העמודה שלה מגיעה לקו הבא – 30,000.

למה לא יואב ברק? זו העמודה הגבוהה ביותר (בערך 47,000), ולא 25,000.

התשובה הנכונה: כן.

דרך 1 – מחשבים כמה קולות הם 40%:

$\frac{40}{100} \cdot 125{,}000 = 50{,}000$

כדי לנצח כבר בסיבוב הראשון מועמד צריך לפחות 50,000 קולות. המועמד שקיבל הכי הרבה קולות הוא יואב ברק – בערך 47,000 קולות, פחות מ־50,000. לכן אין מועמד עם 40% או יותר, וצריך סיבוב שני.

דרך 2 – מחשבים את האחוז של המועמד המוביל:

$\frac{47{,}000}{125{,}000} = 0.376 = 37.6\%$

זה פחות מ־40%, ולכן צריך סיבוב שני.

למה לא "לא"? מי שעונה לא בדרך כלל רואה שיואב קיבל הרבה יותר קולות מכל השאר ומסיק שהוא ניצח. אבל הכלל לא בודק מי קיבל הכי הרבה – הוא בודק אם מישהו הגיע ל־40% מכלל הקולות, ויואב לא הגיע.

התשובה הנכונה: $x^2 - 4$.

פותחים סוגריים – כל איבר בסוגריים הראשונים כופלים בכל איבר בסוגריים השניים:

$(x+2)(x-2) = x \cdot x - 2x + 2x - 2 \cdot 2 = x^2 - 2x + 2x - 4 = x^2 - 4$

(אפשר גם להשתמש בנוסחת הכפל המקוצר $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.)

למה לא $x^2 + 4$? טעות בסימן: $2 \cdot (-2) = -4$, ולא $+4$.

למה לא $x^2 - 2x - 4$? שכחו את האיבר $+2x$ – האיברים $-2x$ ו־$+2x$ מבטלים זה את זה.

למה לא $x^2 - 4x + 4$? זה הביטוי $(x-2)^2$, ולא $(x+2)(x-2)$.

התשובה הנכונה: $-14$ וגם $14$.

לפי סעיף א, אפשר לכתוב את אגף שמאל כ־$x^2 - 4$:

$x^2 - 4 = 192$

$x^2 = 196$

המספרים שהריבוע שלהם הוא 196 הם $14$ ו־$-14$.

בדיקה: $(14+2)(14-2) = 16 \cdot 12 = 192$ ✓

$(-14+2)(-14-2) = (-12) \cdot (-16) = 192$ ✓

למה לא $12$ ו־$-12$? 12 הוא הגורם $x - 2$ כשהפתרון הוא 14, ולא הפתרון עצמו. בדיקה: $(12+2)(12-2) = 14 \cdot 10 = 140 \neq 192$.

למה לא $98$? מי שבוחר 98 חילק את 196 ב־2 במקום להוציא שורש: $x^2 = 196$ פירושו $x \cdot x = 196$, ולא $2x = 196$.

ושימו לב: למשוואה הזו יש שני פתרונות – צריך לסמן את שניהם.

הסבר מלא: הישרים PQ ו־RF מקבילים, והישר QR חותך את שניהם. הזווית α (ליד Q) והזווית β (ליד R) נמצאות בצדדים שונים של החותך QR ובין שני הישרים המקבילים – לכן הן זוויות מתחלפות. זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו, ולכן $\alpha = \beta$.

טעויות נפוצות: לכתוב שהזוויות "מתאימות" (הן לא – זוויות מתאימות נמצאות באותו צד של החותך), או להסביר רק לפי המראה או הצורה ("צורת Z") בלי לציין שהישרים מקבילים.

התשובה: $\beta = 69^\circ$.

שלב 1: במשולש שווה־שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש. לכן

$\angle QPH = \angle RPH = 21^\circ$

שלב 2: במשולש PHQ יש זווית ישרה ליד H. לפי סכום הזוויות במשולש (180°):

$\alpha = 180^\circ - 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ$

שלב 3: לפי סעיף א, $\beta = \alpha$, ולכן $\beta = 69^\circ$.

דרך נוספת: במשולש PHR – $\angle PRH = 180^\circ - 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ$, וזוויות הבסיס במשולש שווה־שוקיים שוות, לכן גם $\alpha = 69^\circ$ ו־$\beta = 69^\circ$.

דרך נוספת: זווית הראש היא $\angle QPR = 2 \cdot 21^\circ = 42^\circ$, ולכן כל זווית בסיס היא $\frac{180^\circ - 42^\circ}{2} = 69^\circ$.

התשובה: כעבור 4 שניות, רוני נמצא בגובה 6 מטרים מעל הקרקע.

לנקודה A יש שיעורים $(4, 6)$. ציר ה־x מתאר את הזמן בשניות, ולכן שיעור ה־x (4) הוא הזמן. ציר ה־y מתאר את הגובה במטרים, ולכן שיעור ה־y (6) הוא הגובה.

טעות נפוצה: להחליף בין הזמן לגובה (לכתוב 6 שניות ו־4 מטרים).

התשובה הנכונה: $(7, 2)$.

"כעבור כמה שניות נוספות" – הזמן צריך להיות מאוחר יותר מ־4 שניות, כלומר שיעור ה־x גדול מ־4.

"המעלית ממשיכה לרדת" – הגובה צריך להיות נמוך יותר מ־6 מטרים, כלומר שיעור ה־y קטן מ־6.

רק בנקודה $(7, 2)$ שני התנאים מתקיימים: $7 > 4$ וגם $2 < 6$.

למה לא $(3, 1)$? הגובה אמנם נמוך יותר, אבל הזמן 3 שניות – זה לפני הנקודה A, ולא אחריה.

למה לא $(6, 8)$? הזמן מאוחר יותר, אבל הגובה 8 מטרים – רוני היה עולה, ולא יורד.

למה לא $(7, 6)$? הגובה נשאר 6 מטרים – כאילו המעלית עצרה. אבל היא יורדת בקצב קבוע, ולכן הגובה חייב לרדת.

התשובה: $\triangle PTR \cong \triangle NTS$.

בשני המשולשים הזווית הישרה נמצאת ליד T, ולכן T מתאים ל־T.

במשולש PTR הניצב הקצר הוא PT, ובמשולש השני הניצב הקצר הוא NT – לכן P מתאים ל־N.

הניצב הארוך במשולש PTR הוא TR, ובמשולש השני הניצב הארוך הוא TS – לכן R מתאים ל־S.

לכן הסדר הוא N, T, S.

התשובה: כן, אפשר. $RN = 11$ ס"מ.

הסבר:

• $NT = PT = 9$ ס"מ, כי אלה צלעות מתאימות במשולשים חופפים.

• $TR = TS = 20$ ס"מ, כי גם אלה צלעות מתאימות במשולשים חופפים.

• הנקודה N נמצאת על TR, ולכן:

$RN = TR - NT = 20 - 9 = 11$ ס"מ.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "כן. בגלל החפיפה $TN = TP = 9$ ו־$TR = TS = 20$, ולכן $RN = 20 - 9 = 11$ ס"מ."

התשובה הנכונה: פי 4.

המלבן העליון ABFE זהה לארבעת המלבנים העומדים שמתחתיו.

הצלע הקצרה של המלבן העליון היא BF. לכן גם הצלע הקצרה (הרוחב) של כל מלבן עומד שווה ל־BF.

ארבעה מלבנים עומדים מונחים זה ליד זה לאורך EF, ולכן $EF = 4 \cdot BF$.

הצלע AB שווה ל־EF (צלעות נגדיות במלבן ABFE), ולכן $AB = 4 \cdot BF$ – פי 4.

למה לא פי $\frac{5}{4}$? זה היחס בין AD ל־AB: $AD = 5 \cdot BF$ ו־$AB = 4 \cdot BF$, ולא היחס בין AB ל־BF.

למה לא פי 5? זה היחס בין AD ל־BF (רוחב אחד ועוד אורך אחד), ולא בין AB ל־BF.

למה לא פי $\frac{4}{5}$? זה היחס בין AB ל־AD (ולא ל־BF). חוץ מזה, $\frac{4}{5}$ קטן מ־1 – כלומר AB היה קצר מהקטע שמשווים אליו, אבל AB ארוך בהרבה מ־BF.

התשובה הנכונה: $18x$.

AE היא הצלע הקצרה של מלבן קטן, ולכן $AE = x$. לפי סעיף א, הצלע הארוכה של מלבן קטן היא $AB = 4x$.

הצלע AD בנויה מצלע קצרה אחת ($AE = x$) ומצלע ארוכה אחת ($ED = 4x$):

$AD = x + 4x = 5x$

ההיקף של מלבן הוא פעמיים (אורך + רוחב):

$2 \cdot (4x + 5x) = 2 \cdot 9x = 18x$

למה לא $10x$? זה $2 \cdot AD$ בלבד – שכחו את שתי הצלעות AB ו־CD.

למה לא $16x^2$? זה $(4x)^2$ – שטח של ריבוע שצלעו AB, ולא היקף.

למה לא $20x^2$? זה השטח של ABCD ($4x \cdot 5x$), ולא ההיקף.

התשובה: 80 סמ"ר.

שלב 1 – מוצאים את $x$: לפי סעיף ב, $AB = 4x$, ולכן

$4x = 8$

$x = 2$

שלב 2 – מוצאים את AD:

$AD = x + 4x = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ ס"מ.

שלב 3 – מחשבים את השטח:

$AB \cdot AD = 8 \cdot 10 = 80$ סמ"ר.

דרך נוספת: $AE = 2$ (כי AB גדול פי 4 מ־BF), ולכן השטח של מלבן קטן אחד (למשל ABFE) הוא $8 \cdot 2 = 16$ סמ"ר. במלבן הגדול יש 5 מלבנים קטנים: $5 \cdot 16 = 80$ סמ"ר.

התשובה: $y = 4x + 8$.

משוואת ישר היא $y = mx + b$. השיפוע נתון: $m = 4$, ולכן $y = 4x + b$.

הישר עובר דרך $A(-2, 0)$, ולכן מציבים $x = -2$ ו־$y = 0$:

$0 = 4 \cdot (-2) + b$

$0 = -8 + b$

$b = 8$

משוואת הישר: $y = 4x + 8$.

דרך נוספת ("מדרגות"): שיפוע 4 פירושו שכל צעד של 1 ימינה מעלה את הישר ב־4. מ־A עד ציר ה־y יש 2 צעדים ימינה, ולכן הישר עולה $2 \cdot 4 = 8$ – הוא פוגש את ציר ה־y בגובה 8. לכן $b = 8$.

התשובה: $B(0, 8)$.

B נמצאת על ציר ה־y, ולכן שיעור ה־x שלה הוא 0. מציבים $x = 0$ במשוואת הישר:

$y = 4 \cdot 0 + 8 = 8$

לכן $B(0, 8)$. (זה גם המספר $b$ במשוואה – נקודת החיתוך עם ציר ה־y.)

טעות נפוצה: לכתוב $(8, 0)$ – להחליף בין שיעור ה־x לשיעור ה־y.

התשובה: 24 יחידות שטח.

הצלע AC מונחת על ציר ה־x, מ־$-2$ עד $4$:

$AC = 4 - (-2) = 6$

הגובה לצלע AC הוא המרחק של B מציר ה־x: $OB = 8$ (O היא ראשית הצירים).

שטח המשולש:

$\frac{AC \cdot OB}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$

דרך נוספת – מחלקים לשני משולשים ישרי־זווית:

שטח ABO: $\frac{2 \cdot 8}{2} = 8$

שטח CBO: $\frac{4 \cdot 8}{2} = 16$

שטח ABC: $8 + 16 = 24$ יחידות שטח.

התשובה: $(8, 3)$ נמצאת, $(2, 7)$ אינה נמצאת, $(3, -2)$ נמצאת.

נקודה נמצאת על הגרף אם כשמציבים את השיעורים שלה במשוואה $x - y = 5$ מתקבל משפט נכון.

• $(8, 3)$: $8 - 3 = 5$ ✓ – נמצאת.

• $(2, 7)$: $2 - 7 = -5 \neq 5$ ✗ – אינה נמצאת. (טעות נפוצה: לחשב $7 - 2 = 5$ – כלומר להפוך את הסדר ולחסר את x מ־y.)

• $(3, -2)$: $3 - (-2) = 3 + 2 = 5$ ✓ – נמצאת. (שימו לב: חיסור של מספר שלילי הוא חיבור.)

התשובה: הנקודה $(3, -2)$.

דרך 1 – הצבה: לפי סעיף א, $(3, -2)$ כבר מקיימת את המשוואה הראשונה. מציבים אותה גם במשוואה השנייה:

$3 + (-2) = 1$ ✓

הנקודה מקיימת את שתי המשוואות, ולכן היא פתרון המערכת.

(הנקודה $(8, 3)$ אינה מתאימה: $8 + 3 = 11 \neq 1$.)

דרך 2 – פתרון המערכת:

מהמשוואה הראשונה: $x = 5 + y$. מציבים במשוואה השנייה:

$5 + y + y = 1$

$2y = -4$

$y = -2$

מציבים במשוואה שכבר נפתרה: $x = 5 + (-2) = 3$.

הפתרון: $(3, -2)$ – הנקודה מהטבלה.

התשובה הנכונה: חברת "דרך קלה".

מחשבים כמה יעלו 3 שעות בכל חברה:

• "דרך קלה": $12 \cdot 3 = 36$ שקלים.

• "זוז": $24 + 6 \cdot 3 = 24 + 18 = 42$ שקלים.

$36 < 42$, ולכן ב"דרך קלה" גלעד ישלם פחות.

למה לא "זוז"? המחיר לשעה ב"זוז" אמנם נמוך יותר (6 לעומת 12), אבל צריך להוסיף את התשלום הקבוע של 24 שקלים. ל־3 שעות התשלום הקבוע עדיין גדול מהחיסכון בשעות ($3 \cdot 6 = 18 < 24$).

התשובה: 8 שעות.

בודקים כמה שעות אפשר לקבל ב־72 שקלים בכל חברה:

• "דרך קלה": $72 : 12 = 6$ שעות.

• "זוז": קודם משלמים 24 שקלים קבועים, ונשארים $72 - 24 = 48$ שקלים לשעות. $48 : 6 = 8$ שעות.

ב"זוז" נועה תקבל יותר שעות – 8 שעות.

אפשר גם בעזרת משוואה: $24 + 6x = 72$, ולכן $6x = 48$ ו־$x = 8$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את "דרך קלה" (6 שעות), או לחלק את כל 72 השקלים ב־6 בלי להוריד קודם את התשלום הקבוע (12 שעות).

התשובה: הגרף של "זוז" הוא הישר $y = 24 + 6x$.

איך מסרטטים:

• כש־$x = 0$ (עוד לא נסעו) משלמים רק את התשלום הקבוע: הנקודה $(0, 24)$.

• כל שעה מוסיפה 6 שקלים: $(1, 30)$, $(2, 36)$, $(4, 48)$, $(10, 84)$.

• מסמנים שתיים או שלוש נקודות כאלה ומחברים אותן בקו ישר.

שימו לב: שני הגרפים נפגשים בנקודה $(4, 48)$ – ל־4 שעות המחיר בשתי החברות זהה (48 שקלים).

התשובה: 2 שעות.

נסמן ב־$x$ את מספר השעות.

שירה שילמה $12x$, ואלון שילם $24 + 6x$. אלון שילם 12 שקלים יותר, ולכן:

$24 + 6x = 12x + 12$

$24 - 12 = 12x - 6x$

$12 = 6x$

$x = 2$

בדיקה: שירה – $12 \cdot 2 = 24$ שקלים; אלון – $24 + 6 \cdot 2 = 36$ שקלים. ההפרש: $36 - 24 = 12$ ✓

דרך נוספת – לפי הגרפים מסעיף ג: מחפשים את הזמן שבו הישר של "זוז" נמצא 12 שקלים מעל הישר של "דרך קלה". ב־$x = 2$ הנקודות הן $(2, 24)$ ו־$(2, 36)$ – ההפרש 12.

(אחרי 4 שעות "דרך קלה" יקרה יותר, ולכן שם אלון כבר לא משלם יותר.)

התשובה: $B(-6, 0)$.

ציר ה־y מאונך לציר ה־x, ולכן AO הוא הגובה לבסיס BD במשולש ABD.

במשולש שווה־שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון – הוא מחלק את הבסיס לשני חלקים שווים. לכן $BO = OD = 6$.

B נמצאת על ציר ה־x, בצד השלילי, במרחק 6 מ־O: $B(-6, 0)$.

הוכחה לדוגמה (ציון מלא):

1. $OC = OC$ – צלע משותפת לשני המשולשים.

2. $\angle BOC = \angle DOC = 90^\circ$ – כי הצירים מאונכים זה לזה.

3. $OB = OD$ – לפי סעיף א (במשולש שווה־שוקיים ABD הגובה לבסיס הוא גם תיכון).

לכן $\triangle BOC \cong \triangle DOC$ לפי משפט החפיפה צלע־זווית־צלע (צ.ז.צ.): שתי צלעות והזווית שביניהן.

שימו לב: הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות – הזווית הישרה ליד O נמצאת בין OB ל־OC (ובין OD ל־OC).

הסבר לדוגמה:

• $AB = AD$ – נתון.

• $CB = CD$ – כי הן צלעות מתאימות במשולשים החופפים BOC ו־DOC (סעיף ב).

דלתון הוא מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. ב־ABCD יש זוג אחד (AB ו־AD) וזוג שני (CB ו־CD), ולכן ABCD הוא דלתון.

הסבר נוסף: $OC \perp BD$ (הצירים מאונכים) ו־$BO = OD$, ולכן במשולש BCD הגובה לבסיס הוא גם תיכון – לכן המשולש BCD שווה־שוקיים ($CB = CD$). יחד עם $AB = AD$, המרובע ABCD הוא דלתון.

התשובה: $C(0, -4)$.

דרך 1 – נוסחת השטח של דלתון (מכפלת האלכסונים חלקי 2):

האלכסון $BD = 6 + 6 = 12$.

$\frac{BD \cdot AC}{2} = 72$

$\frac{12 \cdot AC}{2} = 72$

$6 \cdot AC = 72$

$AC = 12$

נתון ש־$AO = 8$, ולכן $OC = AC - AO = 12 - 8 = 4$.

C נמצאת על החלק השלילי של ציר ה־y: $C(0, -4)$.

דרך 2 – חיבור שטחי משולשים:

שטח המשולש ABD: $\frac{BD \cdot AO}{2} = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48$.

שטח המשולש CBD: $72 - 48 = 24$.

$\frac{BD \cdot OC}{2} = 24$, כלומר $\frac{12 \cdot OC}{2} = 24$, ולכן $OC = 4$ ו־$C(0, -4)$.

התשובה: 10 ק"מ.

הכבישים מהבית לקניון ומהקניון לבית הספר מאונכים זה לזה, ולכן השביל הוא היתר במשולש ישר־זווית שהניצבים שלו 8 ק"מ ו־6 ק"מ.

נסמן את אורך השביל ב־$d$. לפי משפט פיתגורס:

$d^2 = 8^2 + 6^2$

$d^2 = 64 + 36$

$d^2 = 100$

$d = 10$ ק"מ.

התשובה הנכונה: רכיבה על אופניים.

זמן = דרך : מהירות.

• במכונית: $\frac{14}{28} = \frac{1}{2}$ שעה, כלומר 30 דקות.

• באופניים: $\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ שעה, כלומר $\frac{5}{12} \cdot 60 = 25$ דקות.

$25 < 30$, ולכן באופניים יונתן יגיע מהר יותר.

למה לא נסיעה במכונית? המכונית אמנם מהירה יותר (28 קמ"ש לעומת 24 קמ"ש), אבל הדרך שלה ארוכה יותר (14 ק"מ לעומת 10 ק"מ). צריך להשוות את הזמנים, ולא רק את המהירויות.