מבחן מיצ"ב לדוגמה 6 במתמטיקה לכיתה ט' - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: 5 מטרים.

כל 1 ס"מ בתוכנית הוא 200 ס"מ במציאות, ולכן כופלים ב־200:

$2.5 \cdot 200 = 500$ ס"מ.

במטר יש 100 ס"מ, ולכן:

$500 : 100 = 5$ מטרים.

למה לא 500 מטרים? 500 הוא האורך בסנטימטרים. מי שבוחר בתשובה הזו שכח להמיר סנטימטרים למטרים.

למה לא 50 מטרים? כאן חילקו את 500 ב־10 במקום ב־100 – בלבול בין המרה של מילימטרים לסנטימטרים לבין המרה של סנטימטרים למטרים.

למה לא 0.5 מטר? כאן חילקו ב־1,000 במקום ב־100 (כמו בהמרה ממטרים לקילומטרים). חדר שינה שהצלע שלו חצי מטר הוא קטן מדי – זה סימן שהחישוב שגוי.

התשובה הנכונה: לא. שטח הדירה במציאות הוא 96 מ"ר.

שלב 1 – מחשבים את האורכים במציאות:

$6 \cdot 200 = 1{,}200$ ס"מ $= 12$ מטרים.

$4 \cdot 200 = 800$ ס"מ $= 8$ מטרים.

שלב 2 – מחשבים את השטח במציאות:

$12 \cdot 8 = 96$ מ"ר.

שלב 3 – בודקים את הטענה של דנה:

השטח בתוכנית הוא $6 \cdot 4 = 24$ סמ"ר. לפי דנה השטח במציאות היה $24 \cdot 200 = 4{,}800$ סמ"ר, כלומר פחות מחצי מטר רבוע ($0.48$ מ"ר) – דירה קטנה מטבלה של שולחן!

הטעות של דנה: גם האורך וגם הרוחב גדלים פי 200, ולכן השטח גדל פי $200 \cdot 200 = 40{,}000$.

בדיקה: $96$ מ"ר $= 960{,}000$ סמ"ר, ו־$24 \cdot 40{,}000 = 960{,}000$ ✓

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. במציאות הדירה היא $12 \cdot 8$ מטרים, ולכן השטח שלה 96 מ"ר. השטח גדל פי $200 \cdot 200$, כי גם האורך וגם הרוחב גדלו פי 200."

למה לא "כן"? מי שעונה כן מניח שמה שנכון לאורכים נכון גם לשטחים. אבל שטח הוא מכפלה של שני אורכים, ולכן היחס בין השטחים הוא היחס בין האורכים בריבוע.

התשובה: הממוצע של נועה – 9,000; החציון של יובל – 7,000; הטווח של יובל – 10,000.

הממוצע של נועה: מחברים את כל הנתונים ומחלקים במספר הימים (7):

$8{,}000 + 9{,}500 + 7{,}500 + 10{,}000 + 8{,}500 + 9{,}000 + 10{,}500 = 63{,}000$

$63{,}000 : 7 = 9{,}000$ צעדים.

החציון של יובל: מסדרים את הנתונים מהקטן לגדול:

4,000, 6,000, 6,000, 7,000, 9,000, 13,500, 14,000

יש 7 נתונים, ולכן החציון הוא הנתון הרביעי (האמצעי): 7,000 צעדים.

(טעות נפוצה: לקחת את הנתון האמצעי בטבלה בלי לסדר – יום ד', 13,500.)

הטווח של יובל: הנתון הגדול פחות הנתון הקטן:

$14{,}000 - 4{,}000 = 10{,}000$ צעדים.

(טעות נפוצה: לכתוב רק את הנתון הגדול, 14,000.)

התשובה הנכונה: לא.

כדי לדעת מי הלך יותר בסך הכול, צריך להשוות את סכום הצעדים של כל השבוע (או את הממוצע, כי מספר הימים שווה), ולא יום אחד.

• נועה: $63{,}000$ צעדים (סעיף א: $9{,}000 \cdot 7$).

• יובל: $4{,}000 + 14{,}000 + 6{,}000 + 13{,}500 + 7{,}000 + 9{,}000 + 6{,}000 = 59{,}500$ צעדים (או $8{,}500 \cdot 7$).

$59{,}500 < 63{,}000$, ולכן נועה הלכה יותר. ליובל היו שני ימים עם הרבה צעדים, אבל גם ימים עם מעט צעדים (4,000 ו־6,000), והם "מורידים" את הסכום שלו.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. הממוצע של יובל הוא 8,500 צעדים, והממוצע של נועה 9,000. כלומר בסך הכול נועה הלכה יותר, למרות שליובל היה יום אחד עם הכי הרבה צעדים."

למה לא "כן"? הנתון הגדול ביותר (המקסימום) לא מספר לנו על הסכום של כל הנתונים. יובל השווה רק יום אחד ולא את כל השבוע.

התשובה הנכונה: ב"חופשה בכיף" – זול יותר ב־128 שקלים.

מחיר לפני הנחה: $800 \cdot 4 = 3{,}200$ שקלים.

ההנחה: $\frac{15}{100} \cdot 3{,}200 = 480$ שקלים.

מחיר אחרי הנחה: $3{,}200 - 480 = 2{,}720$ שקלים. (או: $0.85 \cdot 3{,}200 = 2{,}720$.)

מחיר לפני הנחה: $720 \cdot 4 = 2{,}880$ שקלים.

ההנחה: $\frac{10}{100} \cdot 2{,}880 = 288$ שקלים.

מחיר אחרי הנחה: $2{,}880 - 288 = 2{,}592$ שקלים. (או: $0.9 \cdot 2{,}880 = 2{,}592$.)

ההפרש: $2{,}720 - 2{,}592 = 128$ שקלים, ו"חופשה בכיף" זול יותר.

למה לא "ב'חופשה בכיף' – זול יותר ב־320 שקלים"? זה ההפרש בין המחירים לפני ההנחות: $3{,}200 - 2{,}880 = 320$. שכחו להוריד את ההנחות.

למה לא "ב'חופשה בכיף' – זול יותר ב־300 שקלים"? כאן הורידו את האחוזים כאילו הם שקלים: $(800 - 15) \cdot 4 = 3{,}140$ ו־$(720 - 10) \cdot 4 = 2{,}840$, וההפרש 300. אבל 15% הם חלק מהמחיר, ולא 15 שקלים.

למה לא "ב'נופש בקליק' – זול יותר ב־160 שקלים"? כאן הורידו את ההנחה רק ב"נופש בקליק" (2,720) והשוו למחיר המלא של "חופשה בכיף" (2,880): $2{,}880 - 2{,}720 = 160$. שכחו את ההנחה של 10%.

התשובה: 19%.

שלב 1 – המחיר שצריך להגיע אליו הוא המחיר ב"חופשה בכיף": 2,592 שקלים (סעיף א).

שלב 2 – המחיר המלא ב"נופש בקליק" הוא 3,200 שקלים. ההנחה בשקלים צריכה להיות:

$3{,}200 - 2{,}592 = 608$ שקלים.

שלב 3 – איזה אחוז זה מהמחיר המלא:

$\frac{608}{3{,}200} = 0.19 = 19\%$

דרך נוספת: $\frac{2{,}592}{3{,}200} = 0.81$, כלומר המשפחה צריכה לשלם 81% מהמחיר המלא. ההנחה: $100\% - 81\% = 19\%$.

בדיקה: $0.81 \cdot 3{,}200 = 2{,}592$ ✓

טעות נפוצה: לחשב את האחוז מתוך המחיר הנמוך: $\frac{608}{2{,}592} \approx 23.5\%$. אחוז ההנחה מחושב תמיד מתוך המחיר לפני ההנחה.

התשובה הנכונה: 10 דקות.

כשהאוטובוס עומד, המרחק שלו מהתחנה המרכזית לא משתנה – בגרף זה קטע אופקי.

בגרף יש שני קטעים אופקיים:

• מ־8:10 עד 8:15 – 5 דקות (בגובה 6 ק"מ).

• מ־8:35 עד 8:40 – 5 דקות (בגובה 16 ק"מ).

בסך הכול: $5 + 5 = 10$ דקות.

למה לא 5 דקות? זה הזמן של עצירה אחת בלבד. האוטובוס עצר פעמיים.

למה לא 2 דקות? 2 הוא מספר העצירות, ולא הזמן שהן נמשכו.

למה לא 50 דקות? זה זמן הנסיעה כולו, מ־8:00 עד 8:50, כולל הזמן שבו האוטובוס נסע.

התשובה: 30 קמ"ש.

בשעה 8:15 האוטובוס נמצא 6 ק"מ מהתחנה המרכזית, ובשעה 8:35 – 16 ק"מ.

הדרך שעבר: $16 - 6 = 10$ ק"מ.

הזמן: מ־8:15 עד 8:35 – 20 דקות, כלומר $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ שעה.

מהירות = דרך : זמן:

$10 : \frac{1}{3} = 10 \cdot 3 = 30$ קמ"ש.

דרך נוספת: ב־20 דקות האוטובוס עובר 10 ק"מ. בשעה יש 3 פעמים 20 דקות, ולכן בשעה הוא עובר $3 \cdot 10 = 30$ ק"מ.

טעויות נפוצות: לחשב $10 : 20 = 0.5$ ולשכוח שזו מהירות בק"מ לדקה; או לקחת את המרחק 16 ק"מ במקום את הדרך שנעברה בקטע (10 ק"מ).

התשובה: 60 קמ"ש.

שלב 1 – הדרך בקטע האחרון: "מרכז העיר" נמצא 24 ק"מ מהתחנה המרכזית, והתחנה השנייה – 16 ק"מ. לכן:

$24 - 16 = 8$ ק"מ.

שלב 2 – הזמן: האוטובוס יוצא מהתחנה השנייה ב־8:40 וצריך להגיע ב־8:48, כלומר יש לו 8 דקות $= \frac{8}{60}$ שעה.

שלב 3 – המהירות: 8 ק"מ ב־8 דקות זה 1 ק"מ בכל דקה, ובשעה (60 דקות) – 60 ק"מ.

$8 : \frac{8}{60} = 8 \cdot \frac{60}{8} = 60$ קמ"ש.

להשוואה: היום האוטובוס עבר את הקטע האחרון ב־10 דקות (8:40–8:50), במהירות $8 \cdot 6 = 48$ קמ"ש. כדי להגיע 2 דקות מוקדם יותר הוא צריך לנסוע מהר יותר – 60 קמ"ש.

טעות נפוצה: לחשב את הזמן מ־8:35 (שעת ההגעה לתחנה השנייה) במקום מ־8:40 (שעת היציאה ממנה) – אז מתקבלות 13 דקות, אבל בזמן העצירה האוטובוס לא נוסע.

התשובה: בשלב 4 – 14 נקודות, בשלב 6 – 20 נקודות.

מכל שלב לשלב הבא נוספות 3 נקודות (5, 8, 11 – כל פעם $+3$): נקודה אחת בכל "עמוד" ונקודה אחת בשורה התחתונה.

שלב 4: $11 + 3 = 14$.

שלב 5: $14 + 3 = 17$.

שלב 6: $17 + 3 = 20$.

טעות נפוצה: לכתוב בשלב 6 את המספר $14 + 3 = 17$ – כלומר לשכוח שבטבלה מדלגים על שלב 5.

התשובה הנכונה: $3n + 2$.

דרך 1 – לפי מבנה הצורה: בשלב $n$ יש שני "עמודים" של $n + 1$ נקודות כל אחד, ועוד $n$ נקודות בשורה התחתונה ביניהם:

$2(n + 1) + n = 2n + 2 + n = 3n + 2$

דרך 2 – לפי הטבלה: בכל שלב נוספות 3 נקודות, ולכן בביטוי יש $3n$. בשלב 1: $3 \cdot 1 = 3$, וצריך 5 – לכן מוסיפים 2.

בדיקה: $n = 1$: $3 + 2 = 5$ ✓; $n = 2$: $6 + 2 = 8$ ✓; $n = 3$: $9 + 2 = 11$ ✓

למה לא $5n$? הביטוי נכון רק בשלב 1. בשלב 2 הוא נותן $5 \cdot 2 = 10$, אבל יש 8 נקודות. מי שבוחר בו הניח שכל שלב הוא "עוד פעם השלב הראשון".

למה לא $3n + 5$? כאן התחילו מ־5 והוסיפו 3 גם בשלב הראשון: בשלב 1 מתקבל $3 + 5 = 8$ ולא 5.

למה לא $3n$? הביטוי מתאר נכון את התוספת (3 בכל שלב) אבל שכח את הקבוע: בשלב 1 הוא נותן 3 ולא 5.

התשובה: מאיה אינה צודקת. השלב הראשון עם יותר מ־100 נקודות הוא שלב 33.

לפי סעיף ב, בשלב $n$ יש $3n + 2$ נקודות. פותרים:

$3n + 2 = 100$

$3n = 98$

$n = \frac{98}{3} = 32\frac{2}{3}$

מספר השלב חייב להיות מספר שלם, ולכן אין שלב עם 100 נקודות בדיוק.

(הסבר אחר: מספר הנקודות פחות 2 חייב להתחלק ב־3. $100 - 2 = 98$, ו־98 לא מתחלק ב־3.)

שלב 32: $3 \cdot 32 + 2 = 98$ נקודות – פחות מ־100.

שלב 33: $3 \cdot 33 + 2 = 101$ נקודות – יותר מ־100.

לכן התשובה היא שלב 33.

שימו לב: גם חישוב של שלבים 32 ו־33 לבדו מוכיח שאין שלב עם 100 נקודות – מ־98 קופצים ישר ל־101.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. $3n + 2 = 100$, ולכן $n = 32.67$ – לא מספר שלם. בשלב 32 יש 98 נקודות ובשלב 33 יש 101, ולכן השלב הראשון עם יותר מ־100 הוא שלב 33."

התשובה הנכונה: ריבוע.

ההסבר המלא מופיע בסעיף ב: כל ארבע הצלעות שוות ($\sqrt{10}$), והזוויות ישרות.

למה לא "מלבן שאינו ריבוע"? הזוויות אמנם ישרות, אבל כל ארבע הצלעות שוות זו לזו – ומלבן שכל צלעותיו שוות הוא ריבוע.

למה לא "דלתון שאינו ריבוע"? ב־ABCD יש אמנם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, אבל גם כל הזוויות ישרות – ולכן הוא ריבוע (ריבוע הוא מקרה פרטי של דלתון).

למה לא "מרובע שאינו ריבוע, אינו מלבן ואינו דלתון"? מי שבוחר בתשובה הזו מסתמך על המראה: הצלעות "עקומות" ביחס לקווי המשבצות. אבל ריבוע יכול להיות מסובב – מה שקובע הוא אורכי הצלעות והזוויות.

התשובה: רון אינו צודק – ABCD הוא ריבוע.

לפי הסרטוט: $A(2, 1)$, $B(5, 2)$, $C(4, 5)$, $D(1, 4)$.

שלב 1 – כל הצלעות שוות. כל צלע היא יתר של משולש ישר־זווית שהניצבים שלו 3 משבצות ו־1 משבצת:

• AB: 3 ימינה, 1 למעלה. $AB^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

• BC: 1 שמאלה, 3 למעלה. $BC^2 = 1^2 + 3^2 = 10$

• CD: 3 שמאלה, 1 למטה. $CD^2 = 10$

• DA: 1 ימינה, 3 למטה. $DA^2 = 10$

לכן $AB = BC = CD = DA = \sqrt{10}$.

שלב 2 – יש זווית ישרה. האלכסון AC: 2 ימינה, 4 למעלה, ולכן $AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.

במשולש ABC: $AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20 = AC^2$. לפי המשפט ההפוך למשפט פיתגורס, $\angle ABC = 90^\circ$.

מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות ויש בו זווית ישרה הוא ריבוע. ריבוע לא חייב להיות "ישר" ביחס לקווי המשבצות – הוא יכול להיות מסובב, ולכן רון אינו צודק.

דרך נוספת לשלב 2: שני האלכסונים שווים – $AC^2 = 2^2 + 4^2 = 20$ ו־$BD^2 = 4^2 + 2^2 = 20$. מרובע שכל צלעותיו שוות ושאלכסוניו שווים הוא ריבוע.

התשובה הנכונה: $n + (n + 1) + (n + 2) = 87$.

מספרים עוקבים הם מספרים שבאים זה אחרי זה, וכל אחד גדול ב־1 מהקודם.

הצעיר הוא $n$, ולכן השני הוא $n + 1$ והשלישי $n + 2$. סכום שלושתם הוא 87.

למה לא $n + 2n + 3n = 87$? כאן התייחסו ל"עוקבים" כאילו הם כפולות של $n$ (פי 2, פי 3). אבל המספר הבא גדול ב־1, ולא פי 2.

למה לא $3n = 87$? המשוואה הזו מתאימה אם $n$ הוא הגיל האמצעי: $(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$. אבל בשאלה $n$ הוא הגיל של הצעיר.

למה לא $n + (n + 2) + (n + 4) = 87$? זו משוואה של שלושה מספרים זוגיים (או אי־זוגיים) עוקבים, שההפרש ביניהם 2. כאן ההפרש בין מספרים עוקבים הוא 1.

התשובה: 28, 29 ו־30.

פותרים את המשוואה מסעיף א:

$n + (n + 1) + (n + 2) = 87$

מכנסים איברים דומים:

$3n + 3 = 87$

מחסרים 3 משני האגפים:

$3n = 84$

מחלקים ב־3:

$n = 28$

הגילים: $28$, $28 + 1 = 29$, $28 + 2 = 30$.

בדיקה: $28 + 29 + 30 = 87$ ✓

דרך נוספת: במספרים עוקבים, המספר האמצעי הוא הממוצע של השלושה: $87 : 3 = 29$. לכן הגילים הם 28, 29, 30.

טעות נפוצה: לעצור אחרי $n = 28$ ולכתוב רק גיל אחד.

התשובה הנכונה: רביעי.

משווים בכל יום את העמודה של הבנים לעמודה של הבנות. רק ביום רביעי העמודה של הבנים גבוהה יותר: 10 בנים לעומת 7 בנות.

למה לא ראשון? העמודות קרובות בגובהן, אבל הבנות גבוהות יותר: 9 בנות לעומת 8 בנים.

למה לא שני? ביום שני ההפרש הוא הגדול ביותר (13 לעומת 5), אבל לטובת הבנות.

למה לא חמישי? ביום חמישי 12 בנות ו־6 בנים בלבד. מי שבוחר בתשובה הזו כנראה התבלבל בין צבעי העמודות.

התשובה: 50%.

ביום שלישי עמדו ביעד 6 בנים ו־9 בנות: $6 + 9 = 15$ תלמידים.

בכיתה 30 תלמידים, ולכן השכיחות היחסית היא:

$\frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%$

טעויות נפוצות: לכתוב 15% (מספר התלמידים במקום האחוז); או לחשב רק את הבנות ($\frac{9}{16}$) או רק את הבנים ($\frac{6}{14}$).

התשובה הנכונה: 10.

מספרי הבנות שעמדו ביעד: ראשון 9, שני 13, שלישי 9, רביעי 7, חמישי 12.

הסכום: $9 + 13 + 9 + 7 + 12 = 50$

הממוצע: $50 : 5 = 10$

למה לא 9? 9 הוא החציון של הנתונים (בסדר עולה: 7, 9, 9, 12, 13 – האמצעי הוא 9), וגם השכיח (מופיע פעמיים). זה לא הממוצע.

למה לא 13? 13 הוא הנתון הגדול ביותר (יום שני), ולא הממוצע.

למה לא 50? 50 הוא הסכום של כל הנתונים. שכחו לחלק במספר הימים (5).

התשובה הנכונה: $x \le 7$.

$2x + 1 \le 15$

מחסרים 1 משני האגפים: $2x \le 14$

מחלקים ב־2 (מספר חיובי, ולכן סימן אי־השוויון לא משתנה): $x \le 7$

למה לא $x \ge 7$? כאן הפכו את סימן אי־השוויון בלי סיבה. הופכים את הסימן רק כשכופלים או מחלקים במספר שלילי.

למה לא $x \le 8$? כאן הוסיפו 1 במקום לחסר: $2x \le 16$.

למה לא $x \le 14$? שכחו לחלק ב־2 את שני האגפים.

התשובה: כל שני מספרים שונים מבין 4, 5, 6, 7. יש כמה תשובות נכונות.

פותרים את אי־שוויון (2):

$4x - 3 > 9$

מוסיפים 3 לשני האגפים: $4x > 12$

מחלקים ב־4: $x > 3$

לפי סעיף א, אי־שוויון (1) נותן $x \le 7$.

שני התנאים יחד: $3 < x \le 7$. המספרים השלמים שמקיימים את שניהם: 4, 5, 6, 7.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "4 ו־7.

$x = 4$: $2 \cdot 4 + 1 = 9 \le 15$ ✓, $4 \cdot 4 - 3 = 13 > 9$ ✓

$x = 7$: $2 \cdot 7 + 1 = 15 \le 15$ ✓, $4 \cdot 7 - 3 = 25 > 9$ ✓"

שימו לב:

• 3 אינו מתאים: $4 \cdot 3 - 3 = 9$, ו־9 אינו גדול מ־9.

• 7 מתאים: $2 \cdot 7 + 1 = 15$, וסימן $\le$ כולל את השוויון.

• 8 אינו מתאים: $2 \cdot 8 + 1 = 17 > 15$.

התשובה הנכונה: $k = \frac{1}{2}$.

הנקודה $(4, 3)$ נמצאת על הישר, ולכן מציבים $x = 4$ ו־$y = 3$ במשוואה:

$3 = k \cdot 4 + 1$

$3 - 1 = 4k$

$2 = 4k$

$k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

בדיקה: $\frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3$ ✓

למה לא 1? כאן הוסיפו 1 במקום לחסר: $4k = 3 + 1 = 4$, ולכן $k = 1$. בדיקה: $1 \cdot 4 + 1 = 5 \neq 3$.

למה לא 2? כאן חילקו הפוך: $4 : 2 = 2$ במקום $2 : 4$. מ־$4k = 2$ מקבלים $k = \frac{2}{4}$.

למה לא 8? כאן כפלו $2 \cdot 4$ במקום לחלק. בדיקה: $8 \cdot 4 + 1 = 33 \neq 3$.

התשובה: הישר $y = \frac{1}{2}x + 1$.

איך מסרטטים:

• כש־$x = 0$: $y = 1$. הנקודה $(0, 1)$ – החיתוך עם ציר ה־y.

• הנקודה $(4, 3)$ נתונה בשאלה.

• עוד נקודות לבדיקה: $x = 2$: $y = 1 + 1 = 2$, הנקודה $(2, 2)$. $x = -2$: $y = -1 + 1 = 0$, הנקודה $(-2, 0)$ – החיתוך עם ציר ה־x.

• מסמנים שתיים או שלוש נקודות ומחברים אותן בקו ישר לכל אורך מערכת הצירים.

שיפוע $\frac{1}{2}$ פירושו: בכל 2 משבצות ימינה הישר עולה משבצת אחת.

הוכחה לדוגמה (ציון מלא):

1. $AB = AC$ – נתון.

2. $BM = CM$ – M היא אמצע הצלע BC (AM תיכון).

3. $AM = AM$ – צלע משותפת לשני המשולשים.

לכן $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ לפי משפט החפיפה צלע־צלע־צלע (צ.צ.צ.): שלוש צלעות שוות בהתאמה.

שימו לב: אין צורך לדעת אף זווית. טעות נפוצה היא להשתמש בטענה "$\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$" – זה מה שמוכיחים בסעיף ב, ולכן אי אפשר להניח אותו כאן.