מבדק במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2024, טופס ב') – תרגול לקראת מבחן התנופה בכיתה ט'

סכום שלוש הזוויות במשולש הוא $180^\circ$:

$\angle C=180^\circ-110^\circ-35^\circ=35^\circ$

התשובה: כן, הבסיס הוא $BC$.

מסעיף א: $\angle B=\angle C=35^\circ$. במשולש, הצלעות שמול זוויות שוות שוות זו לזו:

• מול $\angle B$ נמצאת $AC$.

• מול $\angle C$ נמצאת $AB$.

לכן $AB=AC$ – אלה השוקיים. הבסיס הוא הצלע שבין שתי זוויות הבסיס $\angle B$ ו-$\angle C$, כלומר $BC$ (היא גם הצלע שמול הזווית הגדולה $\angle A$).

למה לא $AB$? $AB$ נמצאת מול $\angle C$, שהיא זווית בסיס – לכן $AB$ היא שוק. מי שבוחר $AB$ חושב אולי שהבסיס הוא הצלע שבין שתי הזוויות הנתונות בשאלה ($\angle A$ ו-$\angle B$), אבל הזוויות השוות הן $\angle B$ ו-$\angle C$.

למה לא $AC$? $AC$ נמצאת מול $\angle B$, גם היא זווית בסיס – לכן $AC$ היא השוק השנייה.

בזמן העצירה בספרייה מאיה לא זזה, ולכן הגרף אופקי. העצירה הראשונה בגרף היא בין דקה 20 לדקה 40, בגובה 1000 מטרים.

לכן הספרייה נמצאת 1000 מטרים מהבית של מאיה.

הבריכה היא המקום הרחוק ביותר מהבית: 1500 מטרים.

הגרף נמצא בגובה 1500 מטרים מדקה 50 עד דקה 100.

$100-50=50$ דקות.

התשובה הנכונה: את הרגע שבו מאיה יצאה מהספרייה.

הנקודה $A$ היא $(40,1000)$. לפניה יש קטע אופקי בגובה 1000 מטרים – מאיה עומדת בספרייה. מהנקודה $A$ הגרף מתחיל לעלות – מאיה ממשיכה ללכת ומתרחקת מהבית. כלומר $A$ היא סוף העצירה בספרייה – הרגע שבו יצאה ממנה.

למה לא "הגיעה לספרייה"? היא הגיעה לספרייה בדקה 20, בתחילת הקטע האופקי, ולא בסופו.

למה לא "הגיעה לבריכה"? ההגעה לבריכה היא בדקה 50, בגובה 1500 מטרים.

למה לא "יצאה מהבריכה"? היציאה מהבריכה היא בדקה 100, כשהגרף מתחיל לרדת.

התשובה: 1 – שגויה; 2 – נכונה; 3 – שגויה.

טענה 1: מחשבים מהירות (מרחק חלקי זמן):

• מהבית אל הספרייה: 1000 מטרים ב-20 דקות: $1000:20=50$ מטרים לדקה.

• מהספרייה אל הבריכה: $1500-1000=500$ מטרים, מדקה 40 עד דקה 50, כלומר ב-10 דקות: $500:10=50$ מטרים לדקה.

המהירויות שוות, ולכן מאיה לא הלכה מהר יותר. שגויה.

טענה 2: מאיה חזרה הביתה (מרחק 0) בדקה 120. $120$ דקות הן שעתיים. נכונה.

טענה 3: מהבית אל הספרייה מאיה הלכה 50 מטרים לדקה (טענה 1). בדרך חזרה היא עברה 1500 מטרים ב-20 דקות (מדקה 100 עד דקה 120): $1500:20=75$ מטרים לדקה – יותר מ-50. הקטע המהיר ביותר הוא הדרך חזרה מהבריכה (הקטע התלול ביותר בגרף), ולא הדרך אל הספרייה. שגויה.

מאיה יצאה מהבריכה (1500 מטרים מהבית) בדקה 100, והגיעה הביתה בדקה 120.

המהירות שלה בדרך חזרה: $1500:20=75$ מטרים לדקה.

מהבריכה לספרייה יש $1500-1000=500$ מטרים.

הזמן שלקח לה: $500:75=6\frac{2}{3}$ דקות, כלומר 6 דקות ו-40 שניות.

היא עברה ליד הספרייה $100+6\frac{2}{3}=106\frac{2}{3}$ דקות אחרי היציאה – שעה, 46 דקות ו-40 שניות.

$9:00$ ועוד שעה ו-46 דקות זה בערך $10:46$.

בקריאה מהגרף: הקו היורד עובר בגובה 1000 מטרים בין דקה 105 לדקה 110, כלומר בין 10:45 ל-10:50.

$EH$ חוצה את $\angle FEG$, כלומר מחלקת אותה לשתי זוויות שוות: $\angle FEH=\angle HEG$.

לפי הסרטוט $\angle FEH=50^\circ$, ולכן $\angle HEG=50^\circ$.

התשובה: $\alpha=100^\circ$.

$\angle FEG=\angle FEH+\angle HEG=50^\circ+50^\circ=100^\circ$.

הזווית $\alpha$ נמצאת בנקודה שבה $t$ חותך את $m$, מתחת ל-$m$ ומשמאל ל-$t$.

הזווית $\angle FEG$ נמצאת בנקודה שבה $t$ חותך את $n$, גם היא מתחת לישר ($n$) ומשמאל ל-$t$.

אלה זוויות מתאימות, וכאשר הישרים מקבילים ($m\parallel n$) זוויות מתאימות שוות. לכן $\alpha=100^\circ$.

נימוק אחר: הזווית הקודקודית ל-$\angle FEG$ (מעל $n$, מימין ל-$t$) היא $100^\circ$, והיא ו-$\alpha$ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, ולכן שוות.

מה הבודק מחפש: $100^\circ$ ונימוק שמבוסס על זוויות בין ישרים מקבילים.

התשובה הנכונה: $-\frac{1}{2}$.

שיפוע = השינוי ב-$y$ חלקי השינוי ב-$x$.

כשעוברים מ-$A$ ל-$C$, $x$ גדל ב-6 (האורך של $AB$), ו-$y$ יורד ב-3 (האורך של $BC$).

$m=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$

בשיעורים: $A(2,6)$, $C(8,3)$: $m=\frac{3-6}{8-2}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$.

למה לא $-2$? זו טעות של היפוך: $6:3=2$, כלומר האורך האופקי חולק באורך האנכי. בשיפוע מחלקים את השינוי האנכי בשינוי האופקי.

למה לא $\frac{1}{2}$? החלוקה נכונה, אבל שכחו שהגרף יורד, ולכן השיפוע שלילי.

למה לא $2$? גם החלוקה הפוכה וגם הסימן חסר.

התשובה: $x<14$.

הפונקציה חיובית במקומות שבהם הגרף נמצא מעל ציר ה-$x$ ($y>0$).

הגרף חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $x=14$. משמאל לה הוא מעל הציר, ומימין לה – מתחת לציר.

לכן הפונקציה חיובית כאשר $x<14$.

בדיקה: משוואת הישר היא $y=-\frac{1}{2}x+7$. $-\frac{1}{2}\cdot14+7=0$ ✓.

התשובה: $\triangle RST$ ו-$\triangle UVW$.

• $\triangle RST$: הצלע $RS=7$ ס"מ, ושתי הזוויות שלידה הן $\angle R=30^\circ$ ו-$\angle S=80^\circ$.

• $\triangle UVW$: ידועות $\angle U=30^\circ$ ו-$\angle W=70^\circ$. מחשבים את הזווית השלישית: $\angle V=180^\circ-30^\circ-70^\circ=80^\circ$. הצלע $UV=7$ ס"מ נמצאת בין $\angle U=30^\circ$ ו-$\angle V=80^\circ$.

בשני המשולשים יש צלע של 7 ס"מ ולידה זוויות של $30^\circ$ ו-$80^\circ$, ולכן הם חופפים.

• $\triangle DEF$: הזוויות שלו הן גם $30^\circ$, $80^\circ$ ו-$70^\circ$, אבל הצלע של 7 ס"מ היא $EF$ – מול הזווית של $30^\circ$, ולא בין $30^\circ$ ל-$80^\circ$. לכן הוא אינו חופף לשניים האחרים.

התשובה הנכונה: זווית, צלע, זווית.

בשני המשולשים ידועות צלע ($7$ ס"מ) ושתי הזוויות שצמודות אליה ($30^\circ$ ו-$80^\circ$) – זה משפט ז.צ.ז.

למה לא צלע, זווית, צלע? צריך לשם כך שתי צלעות ידועות, ובכל משולש ידועה רק צלע אחת.

למה לא צלע, צלע, צלע? צריך לשם כך את שלוש הצלעות, ולא ידועים לנו אורכי הצלעות האחרות.

שתי הנקודות נמצאות על ציר ה-$y$, ולכן שיעור ה-$x$ שלהן הוא 0.

$A$ על הגרף של $y=-1.5x+9$: $y=-1.5\cdot0+9=9$, ולכן $A(0,9)$.

$B$ על הגרף של $y=1.5x-9$: $y=1.5\cdot0-9=-9$, ולכן $B(0,-9)$.

התשובה: $C(6,0)$.

דרך 1 – $C$ היא נקודת החיתוך של שני הגרפים, ולכן משווים:

$1.5x-9=-1.5x+9$

$3x=18$

$x=6$

$y=1.5\cdot6-9=9-9=0$, ולכן $C(6,0)$.

דרך 2 – $C$ נמצאת על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$1.5x-9=0$

$1.5x=9$

$x=6$

התשובה: כן, $AC=BC$.

הוכחה בעזרת חפיפת משולשים:

• $AO=BO$ – האורך של כל אחד מהקטעים הוא 9 יחידות.

• $\angle AOC=\angle BOC=90^\circ$ – ציר ה-$x$ מאונך לציר ה-$y$.

• $OC$ – צלע ששייכת לשני המשולשים.

מכאן ש-$\triangle BOC\cong\triangle AOC$ לפי משפט צ.ז.צ, ולכן $BC=AC$, כי במשולשים חופפים הצלעות המתאימות שוות.

הוכחה בעזרת משולש שווה-שוקיים: $CO\perp AB$, ו-$AO=BO$. הקטע $CO$ הוא גם גובה וגם תיכון לצלע $AB$ במשולש $ABC$, ולכן המשולש שווה-שוקיים ו-$AC=BC$.

הוכחה בעזרת משפט פיתגורס: $AC^2=9^2+6^2=117$ וגם $BC^2=9^2+6^2=117$, ולכן $AC=BC$.

למה לא "לא"? השיפועים $1.5$ ו-$-1.5$ נגדיים, והגרפים חותכים את ציר ה-$y$ ב-9 וב-$-9$, במרחקים שווים מ-$O$. לכן המשולש סימטרי ביחס לציר ה-$x$.

התשובה: 54 יחידות שטח.

הצלע $AB$ נמצאת על ציר ה-$y$, מ-9 עד $-9$: $AB=9+9=18$.

הגובה לצלע $AB$ הוא $CO=6$ (המרחק של $C$ מציר ה-$y$).

$S_{CAB}=\frac{AB\cdot CO}{2}=\frac{18\cdot6}{2}=54$

או: $S_{AOC}+S_{BOC}=\frac{9\cdot6}{2}+\frac{9\cdot6}{2}=27+27=54$.

התשובה: $(-6,-1)$ – אינה יכולה; $(3,2)$ – אינה יכולה; $(2,-3)$ – יכולה.

לפי הסרטוט $A(-4,2)$. בישר יורד, ככל ש-$x$ גדל, $y$ קטן (השיפוע שלילי).

• $(-6,-1)$: משמאל ל-$A$ ונמוכה ממנה, כלומר הולכים ימינה ועולים. שיפוע: $\frac{-1-2}{-6-(-4)}=\frac{-3}{-2}=1.5>0$ – ישר עולה. אינה יכולה.

• $(3,2)$: באותו גובה כמו $A$ ($y=2$). הישר אופקי, שיפוע 0. אינה יכולה.

• $(2,-3)$: מימין ל-$A$ ונמוכה ממנה. שיפוע: $\frac{-3-2}{2-(-4)}=\frac{-5}{6}<0$. יכולה.

התשובה: השיפוע הוא $-2$.

$A(-4,2)$, $B(0,-6)$:

$m=\frac{-6-2}{0-(-4)}=\frac{-8}{4}=-2$

אפשר גם בעזרת מדרגה: מ-$A$ ל-$B$ זזים 4 יחידות ימינה ו-8 יחידות למטה: $-8:4=-2$.

התשובה: ח5.

ח5: $\frac{30}{100}\cdot40=12$ תלמידים שרים במקהלה.

ח6: $\frac{25}{100}\cdot36=9$ תלמידים שרים במקהלה (רבע מ-36).

$12>9$, ולכן מכיתה ח5 שרים יותר תלמידים.

למה לא ח6? כדי להשוות צריך לחשב את מספר הזמרים בכל כיתה – בח6 יש גם פחות תלמידים וגם אחוז נמוך יותר.

התשובה הנכונה: 3.

בח5 שרים 12 תלמידים, והמספר לא השתנה.

בסוף השנה גם מח6 שרים 12 תלמידים. בתחילת השנה שרו מח6 רק 9.

לכן נוספו $12-9=3$ זמרים.

למה לא 4? זה ההפרש בין מספרי התלמידים בשתי הכיתות ($40-36=4$), ולא בין מספרי הזמרים.

למה לא 9? זה מספר הזמרים מח6 לפני שנוספו התלמידים החדשים.

למה לא 12? זה מספר הזמרים מח6 בסוף השנה, ולא מספר הזמרים שנוספו.

התשובה: 48 תלמידים.

בסוף השנה שרים במקהלה 12 תלמידים מח6, והם 25% – כלומר רבע – מהכיתה.

אם רבע מהכיתה הוא 12 תלמידים, כל הכיתה היא $12\cdot4=48$ תלמידים.

במשוואה: $\frac{25}{100}\cdot x=12$, ולכן $x=12\cdot4=48$.

בדיקה: רבע מ-48 הוא 12 ✓. (נוספו $48-36=12$ תלמידים, ו-3 מהם שרים במקהלה.)

המשולש שווה-שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שלו שוות: $\angle PQR=\angle PRQ=72^\circ$.

$\angle Q_1$ צמודה ל-$\angle PQR$ (שתיהן יחד על הישר $SR$), ולכן:

$\angle Q_1=180^\circ-72^\circ=108^\circ$

הוכחה:

1. $PQ=PR$ – נתון.

2. $\angle PQR=\angle PRQ$ – זוויות בסיס במשולש שווה-שוקיים.

3. $\angle PQS=\angle PRT$ $(=108^\circ)$ – זוויות צמודות לזוויות שוות שוות.

4. $SQ=RT$ – נתון.

מכאן $\triangle PQS\cong\triangle PRT$ לפי צלע, זווית, צלע (הזווית $\angle PQS$ נמצאת בין $PQ$ ל-$QS$, והזווית $\angle PRT$ בין $PR$ ל-$RT$).

מה הבודק מחפש: שלוש טענות החפיפה, נימוק לשוויון הזוויות, ושם משפט החפיפה (צ.ז.צ).

התשובה: $x=-2$, $y=1$.

מציבים את $y=4x+9$ במשוואה השנייה:

$2x+(4x+9)=-3$

$6x+9=-3$

$6x=-12$

$x=-2$

מציבים $x=-2$ במשוואה הראשונה:

$y=4\cdot(-2)+9=-8+9=1$

בדיקה במשוואה השנייה: $2\cdot(-2)+1=-4+1=-3$ ✓

התשובה הנכונה: סרטוט ג.

מבודדים את $y$ במשוואה השנייה: $2x+y=-3\Rightarrow y=-2x-3$.

• $y=4x+9$: $m=4>0$, ולכן הישר עולה; $b=9>0$, ולכן הוא חותך את ציר ה-$y$ מעל הראשית.

• $y=-2x-3$: $m=-2<0$, ולכן הישר יורד; $b=-3<0$, ולכן הוא חותך את ציר ה-$y$ מתחת לראשית.

רק בסרטוט ג הישר העולה חותך את ציר ה-$y$ מעל הראשית והישר היורד חותך אותו מתחתיה.

גם נקודת החיתוך מתאימה: לפי סעיף א היא $(-2,1)$ – משמאל לציר ה-$y$ ומעל ציר ה-$x$, כמו בסרטוט ג.

למה לא סרטוט א? שני הישרים בו עולים, אבל $y=-2x-3$ יורד.

למה לא סרטוט ב? גם בו אחד הישרים עולה והשני יורד, אבל המקומות של נקודות החיתוך עם ציר ה-$y$ התחלפו: היורד פוגש את ציר ה-$y$ בערך חיובי, והעולה – בערך שלילי. בנוסף, הישרים נפגשים מימין לציר ה-$y$, ולא משמאלו.

למה לא סרטוט ד? שני הישרים בו יורדים, אבל $y=4x+9$ עולה.

מה הבודק מחפש: סימון סרטוט ג, והסבר שמתייחס לשיפוע ולנקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ של שני הישרים (או למיקום נקודת החיתוך $(-2,1)$).