מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2011) – תרגול לקראת מבחן התנופה בכיתה ט'

דרך 1: מחלקים את שני האגפים ב-3:

$x+4=27:3=9$

מחסירים 4 משני האגפים:

$x=9-4=5$

דרך 2: פותחים סוגריים:

$3x+12=27$

$3x=27-12=15$

$x=15:3=5$

בדיקה: $3\cdot(5+4)=3\cdot9=27$ ✓

התשובה הנכונה: $\frac{12}{31}$.

הסתברות = מספר התוצאות המתאימות חלקי מספר כל התוצאות האפשריות.

כל אחת מ-31 הגולות יכולה לצאת, ולכן יש 31 תוצאות אפשריות.

12 מהגולות ירוקות, ולכן יש 12 תוצאות מתאימות.

ההסתברות: $\frac{12}{31}$.

למה לא $\frac{12}{19}$? 19 הוא מספר הגולות שאינן ירוקות ($31-12=19$). כאן השוו את הירוקות לגולות האחרות, ולא לכל הגולות שבשקית.

למה לא $\frac{1}{19}$? גם כאן חילקו במספר הגולות שאינן ירוקות, ובנוסף ספרו רק גולה ירוקה אחת במקום 12.

למה לא $\frac{1}{31}$? זו ההסתברות לשלוף גולה מסוימת אחת. אבל יש 12 גולות ירוקות, וכל אחת מהן מתאימה.

התשובה: $PR$.

במשולשים חופפים, מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.

במשולש $KLM$, הצלע שמול הזווית $L$ היא $KM$, והאורך שלה 11 ס"מ.

במשולש $PQR$, הצלע שמול הזווית $Q$ (השווה לזווית $L$) היא $PR$.

לכן $PR=KM=11$ ס"מ.

(אפשר גם להשוות את הצורות: $Q$ מתאים ל-$L$, ושתי הצלעות שיוצאות מ-$Q$ מתאימות לצלעות 14 ס"מ ו-8 ס"מ. הצלע שנשארה, $PR$, מתאימה לצלע של 11 ס"מ.)

מציבים $x=-11$ במשוואה:

$-11+3y=4$

מוסיפים 11 לשני האגפים:

$3y=4+11=15$

מחלקים ב-3:

$y=15:3=5$

בדיקה: $-11+3\cdot5=-11+15=4$ ✓

התשובה הנכונה: $2:5$.

היחס בין הבוחרים בצפון לבוחרים בדרום הוא $14:35$.

מחלקים את שני המספרים ב-7 (המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם):

$14:7=2$, $35:7=5$

לכן היחס הוא $2:5$.

למה לא $21:1$? 21 הוא ההפרש בין הקבוצות ($35-14=21$). ההפרש אומר בכמה תלמידים קבוצה אחת גדולה מהשנייה, ולא מה היחס ביניהן.

למה לא $\frac{21}{35}$? גם כאן השתמשו בהפרש 21 במקום במספר הבוחרים בצפון (14).

למה לא $\frac{14}{49}$? 49 הוא מספר כל התלמידים שענו ($14+35=49$). זה החלק של הבוחרים בצפון מכל הכיתה, ולא היחס בין הבוחרים בצפון לבוחרים בדרום.

התשובה הנכונה: $-4x=-11$.

במשוואה $-4x=-11$, מספר שלילי ($-4$) כפול $x$ נותן מספר שלילי ($-11$). מכפלה של שני מספרים היא שלילית רק כשהסימנים שלהם שונים, ולכן $x$ חייב להיות חיובי. (אכן $x=\frac{11}{4}=2.75$.)

למה לא $\frac{x}{7}=0$? מנה שווה ל-0 רק כשהמונה הוא 0, ולכן $x=0$. אפס אינו מספר חיובי.

למה לא $\frac{x}{-15}=1$? המנה חיובית (1) והמחלק שלילי ($-15$), ולכן גם $x$ שלילי ($x=-15$).

למה לא $-0.25x=6$? מספר שלילי כפול $x$ נותן מספר חיובי, ולכן $x$ שלילי ($x=-24$).

התשובה: זוג 1 לא דומים, זוג 2 דומים, זוג 3 דומים.

משולשים דומים אם יש להם שתי זוויות שוות (ואז גם הזווית השלישית שווה).

זוג 1: במשולש הגדול הזוויות הן $65^\circ$, $40^\circ$, והשלישית $180^\circ-65^\circ-40^\circ=75^\circ$.

במשולש הקטן הזוויות הן $70^\circ$, $40^\circ$, והשלישית $180^\circ-70^\circ-40^\circ=70^\circ$.

הזוויות $65^\circ,40^\circ,75^\circ$ שונות מ-$70^\circ,40^\circ,70^\circ$. יש רק זווית אחת משותפת ($40^\circ$), ולכן המשולשים לא דומים.

זוג 2: הזווית של $124^\circ$ היא זווית חיצונית. הזווית הפנימית שצמודה לה היא $180^\circ-124^\circ=56^\circ$.

במשולש השמאלי (הגדול): $90^\circ$, $56^\circ$, והשלישית $180^\circ-90^\circ-56^\circ=34^\circ$.

במשולש הימני (הקטן): $90^\circ$ ו-$34^\circ$.

לשני המשולשים יש זווית ישרה וזווית של $34^\circ$, ולכן הם דומים.

זוג 3: הזווית העליונה משותפת לשני המשולשים. בנוסף, במשולש הקטן יש זווית של $65^\circ$, וגם במשולש הגדול יש זווית של $65^\circ$.

שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים. (שימו לב: הזוויות של $65^\circ$ אינן "באותו מקום" בשני המשולשים, אבל זה לא משנה. מה שקובע הוא שיש שתי זוויות שוות.)

כופלים את שני האגפים במכנה המשותף $15x$ (או כופלים "בהצלבה"):

$5(x+6)=2\cdot3x$

$5x+30=6x$

מחסירים $5x$ משני האגפים:

$30=x$

לכן $x=30$.

בדיקה: $\frac{30+6}{3\cdot30}=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}$ ✓

התשובה הנכונה: גרף ב.

מוצאים את נקודות החיתוך של הישר $y=x+4$ עם הצירים:

• עם ציר ה-$y$ ($x=0$): $y=0+4=4$, כלומר הנקודה $(0,4)$.

• עם ציר ה-$x$ ($y=0$): $0=x+4$, ולכן $x=-4$, כלומר הנקודה $(-4,0)$.

בנוסף, השיפוע הוא 1 (חיובי), ולכן הישר עולה משמאל לימין.

רק בגרף ב הישר עולה, חותך את ציר ה-$y$ ב-4 ואת ציר ה-$x$ ב-$-4$.

למה לא גרף א? נקודת החיתוך עם ציר ה-$x$ נכונה ($-4$), אבל הישר חותך את ציר ה-$y$ ב-$-4$ ויורד. זה הגרף של $y=-x-4$.

למה לא גרף ג? זה הגרף של $y=x-4$: הסימן של המספר 4 התהפך.

למה לא גרף ד? נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ נכונה (4), אבל הישר יורד וחותך את ציר ה-$x$ ב-4. זה הגרף של $y=-x+4$.

התשובה הנכונה: משולש ג.

לפי משפט פיתגורס, ריבוע היתר שווה לסכום הריבועים של הניצבים.

במשולש ג הניצבים הם 2 ס"מ ו-5 ס"מ:

$c^2=2^2+5^2=4+25=29$

$c=\sqrt{29}$ ס"מ.

למה לא משולש ב? $20^2+21^2=400+441=841=29^2$, ולכן היתר שלו הוא 29 ס"מ ולא $\sqrt{29}$ ס"מ.

למה לא משולש א? $9+20=29$: כאן חיברו את הניצבים עצמם, בלי להעלות אותם בריבוע. היתר האמיתי הוא $\sqrt{9^2+20^2}=\sqrt{481}$ ס"מ.

למה לא משולש ד? הספרות 2 ו-9 "יוצרות" את המספר 29, אבל זה לא חישוב. היתר האמיתי הוא $\sqrt{2^2+9^2}=\sqrt{85}$ ס"מ.

התשובה: לא, הטענה אינה נכונה.

כדי להראות שטענה על כל המשולשים אינה נכונה, מספיק למצוא משולש אחד שאינו מקיים אותה.

דוגמה: משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו $40^\circ$.

זוויות הבסיס שוות זו לזו, ויחד הן $180^\circ-40^\circ=140^\circ$, כלומר כל אחת מהן $140^\circ:2=70^\circ$.

זוויות המשולש: $40^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$. כאן זווית הראש ($40^\circ$) קטנה מזוויות הבסיס ($70^\circ$).

דוגמאות נכונות נוספות: כל משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו $60^\circ$ או פחות, למשל $60^\circ,60^\circ,60^\circ$ (משולש שווה-צלעות) או $20^\circ,80^\circ,80^\circ$.

למה לא "כן"? יש משולשים שווי-שוקיים שבהם זווית הראש גדולה מזוויות הבסיס (למשל $100^\circ,40^\circ,40^\circ$), אבל לא בכולם.

משוואת ישר היא מהצורה $y=ax+b$.

מציאת השיפוע $a$:

$a=\frac{10-1}{1-(-2)}=\frac{9}{3}=3$

(דרך נוספת: מ-$A$ ל-$B$ זזים 3 יחידות ימינה ועולים 9 יחידות, כלומר בכל יחידה ימינה עולים 3.)

מציאת $b$: מציבים את הנקודה $B(1,10)$ במשוואה $y=3x+b$:

$10=3\cdot1+b$

$b=7$

(אפשר להציב גם את $A(-2,1)$: $1=3\cdot(-2)+b$, $1=-6+b$, $b=7$.)

דרך נוספת למציאת המשוואה: $y-y_1=a(x-x_1)$ עם הנקודה $B$:

$y-10=3(x-1)$

$y=3x-3+10=3x+7$

משוואת הישר: $y=3x+7$.

בדיקה: $A$: $3\cdot(-2)+7=1$ ✓; $B$: $3\cdot1+7=10$ ✓

דרך 1 (הצבה של ביטוי): לפי המשוואה השנייה, הביטוי $2y-5$ שווה ל-$x$. מציבים $x$ במקומו במשוואה הראשונה:

$\frac{x}{3}-2x=10$

כופלים את שני האגפים ב-3:

$x-6x=30$

$-5x=30$

$x=-6$

מציאת הנעלם השני: מציבים $x=-6$ במשוואה השנייה:

$2y-5=-6$

$2y=-1$

$y=-0.5$

בדיקה במשוואה הראשונה: $\frac{2\cdot(-0.5)-5}{3}-2\cdot(-6)=\frac{-6}{3}+12=-2+12=10$ ✓

בדיקה במשוואה השנייה: $2\cdot(-0.5)-5=-1-5=-6=x$ ✓

דרך 2 (גרפית): מבודדים $y$ בכל משוואה. מהמשוואה השנייה $y=\frac{x+5}{2}$, ומהראשונה $2y-5=6x+30$, כלומר $y=3x+17.5$. משרטטים את שני הישרים לפי טבלאות ערכים, ונקודת החיתוך שלהם היא $(-6,-0.5)$. בודקים בהצבה בשתי המשוואות.