מבחן מיצ"ב לדוגמה 1 במתמטיקה לכיתה ט' - עם פתרונות מלאים

התשובה: $2.4 \cdot 10^6$.

בכתיב מדעי כותבים מספר בצורה $a \cdot 10^n$, כש־$a$ הוא מספר שגדול מ־1 או שווה לו וקטן מ־10.

מזיזים את הנקודה העשרונית שמאלה עד שמתקבל מספר בין 1 ל־10: מ־2,400,000 מתקבל 2.4. הזזנו את הנקודה 6 מקומות, ולכן החזקה היא $10^6$:

$2{,}400{,}000 = 2.4 \cdot 1{,}000{,}000 = 2.4 \cdot 10^6$

טעויות נפוצות: $24 \cdot 10^5$ – הערך נכון, אבל 24 גדול מ־10, ולכן זה אינו כתיב מדעי; $2.4 \cdot 10^5$ – טעות בספירת המקומות (זה רק 240,000).

התשובה הנכונה: 400.

מחלקים את כמות החשמל שהתחנה מייצרת בכמות שצורך משק בית אחד:

$\frac{2.4 \cdot 10^6}{6 \cdot 10^3} = \frac{2.4}{6} \cdot \frac{10^6}{10^3} = 0.4 \cdot 10^{6-3} = 0.4 \cdot 10^3 = 400$

(בחילוק חזקות עם אותו בסיס מחסרים את המעריכים.)

דרך נוספת – בלי כתיב מדעי: $6 \cdot 10^3 = 6{,}000$, ו־$2{,}400{,}000 : 6{,}000 = 2{,}400 : 6 = 400$.

בדיקה: $400 \cdot 6{,}000 = 2{,}400{,}000$ ✓

למה לא 4,000? $\frac{2.4}{6}$ הוא $0.4$ ולא 4. מי שכתב $4 \cdot 10^3$ קיבל תוצאה גדולה פי 10: $4{,}000 \cdot 6{,}000 = 24{,}000{,}000$.

למה לא 40? חילקו את המעריכים ($6 : 3 = 2$) במקום לחסר אותם, וקיבלו $0.4 \cdot 10^2 = 40$. הכלל הנכון: $10^6 : 10^3 = 10^{6-3} = 10^3$.

למה לא $1.44 \cdot 10^{10}$? זו המכפלה $2.4 \cdot 10^6 \cdot 6 \cdot 10^3$ – כפלו במקום לחלק. מספר משקי הבית לא יכול להיות גדול מכמות החשמל עצמה.

התשובה הנכונה: 3.

יש 20 תלמידים, כלומר 20 נתונים. כשמסדרים אותם מהקטן לגדול, החציון הוא הממוצע של שני הנתונים האמצעיים – הנתון ה־10 והנתון ה־11.

סופרים לפי הטבלה:

• קליעה אחת – 2 תלמידים: הנתונים ה־1 וה־2.

• 2 קליעות – 4 תלמידים: הנתונים ה־3 עד ה־6.

• 3 קליעות – 5 תלמידים: הנתונים ה־7 עד ה־11.

הנתון ה־10 והנתון ה־11 הם שניהם 3, ולכן החציון הוא $\frac{3 + 3}{2} = 3$.

למה לא 4? 4 קליעות הן התוצאה השכיחה ביותר (6 תלמידים) – זה השכיח, ולא החציון.

למה לא 5? 5 הוא המספר האמצעי בשורה "מספר התלמידים" (2, 4, 5, 6, 3). אבל החציון נקבע לפי הנתונים עצמם – מספרי הקליעות – ולא לפי השכיחויות.

למה לא 3.2? זה הממוצע של מספר הקליעות (ראו סעיף ב), ולא החציון.

התשובה הנכונה: 3.2.

שלב 1 – מחשבים את מספר הקליעות של כל התלמידים יחד (כל מספר קליעות כפול מספר התלמידים שקלעו אותו):

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 = 2 + 8 + 15 + 24 + 15 = 64$

שלב 2 – מחלקים במספר התלמידים:

$\frac{64}{20} = 3.2$

למה לא 12.8? חילקו את 64 ב־5 (מספר העמודות בטבלה) במקום ב־20 (מספר התלמידים). ממוצע של מספר קליעות מתוך 5 זריקות לא יכול להיות גדול מ־5.

למה לא 4? זה השכיח. אפשר לקבל 4 גם אם מחשבים את הממוצע של השורה "מספר התלמידים": $20 : 5 = 4$ – אבל זה ממוצע של השכיחויות, ולא של הקליעות.

למה לא 3? זה החציון (סעיף א), או המספר האמצעי בשורה "מספר הקליעות". הממוצע לוקח בחשבון כמה תלמידים קלעו כל מספר.

התשובה: הממוצע גדל, החציון לא משתנה, השכיח לא משתנה. לכן יעל צודקת רק לגבי הממוצע.

• הממוצע: עכשיו יש 21 תלמידים, וסך הקליעות הוא $64 + 5 = 69$.

$\frac{69}{21} \approx 3.29$, וזה יותר מ־3.2 – הממוצע גדל.

(נתון שגדול מהממוצע תמיד מעלה את הממוצע.)

• החציון: יש 21 נתונים, ולכן החציון הוא הנתון האמצעי – הנתון ה־11. לפי הספירה מסעיף א, הנתונים ה־7 עד ה־11 הם 3 (התוצאה החדשה, 5, נמצאת בסוף הרשימה). לכן החציון נשאר 3.

• השכיח: 4 קליעות עדיין מופיעות הכי הרבה פעמים (6 תלמידים). מספר התלמידים שקלעו 5 עלה ל־4 בלבד. השכיח נשאר 4.

טעות נפוצה: לחשוב שכל נתון גבוה "מושך" את כל המדדים למעלה. הממוצע מושפע מכל נתון, אבל החציון תלוי רק במיקום האמצעי, והשכיח – רק בנתון שמופיע הכי הרבה פעמים.

התשובה: אחרי 4 שעות – 70%, אחרי 5 שעות – 85%.

בודקים בכמה עולה הטעינה בכל שעה:

$25 - 10 = 15$, $40 - 25 = 15$, $55 - 40 = 15$

הטעינה עולה ב־15% בכל שעה. לכן:

אחרי 4 שעות: $55 + 15 = 70$

אחרי 5 שעות: $70 + 15 = 85$

התשובה הנכונה: $y = 15x + 10$.

בפונקציה קווית $y = mx + b$:

• $m$ הוא קצב השינוי – בכמה $y$ עולה כש־$x$ עולה ב־1. לפי סעיף א, $m = 15$.

• $b$ הוא הערך של $y$ כש־$x = 0$ – הטעינה בתחילת הטעינה. לפי הטבלה, $b = 10$.

לכן $y = 15x + 10$.

בדיקה: $x = 3$: $15 \cdot 3 + 10 = 45 + 10 = 55$ ✓

למה לא $y = 10x + 15$? החליפו בין קצב השינוי לבין ערך ההתחלה. הכלל הזה מתאים במקרה ל־$x = 1$ ($10 + 15 = 25$), אבל לא לשאר הטבלה: עבור $x = 0$ מתקבל 15 ולא 10, ועבור $x = 2$ מתקבל 35 ולא 40. צריך לבדוק כלל ביותר מנקודה אחת.

למה לא $y = 15x$? הקצב נכון, אבל שכחו שהסוללה לא הייתה ריקה בהתחלה: עבור $x = 0$ מתקבל 0 ולא 10.

למה לא $y = x + 15$? הוסיפו את 15 במקום לכפול בו. עבור $x = 1$ מתקבל 16 ולא 25.

התשובה: הגרף הוא קטע ישר מהנקודה $(0, 10)$ עד הנקודה $(6, 100)$; הסוללה טעונה במלואה אחרי 6 שעות.

איך מסרטטים:

• מסמנים את הנקודות מהטבלה: $(0, 10)$, $(1, 25)$, $(2, 40)$, $(3, 55)$, $(4, 70)$, $(5, 85)$.

• כל הנקודות נמצאות על ישר אחד (הקצב קבוע), ולכן מחברים אותן בקו ישר.

• ממשיכים את הישר עד שהוא מגיע לגובה 100.

מתי הסוללה מלאה – בחישוב:

$15x + 10 = 100$

$15x = 90$

$x = 6$

או בעזרת הטבלה: אחרי 5 שעות הטעינה היא 85%, ובשעה נוספת היא עולה ב־15% ומגיעה ל־$85 + 15 = 100$.

התשובה הנכונה: 160,000 סמ"ק.

נפח של תיבה = אורך · רוחב · גובה:

$80 \cdot 50 \cdot 40 = 4{,}000 \cdot 40 = 160{,}000$ סמ"ק

(זה 160 ליטר, כי ליטר אחד הוא 1,000 סמ"ק.)

למה לא 18,400 סמ"ק? זה שטח הפנים של תיבה סגורה: $2 \cdot (80 \cdot 50 + 80 \cdot 40 + 50 \cdot 40) = 2 \cdot (4{,}000 + 3{,}200 + 2{,}000) = 18{,}400$. שטח פנים נמדד בסמ"ר, ולא בסמ"ק, והשאלה שואלת על נפח.

למה לא 170 סמ"ק? זה הסכום של שלוש המידות: $80 + 50 + 40 = 170$. בנפח כופלים את המידות, ולא מחברים אותן.

למה לא 16,000 סמ"ק? טעות במספר האפסים: $8 \cdot 5 \cdot 4 = 160$, ובמספרים 80, 50 ו־40 יש שלושה אפסים, ולכן התוצאה היא 160,000 ולא 16,000.

התשובה: 14,400 סמ"ר.

מחשבים את השטח של כל אחת מהפאות שצובעים:

• הקרקעית (80 על 50): $80 \cdot 50 = 4{,}000$ סמ"ר.

• שתי הדפנות הארוכות (80 על 40): $2 \cdot 80 \cdot 40 = 2 \cdot 3{,}200 = 6{,}400$ סמ"ר.

• שתי הדפנות הקצרות (50 על 40): $2 \cdot 50 \cdot 40 = 2 \cdot 2{,}000 = 4{,}000$ סמ"ר.

סך הכול: $4{,}000 + 6{,}400 + 4{,}000 = 14{,}400$ סמ"ר.

דרך נוספת: שטח הפנים של תיבה סגורה הוא 18,400 סמ"ר (ראו סעיף א). מורידים את המכסה החסר, שהוא בגודל הקרקעית: $18{,}400 - 4{,}000 = 14{,}400$ סמ"ר.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "קרקעית $80 \cdot 50 = 4{,}000$, דפנות $2 \cdot 80 \cdot 40 + 2 \cdot 50 \cdot 40 = 6{,}400 + 4{,}000 = 10{,}400$. סך הכול $14{,}400$ סמ"ר."

התשובה הנכונה: לא.

שלב 1 – ההוזלה: 20% מ־250 ₪ הם $\frac{20}{100} \cdot 250 = 50$ ₪.

המחיר במבצע: $250 - 50 = 200$ ₪.

שלב 2 – ההתייקרות: 20% מ־200 ₪ (המחיר החדש) הם $\frac{20}{100} \cdot 200 = 40$ ₪.

המחיר אחרי המבצע: $200 + 40 = 240$ ₪.

$240 \neq 250$, ולכן נועה טועה: הדגם זול ב־10 ₪ מהמחיר המקורי.

דרך נוספת – בעזרת כפל: הוזלה ב־20% היא כפל ב־$0.8$, והתייקרות ב־20% היא כפל ב־$1.2$:

$250 \cdot 0.8 \cdot 1.2 = 250 \cdot 0.96 = 240$ ₪.

למה האחוזים לא "מבטלים" זה את זה? ההוזלה חושבה מתוך 250 ₪, וההתייקרות חושבה מתוך 200 ₪ – סכום קטן יותר. לכן 20% בהתייקרות (40 ₪) הם פחות מ־20% בהוזלה (50 ₪).

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. אחרי הוזלה של 20% המחיר הוא $250 - 50 = 200$ ₪. 20% מ־200 הם 40 ₪, ולכן המחיר החדש הוא 240 ₪ ולא 250 ₪."

למה לא "כן"? מי שעונה כן מחבר ומחסר את האחוזים כאילו הם סכומים בשקלים ($-20\% + 20\% = 0$). אבל כל שינוי באחוזים מחושב מתוך המחיר שהיה באותו רגע, ולכן הסכומים שונים.

התשובה הנכונה: 25%.

המחיר במבצע הוא 200 ₪ (סעיף א). כדי לחזור ל־250 ₪ צריך להוסיף $250 - 200 = 50$ ₪.

מחשבים איזה אחוז הם 50 ₪ מתוך המחיר שבמבצע:

$\frac{50}{200} = 0.25 = 25\%$

בדיקה: 25% מ־200 הם $0.25 \cdot 200 = 50$, ו־$200 + 50 = 250$ ✓

למה לא 20%? זו בדיוק ההתייקרות שבסעיף א – היא מביאה את המחיר רק ל־240 ₪.

למה לא 50%? 50 הוא הסכום בשקלים שצריך להוסיף, ולא האחוז. התייקרות ב־50% הייתה מוסיפה 100 ₪ (מחצית מ־200), והמחיר היה 300 ₪.

למה לא 125%? המחיר המקורי הוא 125% מתוך המחיר שבמבצע ($\frac{250}{200} = 1.25$), כלומר צריך להוסיף 25%. התייקרות ב־125% הייתה מוסיפה 250 ₪, והמחיר היה 450 ₪.

התשובה: בשלב 4 – 21 גפרורים, בשלב 10 – 51 גפרורים.

מכל שלב לשלב הבא מספר הגפרורים גדל ב־5: $11 - 6 = 5$, $16 - 11 = 5$.

(בית חדש צריך 5 גפרורים: רצפה, תקרה, קיר ימני ושני גפרורים לגג. את הקיר השמאלי הוא "שואל" מהבית שלידו.)

שלב 4: $16 + 5 = 21$.

שלב 10: מהשלב הראשון עד השלב העשירי יש 9 הוספות של 5 גפרורים:

$6 + 9 \cdot 5 = 6 + 45 = 51$

התשובה הנכונה: $5n + 1$.

בכל שלב מוסיפים 5 גפרורים, ולכן הביטוי הוא מהצורה $5n + b$.

בשלב הראשון יש 6 גפרורים: $5 \cdot 1 + b = 6$, ולכן $b = 1$.

אפשר להסביר גם לפי הצורה: גפרור אחד לקיר השמאלי של השורה, ועוד 5 גפרורים לכל אחד מ־$n$ הבתים: $1 + 5n$.

בדיקה: שלב 3: $5 \cdot 3 + 1 = 16$ ✓; שלב 10: $5 \cdot 10 + 1 = 51$ ✓

למה לא $6n$? לבית אחד יש 6 גפרורים, אבל כשמחברים בתים הם חולקים קיר. בשלב 2 הביטוי נותן $6 \cdot 2 = 12$, ובפועל יש 11.

למה לא $n + 5$? הביטוי מתאים לשלב 1 ($1 + 5 = 6$), אבל בשלב 2 הוא נותן 7 ולא 11. הוא גדל ב־1 בכל שלב, ולא ב־5.

למה לא $5n + 6$? הוסיפו את מספר הגפרורים של השלב הראשון כקבוע. בשלב 1 הביטוי נותן $5 + 6 = 11$ ולא 6.

התשובה הנכונה: לא.

דרך 1 – משוואה: מחפשים $n$ שעבורו $5n + 1 = 100$:

$5n = 99$

$n = 19.8$

מספר השלב חייב להיות מספר שלם, ולכן אין שלב עם 100 גפרורים בדיוק.

דרך 2 – השלבים הקרובים: בשלב 19 יש $5 \cdot 19 + 1 = 96$ גפרורים, ובשלב 20 יש $5 \cdot 20 + 1 = 101$ גפרורים. 100 נמצא ביניהם, ואין שלב ביניהם.

דרך 3 – ספרת האחדות: $5n$ מסתיים תמיד ב־0 או ב־5, ולכן $5n + 1$ מסתיים תמיד ב־1 או ב־6. המספר 100 מסתיים ב־0, ולכן הוא לא יכול להיות מספר הגפרורים.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. אם $5n + 1 = 100$, אז $n = 19.8$. אין שלב 19.8 – בשלב 19 יש 96 גפרורים ובשלב 20 יש 101."

הוכחה לדוגמה (ציון מלא):

1. $AB = AC$ – נתון.

2. $\angle ABD = \angle ACE$ – במשולש שווה־שוקיים ABC זוויות הבסיס שוות (הן מול השוקיים השוות AC ו־AB).

3. $BD = CE$ – נתון.

לכן $\triangle ABD \cong \triangle ACE$ לפי משפט החפיפה צלע־זווית־צלע (צ.ז.צ.).

שימו לב: במשפט צ.ז.צ. הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות. הזווית $\angle ABD$ נמצאת בין AB ל־BD, והזווית $\angle ACE$ נמצאת בין AC ל־CE – ולכן המשפט מתאים.

הזווית השווה לא נתונה ישירות – צריך לנמק אותה בעזרת התכונה של משולש שווה־שוקיים.

התשובה הנכונה: $AD = AE$.

במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות. הצלע AD נמצאת מול הזווית $\angle B$ במשולש ABD, והצלע AE נמצאת מול הזווית השווה לה, $\angle C$, במשולש ACE. לכן אלה צלעות מתאימות, ו־$AD = AE$.

מכאן שגם המשולש ADE הוא משולש שווה־שוקיים.

למה לא $AD = AB$? AD ו־AB הן צלעות באותו משולש, והחפיפה לא קושרת ביניהן. הצלע המתאימה ל־AB היא AC. בסרטוט AD קצרה מ־AB.

למה לא $BD = DE$? נתון רק ש־$BD = CE$. האורך של DE תלוי במקום של הנקודות, והחפיפה לא אומרת עליו דבר. בסרטוט DE ארוך מ־BD.

למה לא $\angle ADB = 90^\circ$? מהחפיפה נובע רק ש־$\angle ADB = \angle AEC$, אבל לא מה הגודל שלהן. AD הוא גובה רק כש־D היא אמצע BC, ואז D ו־E היו אותה נקודה.

התשובה: כל תוצאה שקטנה מ־22 מטרים או שווה ל־22 מטרים. למשל: 20 מטרים.

לחמש תוצאות, החציון הוא התוצאה השלישית כשמסדרים אותן מהקטנה לגדולה.

כדי ש־22 תהיה במקום השלישי, צריכות להיות לפניה שתי תוצאות. כבר יש אחת (18), ולכן גם התוצאה החמישית צריכה להיות 22 או פחות.

דוגמאות:

• 20: $18, 20, \mathbf{22}, 25, 27$ – החציון 22 ✓

• 15: $15, 18, \mathbf{22}, 25, 27$ – החציון 22 ✓

• 22: $18, 22, \mathbf{22}, 25, 27$ – החציון 22 ✓

אם התוצאה גדולה מ־22, למשל 24: $18, 22, \mathbf{24}, 25, 27$ – החציון 24, ולא 22.

התשובה הנכונה: לא.

שלב 1 – אם הממוצע של 5 תוצאות הוא 23, הסכום שלהן הוא $5 \cdot 23 = 115$.

שלב 2 – הסכום של ארבע התוצאות הידועות: $18 + 22 + 25 + 27 = 92$.

לכן התוצאה החמישית חייבת להיות $115 - 92 = 23$ מטרים.

שלב 3 – מסדרים את חמש התוצאות: $18, 22, \mathbf{23}, 25, 27$. החציון הוא 23 ולא 22.

אי אפשר שהממוצע יהיה 23 וגם החציון 22, ולכן המאמן אינו צודק.

דרך נוספת: לפי סעיף א, כדי שהחציון יהיה 22 התוצאה החמישית צריכה להיות 22 לכל היותר. אז הסכום הוא לכל היותר $92 + 22 = 114$, והממוצע לכל היותר $\frac{114}{5} = 22.8$ – פחות מ־23.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. אם הממוצע 23, הסכום הוא 115, והתוצאה החמישית היא $115 - 92 = 23$. אז התוצאות לפי הסדר הן 18, 22, 23, 25, 27 והחציון הוא 23, לא 22."

למה לא "כן"? מי שעונה כן בודק כל תנאי בנפרד: אפשר לקבל ממוצע 23 (עם התוצאה 23), ואפשר לקבל חציון 22 (עם תוצאה של 22 או פחות). אבל המאמן טוען ששניהם נכונים יחד – ואין תוצאה אחת שמקיימת את שני התנאים.

התשובה הנכונה: 388.4 מ'.

המסלול בנוי משני קטעים ישרים ומשני חצאי עיגולים:

• שני הקטעים הישרים: $2 \cdot 100 = 200$ מ'.

• שני חצאי עיגולים עם אותו קוטר הם יחד עיגול שלם שהקוטר שלו 60 מ'. היקף עיגול הוא $\pi \cdot d$:

$3.14 \cdot 60 = 188.4$ מ'.

סך הכול: $200 + 188.4 = 388.4$ מ'.

(הקווים המקווקווים אינם חלק מהמסלול.)

למה לא 576.8 מ'? חישבו כל חצי עיגול כאילו הוא עיגול שלם: $200 + 2 \cdot 188.4 = 576.8$.

למה לא 320 מ'? זה ההיקף של המלבן, $2 \cdot (100 + 60)$ – ספרו את הקווים המקווקווים במקום את הקשתות.

למה לא 294.2 מ'? השתמשו ברדיוס במקום בקוטר: $200 + 3.14 \cdot 30 = 294.2$. היקף עיגול הוא $\pi \cdot d$, או $2 \cdot \pi \cdot r$.

התשובה: 8,826 מ"ר.

שלב 1 – שטח המלבן: $100 \cdot 60 = 6{,}000$ מ"ר.

שלב 2 – שני חצאי העיגולים הם יחד עיגול שלם. הקוטר 60 מ', ולכן הרדיוס $r = 30$ מ'. שטח עיגול הוא $\pi \cdot r^2$:

$3.14 \cdot 30^2 = 3.14 \cdot 900 = 2{,}826$ מ"ר.

שלב 3 – השטח של כל המגרש: $6{,}000 + 2{,}826 = 8{,}826$ מ"ר.

טעויות נפוצות: להציב את הקוטר במקום הרדיוס ($3.14 \cdot 60^2 = 11{,}304$); לחשב רק חצי עיגול אחד; לחשב $\pi \cdot r \cdot 2$ (זה היקף ולא שטח).

התשובה: $BC = 6.5$ מ'.

שלב 1 – במשולש שווה־שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן M היא אמצע הבסיס AB:

$MB = \frac{12}{2} = 6$ מ'.

שלב 2 – המשולש CMB הוא משולש ישר־זווית (הזווית הישרה ליד M), ו־BC הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

$BC^2 = MB^2 + CM^2$

$BC^2 = 6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$BC = \sqrt{42.25} = 6.5$ מ'.

טעויות נפוצות: להציב את כל הבסיס (12) במקום חצי ממנו – אז מתקבל $\sqrt{144 + 6.25} \approx 12.26$, אורך גדול מכל הבסיס; או לחבר את הניצבים בלי ריבועים: $6 + 2.5 = 8.5$.

התשובה הנכונה: 65 מ"ר.

הצד של הגג הוא מלבן שהצלעות שלו הן $BC = 6.5$ מ' (סעיף א) ו־10 מ':

$6.5 \cdot 10 = 65$ מ"ר.

למה לא 25 מ"ר? השתמשו בגובה הגג, $CM = 2.5$: $2.5 \cdot 10 = 25$. אבל הלוחות מונחים על השיפוע, ולא על הגובה.

למה לא 60 מ"ר? השתמשו במרחק האופקי $MB = 6$: $6 \cdot 10 = 60$. הגג משופע, ולכן הצלע שלו (6.5 מ') ארוכה יותר מהמרחק האופקי.

למה לא 120 מ"ר? השתמשו בכל הבסיס AB: $12 \cdot 10 = 120$. זה רוחב המחסן כולו, ולא צד אחד של הגג.