מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2015) – תרגול לקראת מבחן התנופה בכיתה ט'

התשובה: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

לקובייה 6 פאות, ולכל פאה אותו סיכוי לצאת.

המספרים הזוגיים על הקובייה: 4, 6, 6, 6 – כלומר 4 פאות.

ההסתברות = מספר הפאות הזוגיות חלקי מספר כל הפאות:

$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

שימו לב: סופרים פאות, ולא מספרים שונים. 6 כתוב על שלוש פאות, ולכן נספר שלוש פעמים.

התשובה: 6.

הסתברות של $\frac{1}{2}$ פירושה חצי מהפאות, כלומר 3 פאות מתוך 6.

המספר 6 כתוב על 3 פאות, ולכן ההסתברות לקבל 6 היא $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

לכל מספר אחר (1, 4 או 5) יש רק פאה אחת, וההסתברות שלו היא $\frac{1}{6}$.

התשובה הנכונה: $y=-2x+8$.

מהסרטוט: $A(0, 8)$ ו-$B(4, 0)$.

נקודת החיתוך עם ציר y היא $(0, 8)$, ולכן $b=8$.

השיפוע: $m=\frac{0-8}{4-0}=\frac{-8}{4}=-2$.

(הישר יורד, ולכן השיפוע שלילי.)

משוואת הישר: $y=-2x+8$.

בדיקה: ב-$x=4$ מקבלים $y=-8+8=0$ ✓

למה לא $y=-4x+8$? כאן לקחו את נקודת החיתוך עם ציר x (4) כאילו היא השיפוע. השיפוע הוא השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x, כלומר $-8:4=-2$.

למה לא $y=-8x+4$? כאן החליפו בין המספרים: 4 הוא החיתוך עם ציר x ולא עם ציר y, ו-8 הוא לא השיפוע.

למה לא $y=-2x+4$? השיפוע נכון, אבל המספר החופשי הוא החיתוך עם ציר y, כלומר 8, ולא 4 (שהוא החיתוך עם ציר x).

התשובה: $AB=\sqrt{80}\approx8.94$ יחידות אורך.

הצירים מאונכים זה לזה, ולכן המשולש AOB (O היא ראשית הצירים) הוא משולש ישר-זווית, והקטע AB הוא היתר שלו.

הניצבים: $OA=8$, $OB=4$.

לפי משפט פיתגורס:

$AB^2=4^2+8^2$

$AB^2=16+64$

$AB^2=80$

$AB=\sqrt{80}\approx8.94$

תשובה לדוגמה לציון מלא: הכתיבה $AB^2=4^2+8^2=80$ ואז $AB=\sqrt{80}$ (או 8.94).

הבודק מחפש: תרגיל או משוואה נכונים לפי משפט פיתגורס, והמשך חישוב נכון.

התשובה: עמודה שגובהה 3 (3 תלמידים) מעל הציון 100.

קוראים מהדיאגרמה כמה תלמידים קיבלו כל ציון:

50 – 2 תלמידים, 60 – 8, 70 – 8, 80 – 10, 90 – 9.

$2+8+8+10+9=37$

בכיתה 40 תלמידים, ולכן קיבלו 100: $40-37=3$ תלמידים.

התשובה הנכונה: 25%.

ציון נמוך מ-70 הוא 50 או 60 (ציון 70 עצמו אינו נמוך מ-70).

$2+8=10$ תלמידים.

מתוך 40 תלמידים: $\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=25\%$.

למה לא 45%? כאן ספרו גם את 8 התלמידים שקיבלו בדיוק 70: $\frac{18}{40}=45\%$. אבל 70 אינו נמוך מ-70.

למה לא 10%? 10 הוא מספר התלמידים, ולא האחוז. צריך לחלק במספר כל התלמידים (40).

למה לא 5%? כאן ספרו רק את התלמידים שקיבלו 50 ($\frac{2}{40}=5\%$), ושכחו את אלה שקיבלו 60.

התשובה: הממוצע יגדל ב-0.5 נקודה (חצי נקודה).

הסבר 1: אחרי התיקון, סכום כל הציונים גדל ב-$80-60=20$ נקודות.

את הסכום מחלקים ב-40 תלמידים, ולכן הממוצע גדל ב-$20:40=0.5$ נקודה.

הסבר 2 – מחשבים את שני הממוצעים:

סכום הציונים לפני התיקון:

$50\cdot2+60\cdot8+70\cdot8+80\cdot10+90\cdot9+100\cdot3=100+480+560+800+810+300=3050$

הממוצע לפני התיקון: $3050:40=76.25$

אחרי התיקון הסכום הוא $3050+20=3070$, והממוצע: $3070:40=76.75$

$76.75-76.25=0.5$

תשובה לדוגמה לציון מלא: "ב-0.5. סכום הציונים גדל ב-20, ויש 40 תלמידים, אז הממוצע גדל ב-$20:40=0.5$."

הבודק מחפש: התשובה 0.5 ונימוק (השינוי בסכום חלקי מספר התלמידים, או חישוב של שני הממוצעים).

התשובה הנכונה: $1:6$.

לפי סדר הקדקודים: D מתאים ל-A, O מתאים ל-O, ו-C מתאים ל-B.

לכן הצלע DO מתאימה לצלע AO.

$DO=4$ (המרחק מ-$(-4, 0)$ לראשית), $AO=24$.

יחס הדמיון: $DO:AO=4:24=1:6$.

למה לא $6:1$? זה היחס של המשולש AOB למשולש DOC – בסדר הפוך. השאלה מבקשת את היחס של DOC ל-AOB, ו-DOC הוא המשולש הקטן.

למה לא $3:4$? זה היחס בין שתי צלעות של אותו משולש ($OC:OD$), ולא בין צלעות מתאימות בשני המשולשים.

למה לא $3:24$? כאן התאימו את OC לצלע OA, אבל לפי סדר הקדקודים OC מתאימה ל-OB, ולא ל-OA.

התשובה: $B(18, 0)$.

הצלע OC מתאימה לצלע OB, ויחס הדמיון הוא $1:6$. לכן OB ארוכה פי 6 מ-OC.

$OC=3$, ולכן $OB=3\cdot6=18$.

B נמצאת על ציר x בצד החיובי, ולכן $B(18, 0)$.

התשובה: $3x+4y=37$.

x דפי מדבקות, כל אחד ב-3 ש"ח: $3x$ ש"ח.

y גלויות, כל אחת ב-4 ש"ח: $4y$ ש"ח.

יחד שילמה 37 ש"ח: $3x+4y=37$.

התשובה: שלושה פתרונות.

x ו-y הם מספרים של פריטים, ולכן הם מספרים שלמים. מיכל קנתה גם מדבקות וגם גלויות, ולכן כל אחד מהם לפחות 1.

מנסים כל ערך של y ובודקים אם הנשאר מתחלק ב-3:

• $y=1$: $37-4=33$, $33:3=11$ ✓

• $y=2$: $37-8=29$ – לא מתחלק ב-3 ✗

• $y=3$: $37-12=25$ ✗

• $y=4$: $37-16=21$, $21:3=7$ ✓

• $y=5$: $37-20=17$ ✗

• $y=6$: $37-24=13$ ✗

• $y=7$: $37-28=9$, $9:3=3$ ✓

• $y=8$: $37-32=5$ ✗

• $y=9$: $4\cdot9=36$, נשאר 1 ✗. מ-$y=10$ כבר $4y>37$.

לכן יש בדיוק שלושה פתרונות.

התשובה: 1.2 מ'.

נפח תיבה = שטח הבסיס × הגובה.

שטח הבסיס (ריבוע): $5\cdot5=5^2=25$ מ"ר.

$25\cdot h=30$

$h=30:25=1.2$ מ'.

בדיקה: $5\cdot5\cdot1.2=25\cdot1.2=30$ ✓

התשובה: 5 מ"ק בדקה.

לפי הגרף, בהתחלה (בזמן 0) היו בבריכה 30 מ"ק, ואחרי 6 דקות הבריכה ריקה (0 מ"ק).

הגרף הוא קו ישר, ולכן הקצב קבוע.

בכל דקה יצאו: $30:6=5$ מ"ק.

אפשר לראות זאת גם בגרף: בכל דקה הקו יורד ב-5 (למשל, אחרי 2 דקות נשארו 20 מ"ק).

התשובה: $\angle A=112^\circ$, $\angle B=32^\circ$, $\angle ACB=36^\circ$; $\angle E=112^\circ$, $\angle D=32^\circ$, $\angle ECD=36^\circ$.

במשולשים חופפים, זוויות מתאימות שוות. לפי סדר הקדקודים: A מתאים ל-E, B מתאים ל-D, ו-C מתאים ל-C.

• $\angle A=\angle E=112^\circ$

• $\angle D=\angle B=32^\circ$

• סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$: $\angle ACB=180^\circ-112^\circ-32^\circ=36^\circ$, ובאותו אופן $\angle ECD=36^\circ$.

התשובה: $BC=CD$ כי במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות (B מתאים ל-D ו-C מתאים ל-C).

התיכון AK חוצה את BC, ולכן $KC=\frac{1}{2}BC$. התיכון ET חוצה את CD, ולכן $CT=\frac{1}{2}CD$.

חצאים של קטעים שווים שווים זה לזה, ולכן $KC=CT$.

(הסרטוט של התיכונים מופיע בסרטוט של סעיף א.)

התשובה: המשולשים חופפים לפי משפט החפיפה צלע-זווית-צלע.

1. $KC=CT$ – הוכחנו בסעיף ב1.

2. $\angle ACK=\angle ECT=36^\circ$ – מצאנו בסעיף א ($\angle ACK$ היא $\angle ACB$, ו-$\angle ECT$ היא $\angle ECD$).

3. $AC=EC$ – צלעות מתאימות במשולשים החופפים ABC ו-EDC.

הזווית C נמצאת בין שתי הצלעות בכל משולש, ולכן $\triangle AKC\cong\triangle ETC$ לפי צלע-זווית-צלע.

הסבר אחר: התיכונים AK ו-ET שווים, כי במשולשים חופפים תיכונים מתאימים שווים. אז במשולשים AKC ו-ETC: $AK=ET$, $KC=CT$, $AC=EC$, והם חופפים לפי צלע-צלע-צלע.

הבודק מחפש: שלוש טענות נכונות (שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות) ואת שם משפט החפיפה.

התשובה: טענה 1 אינה נכונה, טענה 2 נכונה, טענה 3 נכונה.

קודם מזהים את הגרפים: שלומית רכבה במהירות קבועה, ולכן הגרף שלה הוא קו ישר אחד (העליון). הגרף של יצחק מורכב משני קטעים, עם "שבירה" ב-13:00.

1. אינה נכונה. שני הגרפים נפגשים ב-14:00, במרחק 105 ק"מ. שניהם יצאו ב-9:00, ולכן שניהם רכבו 5 שעות עד המפגש – אותו זמן בדיוק.

2. נכונה. אחרי 3 שעות (ב-12:00) הגרף של יצחק נמצא מתחת לגרף של שלומית, כלומר הוא עבר מרחק קטן יותר והיה קרוב יותר לטבריה. (בחישוב: יצחק $18\cdot3=54$ ק"מ, שלומית $21\cdot3=63$ ק"מ.)

3. נכונה. מ-13:00 הקו של יצחק תלול יותר מהקו של שלומית, כלומר הוא רוכב מהר יותר. ב-14:00 הם באותו מקום (105 ק"מ), ואם ימשיכו כך יצחק יתקדם מהר יותר ויגיע ראשון ל-200 ק"מ.

התשובה: 21 קמ"ש.

שלומית רכבה 105 ק"מ מ-9:00 עד 14:00, כלומר 5 שעות.

מהירות = דרך : זמן

$105:5=21$ קמ"ש.

התשובה: 18 קמ"ש.

נסמן ב-x את המהירות של יצחק בחלק הראשון (בקמ"ש).

בחלק הראשון רכב מ-9:00 עד 13:00, כלומר 4 שעות, ועבר $4x$ ק"מ.

בחלק השני רכב מ-13:00 עד 14:00, שעה אחת, במהירות $x+15$, ועבר $x+15$ ק"מ.

בסך הכול עבר 105 ק"מ:

$4x+(x+15)=105$

$5x+15=105$

$5x=90$

$x=18$

בדיקה: $4\cdot18=72$ ק"מ בחלק הראשון, ועוד $18+15=33$ ק"מ בחלק השני: $72+33=105$ ✓

תשובה לדוגמה לציון מלא: המשוואה $4x+x+15=105$, הפתרון $x=18$, והתשובה 18 קמ"ש.

הבודק מחפש: משוואה נכונה ופתרון נכון שלה.