מבדק במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2024) – תרגול לקראת מבחן התנופה בכיתה ט'

סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$:

$\angle B=180^\circ-40^\circ-100^\circ=40^\circ$

התשובה: כן, והבסיס הוא $AB$.

לפי סעיף א, $\angle A=\angle B=40^\circ$. במשולש, מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות:

• מול $\angle A$ נמצאת הצלע $BC$.

• מול $\angle B$ נמצאת הצלע $AC$.

לכן $BC=AC$, והמשולש שווה-שוקיים. השוקיים הן $BC$ ו-$AC$, והבסיס הוא הצלע השלישית – $AB$ (הצלע שמחברת את שתי הזוויות השוות, זוויות הבסיס).

למה לא $BC$? $BC$ היא אחת השוקיים – היא נמצאת מול הזווית $\angle A$, שהיא אחת מזוויות הבסיס.

למה לא $AC$? גם $AC$ היא שוק – היא נמצאת מול $\angle B$. מי שבוחר $AC$ חושב אולי שהבסיס מחבר את שתי הזוויות הנתונות ($\angle A$ ו-$\angle C$), אבל הזוויות השוות הן $\angle A$ ו-$\angle B$.

בגרף יש שני קטעים אופקיים – בהם נועם לא זז. הקטע האופקי הראשון (בין דקה 20 לדקה 30) הוא העצירה במאפייה.

הקטע הזה נמצא בגובה 800 מטרים. לכן המרחק בין הבית של נועם ובין המאפייה הוא 800 מטרים.

הבית של יואב הוא המקום הרחוק ביותר מהבית של נועם: 1200 מטרים.

נועם נמצא במרחק 1200 מטרים מדקה 40 עד דקה 80 (קטע אופקי – הוא לא זז).

$80-40=40$ דקות.

התשובה הנכונה: את הרגע שבו נועם הגיע לבית של יואב.

הנקודה $A$ היא $(40,1200)$. לפניה הגרף עולה – נועם מתרחק מהבית. ממנה מתחיל קטע אופקי בגובה 1200 מטרים – נועם נשאר במקום, אצל יואב. לכן $A$ היא הרגע שבו נועם סיים ללכת והגיע לבית של יואב.

למה לא "הגיע למאפייה"? נועם הגיע למאפייה אחרי 20 דקות, במרחק 800 מטרים – בתחילת הקטע האופקי הראשון, ולא ב-$A$.

למה לא "יצא מהמאפייה"? הוא יצא מהמאפייה אחרי 30 דקות, בסוף הקטע האופקי הראשון (עדיין בגובה 800 מטרים).

למה לא "יצא מהבית של יואב"? היציאה מהבית של יואב היא בסוף הקטע האופקי השני (דקה 80), שם הגרף מתחיל לרדת. $A$ נמצאת בתחילת הקטע הזה.

התשובה: 1 – נכונה; 2 – נכונה; 3 – לא נכונה.

טענה 1: נועם יצא בדקה 0 וחזר הביתה (מרחק 0) בדקה 100. 100 דקות הן 60 דקות ועוד 40 דקות, כלומר שעה ו-40 דקות. נכונה.

טענה 2: מהירות = מרחק חלקי זמן.

• מהבית אל המאפייה: 800 מטרים ב-20 דקות: $800:20=40$ מטרים לדקה.

• מהמאפייה אל הבית של יואב: מ-800 ל-1200 מטרים, כלומר 400 מטרים, בין דקה 30 לדקה 40, כלומר ב-10 דקות: $400:10=40$ מטרים לדקה.

המהירויות שוות. נכונה. (בגרף רואים זאת גם כך: שני הקטעים העולים תלולים באותה מידה.)

טענה 3: בדרך חזרה נועם עבר 1200 מטרים ב-20 דקות (מדקה 80 עד דקה 100): $1200:20=60$ מטרים לדקה. זה יותר מ-40 מטרים לדקה. הקטע המהיר ביותר הוא הדרך חזרה הביתה (הקטע התלול ביותר בגרף), ולא הדרך אל המאפייה. לא נכונה.

בדרך חזרה נועם יצא מהבית של יואב (1200 מטרים מהבית) בדקה 80, והגיע הביתה בדקה 100.

המהירות שלו בדרך חזרה: $1200:20=60$ מטרים לדקה.

המאפייה נמצאת 800 מטרים מהבית, כלומר $1200-800=400$ מטרים מהבית של יואב.

הזמן שלקח לו ללכת 400 מטרים: $400:60=6\frac{2}{3}$ דקות, כלומר 6 דקות ו-40 שניות.

לכן הוא עבר ליד המאפייה $80+6\frac{2}{3}=86\frac{2}{3}$ דקות אחרי שיצא מהבית – שעה, 26 דקות ו-40 שניות.

$16:00$ ועוד שעה ו-26 דקות זה בערך $17:26$.

אפשר גם לקרוא מהגרף: הקו היורד עובר בגובה 800 מטרים בין דקה 85 לדקה 90, כלומר בין 17:25 ל-17:30.

חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות.

$KM$ חוצה את $\angle PKL$, ולכן $\angle MKL=\angle PKM=55^\circ$.

התשובה: $\alpha=110^\circ$.

קודם מחשבים את $\angle PKL$. היא מורכבת משתי הזוויות השוות מסעיף א:

$\angle PKL=55^\circ+55^\circ=110^\circ$

עכשיו משווים את $\alpha$ ל-$\angle PKL$:

• $\alpha$ נמצאת בנקודת החיתוך של $c$ עם $a$: בין החלק השמאלי של $a$ ובין החלק של $c$ שיורד למטה.

• $\angle PKL$ נמצאת בנקודת החיתוך של $c$ עם $b$: בין החלק השמאלי של $b$ (הקרן $KP$) ובין החלק של $c$ שיורד למטה (הקרן $KL$).

שתי הזוויות באותו מקום ביחס לישר החותך ולישר שלהן – אלה זוויות מתאימות. זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו, ולכן $\alpha=\angle PKL=110^\circ$.

נימוק אחר: הזווית הקודקודית ל-$\angle PKL$ (מעל $b$, מימין ל-$c$) שווה גם היא ל-$110^\circ$, והיא ו-$\alpha$ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, ולכן הן שוות.

מה הבודק מחפש: גודל הזווית $110^\circ$ ונימוק שמסתמך על זוויות בין ישרים מקבילים (מתאימות, או מתחלפות עם התייחסות לזווית הקודקודית של $\angle PKL$).

התשובה הנכונה: $-\frac{1}{3}$.

השיפוע אומר בכמה משתנה $y$ כש-$x$ גדל ב-1.

מ-$A$ ל-$C$: $x$ גדל ב-6 (אורך $AB$), ו-$y$ קטן ב-2 (אורך $BC$). כלומר $y$ משתנה ב-$-2$.

$m=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$

לפי השיעורים: $A(3,5)$, $C(9,3)$, ולכן $m=\frac{3-5}{9-3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$.

הגרף יורד משמאל לימין, ולכן השיפוע שלילי.

למה לא $-3$? כאן חילקו את השינוי ב-$x$ בשינוי ב-$y$ ($6:2$) – הפוך. שיפוע הוא השינוי ב-$y$ חלקי השינוי ב-$x$.

למה לא $\frac{1}{3}$? היחס בין הצלעות נכון, אבל הסימן שגוי: הגרף יורד, ולכן השיפוע שלילי.

למה לא $3$? גם החלוקה הפוכה וגם הסימן שגוי.

התשובה: $x<18$.

פונקציה חיובית פירושה $y>0$: החלק של הגרף שנמצא מעל ציר ה-$x$.

לפי הסרטוט, הגרף חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $x=18$. משמאל לנקודה הזו הגרף מעל ציר ה-$x$, ומימין לה – מתחתיו.

לכן הפונקציה חיובית כאשר $x<18$.

בדיקה בחישוב: משוואת הישר היא $y=-\frac{1}{3}x+6$ (הוא חותך את ציר ה-$y$ ב-6). $-\frac{1}{3}x+6=0$ כאשר $x=18$ ✓.

התשובה: $\triangle STU$ ו-$\triangle ZXY$.

בכל משולש בודקים איפה נמצאת הצלע של 5 ס"מ ביחס לזוויות הידועות.

• $\triangle STU$: $\angle S=50^\circ$, $\angle T=70^\circ$, והצלע $ST=5$ ס"מ נמצאת בין שתי הזוויות.

• $\triangle ZXY$: נתונות $\angle Z=50^\circ$ ו-$\angle Y=60^\circ$. הזווית השלישית: $\angle X=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$. הצלע $ZX=5$ ס"מ נמצאת בין $\angle Z=50^\circ$ ובין $\angle X=70^\circ$.

כלומר, בשני המשולשים האלה יש צלע של 5 ס"מ ושתי הזוויות שלידה הן $50^\circ$ ו-$70^\circ$. הם חופפים.

• $\triangle PQR$: גם בו הזוויות הן $50^\circ$, $70^\circ$ ו-$60^\circ$, אבל הצלע של 5 ס"מ היא $QR$, שנמצאת מול הזווית של $50^\circ$ ולא בין $50^\circ$ ל-$70^\circ$. לכן הוא אינו חופף להם.

התשובה הנכונה: זווית, צלע, זווית.

בשני המשולשים ידועות צלע אחת ושתי הזוויות שצמודות אליה: $50^\circ$, 5 ס"מ, $70^\circ$. זה בדיוק משפט החפיפה זווית, צלע, זווית (ז.צ.ז).

למה לא צלע, צלע, צלע? במשולשים ידועה רק צלע אחת, ולא שלוש.

למה לא צלע, זווית, צלע? למשפט הזה צריך שתי צלעות והזווית שביניהן, אבל ידועה רק צלע אחת.

$A$ ו-$B$ נמצאות על ציר ה-$y$, ולכן בשתיהן $x=0$.

$A$: מציבים $x=0$ ב-$y=-0.75x+6$: $y=0+6=6$, ולכן $A(0,6)$.

$B$: מציבים $x=0$ ב-$y=0.75x-6$: $y=0-6=-6$, ולכן $B(0,-6)$.

(אפשר גם לזכור: המספר החופשי $b$ במשוואה $y=mx+b$ הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$.)

התשובה: $C(8,0)$.

דרך 1 – נקודת החיתוך של שני הישרים: ב-$C$ ערכי ה-$y$ של שתי הפונקציות שווים:

$0.75x-6=-0.75x+6$

$0.75x+0.75x=6+6$

$1.5x=12$

$x=8$

מציבים: $y=0.75\cdot8-6=6-6=0$, ולכן $C(8,0)$.

דרך 2 – לפי הסרטוט $C$ נמצאת על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$ בה. מציבים באחת המשוואות:

$0.75x-6=0$

$0.75x=6$

$x=8$

התשובה: כן, $AC=BC$.

הוכחה 1 (תכונות משולש שווה-שוקיים):

• $CO\perp AB$, כי ציר ה-$x$ מאונך לציר ה-$y$.

• $AO=BO=6$ (האורך של כל אחד מהקטעים הוא 6 יחידות).

• משולש שבו הגובה לצלע הוא גם תיכון לאותה צלע הוא משולש שווה-שוקיים. לכן $\triangle ABC$ שווה-שוקיים, ו-$AC=BC$.

הוכחה 2 (חפיפת משולשים):

• $AO=BO=6$.

• $\angle AOC=\angle BOC=90^\circ$ (הצירים מאונכים).

• $CO$ צלע משותפת למשולשים $AOC$ ו-$BOC$.

לכן $\triangle AOC\cong\triangle BOC$ לפי משפט החפיפה צלע, זווית, צלע, ו-$AC=BC$ (צלעות מתאימות במשולשים חופפים).

הוכחה 3 (משפט פיתגורס): במשולשים ישרי-הזווית $AOC$ ו-$BOC$:

$AC^2=6^2+8^2=100$, $BC^2=6^2+8^2=100$, ולכן $AC=BC=10$.

למה לא "לא"? בסרטוט הישרים נראים שונים (אחד עולה ואחד יורד), אבל השיפועים שלהם נגדיים ($0.75$ ו-$-0.75$) והם חותכים את ציר ה-$y$ במרחקים שווים מ-$O$, ולכן המשולש סימטרי ביחס לציר ה-$x$.

התשובה: 48 יחידות שטח.

בוחרים את $AB$ כבסיס. $AB$ נמצא על ציר ה-$y$: מ-$6$ עד $-6$, ולכן $AB=6+6=12$.

הגובה לבסיס $AB$ הוא המרחק של $C$ מציר ה-$y$: $CO=8$.

$S_{CAB}=\frac{AB\cdot CO}{2}=\frac{12\cdot8}{2}=\frac{96}{2}=48$

דרך נוספת: סכום השטחים של שני המשולשים ישרי-הזווית $AOC$ ו-$BOC$: $\frac{6\cdot8}{2}+\frac{6\cdot8}{2}=24+24=48$.

התשובה: $(5,3)$ – אינה יכולה; $(4,-1)$ – יכולה; $(-5,1)$ – אינה יכולה.

לפי הסרטוט $A(-2,3)$. ישר יורד: כשמתקדמים ימינה ($x$ גדל), $y$ קטן. כלומר השיפוע שלילי.

• $(5,3)$: ל-$A$ ול-$(5,3)$ אותו שיעור $y$ (3). הישר ביניהן אופקי (שיפוע 0) – לא עולה ולא יורד. אינה יכולה.

• $(4,-1)$: הנקודה מימין ל-$A$ ונמוכה ממנה. שיפוע: $\frac{-1-3}{4-(-2)}=\frac{-4}{6}<0$. יכולה.

• $(-5,1)$: הנקודה משמאל ל-$A$ ונמוכה ממנה, כלומר מ-$(-5,1)$ ימינה אל $A$ הישר עולה. שיפוע: $\frac{1-3}{-5-(-2)}=\frac{-2}{-3}>0$. אינה יכולה.

התשובה: השיפוע הוא $-3$.

$A(-2,3)$, $B(0,-3)$.

$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-3-3}{0-(-2)}=\frac{-6}{2}=-3$

דרך נוספת – "מדרגה" בסרטוט: מ-$A$ אל $B$ מתקדמים 2 יחידות ימינה ויורדים 6 יחידות למטה. $-6:2=-3$.

השיפוע שלילי, כמו שצריך לישר יורד ✓.

במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולכן $\angle ABC=\angle ACB=65^\circ$.

$\angle B_1$ ו-$\angle ABC$ הן זוויות צמודות (יחד הן יוצרות את הזווית השטוחה $DBC$), ולכן סכומן $180^\circ$:

$\angle B_1=180^\circ-65^\circ=115^\circ$

הוכחה:

1. $AB=AC$ – נתון (המשולש $ABC$ שווה-שוקיים).

2. $\angle ABC=\angle ACB=65^\circ$ – זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות.

3. $\angle ABD=\angle ACE$ $(=115^\circ)$ – זוויות שצמודות לזוויות שוות שוות זו לזו.

4. $DB=CE$ – נתון.

לכן $\triangle ABD\cong\triangle ACE$ לפי משפט החפיפה צלע, זווית, צלע (הזווית נמצאת בין שתי הצלעות: $\angle ABD$ בין $AB$ ל-$BD$, ו-$\angle ACE$ בין $AC$ ל-$CE$).

מה הבודק מחפש: שלוש הטענות לחפיפה ($AB=AC$, $\angle ABD=\angle ACE$, $DB=CE$), נימוק לשוויון הזוויות (זוויות צמודות לזוויות שוות), ומשפט החפיפה צ.ז.צ.

התשובה: ח3.

ח3: $\frac{25}{100}\cdot36=9$ תלמידים משתתפים בחוג שחמט (25% הם רבע: $36:4=9$).

ח4: $\frac{20}{100}\cdot35=7$ תלמידים משתתפים בחוג שחמט (20% הם חמישית: $35:5=7$).

$9>7$, ולכן בכיתה ח3 משתתפים יותר תלמידים.

למה לא ח4? בכיתה ח4 יש כמעט אותו מספר תלמידים, אבל האחוז נמוך יותר, ולכן מספר המשתתפים קטן יותר. לא מספיק להשוות רק את מספרי התלמידים בכיתות או רק את האחוזים – צריך לחשב.

התשובה הנכונה: 2.

בכיתה ח3 לא השתנה דבר, ולכן משתתפים בה 9 תלמידים (מסעיף א).

בסוף השנה מספר המשתתפים בח4 שווה לזה של ח3, כלומר 9.

בתחילת השנה השתתפו בח4 רק 7 תלמידים, ולכן הצטרפו $9-7=2$ משתתפים חדשים.

למה לא 1? זה ההפרש בין מספרי התלמידים בכיתות ($36-35=1$), ולא ההפרש בין מספרי המשתתפים בחוג.

למה לא 7? זה מספר המשתתפים בח4 לפני שהתלמידים החדשים הצטרפו.

למה לא 9? זה מספר המשתתפים בח4 בסוף השנה (כמו בח3), ולא מספר המשתתפים שהצטרפו.

התשובה: 45 תלמידים.

בסוף השנה משתתפים בחוג 9 תלמידים מח4, והם 20% מהכיתה.

20% הם $\frac{1}{5}$, כלומר 9 תלמידים הם חמישית מהכיתה.

מספר התלמידים בכיתה: $9\cdot5=45$.

דרך אחרת: נסמן ב-$x$ את מספר התלמידים. $\frac{20}{100}\cdot x=9$, ולכן $x=9\cdot\frac{100}{20}=45$.

בדיקה: $20\%$ מ-45 הם $45:5=9$ ✓. (הצטרפו $45-35=10$ תלמידים, ו-2 מהם משתתפים בחוג.)

התשובה: $x=-3$, $y=1$.

מציאת הנעלם הראשון (שיטת ההצבה): במשוואה הראשונה $y$ כבר מבודד. מציבים $3x+10$ במקום $y$ במשוואה השנייה:

$x+(3x+10)=-2$

$4x+10=-2$

$4x=-12$