מבחן מיצ"ב לדוגמה 2 במתמטיקה לכיתה ט' - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: 10.

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. בדיאגרמה הערכים הם מספרי העצים בשורה (על הציר האופקי), והגובה של כל עמודה אומר בכמה שורות מופיע הערך.

העמודה הגבוהה ביותר נמצאת מעל 10, והגובה שלה 7 – כלומר ב־7 שורות יש 10 עצים, יותר מכל מספר עצים אחר. לכן השכיח הוא 10.

למה לא 7? 7 הוא מספר השורות שבהן יש 10 עצים (הגובה של העמודה), ולא הערך עצמו. השכיח הוא הערך, ולא מספר הפעמים שהוא מופיע.

למה לא 12? 12 הוא מספר העצים הגדול ביותר בשורה, ודווקא הוא מופיע הכי מעט פעמים – בשורה אחת בלבד.

למה לא 20? 20 הוא מספר כל השורות במטע, ולא ערך שחוזר הכי הרבה פעמים.

התשובה: 30%.

שלב 1 – "פחות מ־10 עצים" פירושו 8 עצים או 9 עצים (לא כולל 10).

לפי הדיאגרמה: 2 שורות עם 8 עצים, ו־4 שורות עם 9 עצים.

$2 + 4 = 6$ שורות.

שלב 2 – איזה חלק זה מכל 20 השורות:

$\frac{6}{20} = \frac{30}{100} = 30\%$

טעויות נפוצות: לכלול גם את השורות עם 10 עצים ($\frac{13}{20} = 65\%$); לכתוב 6% – כלומר את מספר השורות במקום את האחוז.

התשובה הנכונה: לא.

"רוב" פירושו יותר ממחצית. מחצית מ־20 השורות היא 10 שורות.

רק ב־7 שורות יש 10 עצים, ו־$7 < 10$. באחוזים: $\frac{7}{20} = 35\%$, פחות מ־50%.

ב־13 השורות האחרות ($20 - 7 = 13$) יש מספר עצים אחר מ־10.

נכון ש־10 הוא השכיח (הערך הנפוץ ביותר), אבל ערך יכול להיות השכיח גם כשהוא לא מופיע ברוב הנתונים.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. רק ב־7 שורות מתוך 20 יש 10 עצים. זה פחות ממחצית השורות (10 שורות), ולכן זה לא רוב. 10 הוא רק המספר הנפוץ ביותר."

למה לא "כן"? מי שעונה כן מתבלבל בין "הכי הרבה" לבין "רוב". לעמודה של 10 יש הגובה הגדול ביותר, אבל 7 שורות אינן יותר ממחצית מ־20.

התשובה: $x = 35$, $\alpha = 115^\circ$.

נימוק: α ו־β הן זוויות מתאימות – שתיהן מתחת לישר שלהן ומימין לחותך t. הישרים a ו־b מקבילים, ולכן זוויות מתאימות שוות: $\alpha = \beta$.

בונים משוואה:

$3x + 10 = 2x + 45$

מעבירים אגפים:

$3x - 2x = 45 - 10$

$x = 35$

מציבים כדי למצוא את α:

$\alpha = 3 \cdot 35 + 10 = 105 + 10 = 115^\circ$

בדיקה: $\beta = 2 \cdot 35 + 45 = 70 + 45 = 115^\circ$ ✓

טעות נפוצה: לכתוב $3x + 10 + 2x + 45 = 180$ (כאילו הזוויות משלימות ל־180°). זוויות מתאימות שוות זו לזו, ולא משלימות.

התשובה הנכונה: $65^\circ$.

דרך 1 – זוויות חד־צדדיות: α ו־γ נמצאות בין שני הישרים המקבילים ובאותו צד של החותך t (מימין לו). לכן הן זוויות חד־צדדיות, וסכומן $180^\circ$:

$\gamma = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

דרך 2 – זוויות צמודות: β ו־γ נמצאות זו ליד זו על הישר b, ולכן סכומן $180^\circ$:

$\gamma = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

למה לא $115^\circ$? כאן חשבו ש־γ שווה ל־α, כאילו הן זוויות מתאימות או מתחלפות. אבל זוויות חד־צדדיות משלימות ל־180°, ולא שוות.

למה לא $35^\circ$? 35 הוא הערך של $x$, ולא גודל של זווית בסרטוט.

למה לא $145^\circ$? כאן חיסרו מ־180 את $x$ ($180 - 35 = 145$) במקום את גודל הזווית α.

התשובה הנכונה: בין 8 ל־9.

מחפשים שני ריבועים שלמים עוקבים ש־75 נמצא ביניהם:

$8^2 = 64$ ו־$9^2 = 81$, ו־$64 < 75 < 81$.

לכן $\sqrt{64} < \sqrt{75} < \sqrt{81}$, כלומר $8 < \sqrt{75} < 9$.

(בעזרת מחשבון: $\sqrt{75} \approx 8.66$.)

למה לא בין 9 ל־10? $9^2 = 81$, וזה יותר מ־75. לכן $\sqrt{75}$ קטן מ־9, ולא גדול ממנו.

למה לא בין 37 ל־38? כאן חילקו את 75 ב־2 ($37.5$). שורש ריבועי אינו חצי מהמספר: $37.5^2$ הוא יותר מ־1,400.

למה לא בין 7 ל־8? כאן "קראו" את הספרות של 75 כאילו $\sqrt{75} \approx 7.5$. אבל $8^2 = 64$, וזה קטן מ־75, ולכן $\sqrt{75}$ גדול מ־8.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): $n = 20$ ו־$n = 23$.

הסבר: $4 = \sqrt{16}$ ו־$5 = \sqrt{25}$. כדי ש־$\sqrt{n}$ יהיה בין 4 ל־5, המספר $n$ צריך להיות בין 16 ל־25:

$16 < n < 25$

המספרים השלמים שמתאימים הם 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 – כל שניים שונים מהם הם תשובה נכונה.

בדיקה: $\sqrt{20} \approx 4.47$ ו־$\sqrt{23} \approx 4.80$ – שניהם בין 4 ל־5 ✓

שימו לב: 16 ו־25 אינם מתאימים, כי $\sqrt{16} = 4$ ו־$\sqrt{25} = 5$ בדיוק, ולא ביניהם. גם 4.5 אינו מתאים – הוא לא מספר שלם, וגם $\sqrt{4.5} \approx 2.1$.

התשובה הנכונה: חצי שעה.

בזמן העצירה המרחק מהבית לא משתנה, ולכן הגרף אופקי. הקטע האופקי מתחיל ב־$1\frac{1}{2}$ שעות ונגמר ב־2 שעות (המרחק נשאר 30 ק"מ).

משך העצירה: $2 - 1\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ שעה, כלומר 30 דקות.

למה לא שעה וחצי? זה הרגע שבו העצירה התחילה, ולא משך העצירה.

למה לא שעתיים? זה הרגע שבו העצירה נגמרה, ולא כמה זמן היא נמשכה.

למה לא שעה? כאן ספרו משבצת אחת כאילו היא שעה שלמה. כל משבצת בציר הזמן היא חצי שעה.

התשובות הנכונות: "בשעה וחצי הראשונות הם רכבו 30 ק"מ" וגם "אחרי העצירה הם רכבו לאט יותר מאשר לפני העצירה".

• "בשעה וחצי הראשונות הם רכבו 30 ק"מ" – נכון. ב־$1\frac{1}{2}$ שעות הגרף מגיע ל־30 ק"מ.

• "אחרי העצירה הם רכבו לאט יותר" – נכון. לפני העצירה: 30 ק"מ ב־$1\frac{1}{2}$ שעות, כלומר $30 : 1.5 = 20$ קמ"ש. אחרי העצירה: מ־30 ק"מ ל־42 ק"מ בשעה אחת (מ־2 עד 3), כלומר $42 - 30 = 12$ קמ"ש. $12 < 20$. רואים את זה גם בגרף: אחרי העצירה הקו פחות תלול.

• "בזמן העצירה הם חזרו קצת לכיוון הבית" – לא נכון. בזמן העצירה הגרף אופקי – המרחק מהבית נשאר 30 ק"מ. אילו חזרו לכיוון הבית, הגרף היה יורד.

• "בכל הטיול הם רכבו 72 ק"מ" – לא נכון. כאן חיברו $30 + 42 = 72$. אבל 42 ק"מ הוא המרחק מהבית בסוף הטיול, והוא כבר כולל את 30 הק"מ הראשונים. הם רכבו 42 ק"מ בסך הכול.

התשובה: 14 קמ"ש.

מהירות ממוצעת = כל הדרך : כל הזמן.

כל הדרך: 42 ק"מ (המרחק מהבית בסוף הטיול).

כל הזמן, כולל העצירה: 3 שעות.

$42 : 3 = 14$ קמ"ש.

טעויות נפוצות:

• להוריד את זמן העצירה: $42 : 2.5 = 16.8$ קמ"ש – אבל השאלה מבקשת כולל העצירה.

• לחשב ממוצע של שתי המהירויות: $\frac{20 + 12}{2} = 16$ קמ"ש – זה לא נכון, כי לא רכבו אותו זמן בכל מהירות, ושכחו את העצירה.

התשובה הנכונה: בשורה 2.

בשורה 2 יעל פתחה את הסוגריים $-3(x-2)$. צריך לכפול את $-3$ בכל אחד מהאיברים שבסוגריים:

$-3 \cdot x = -3x$ וגם $-3 \cdot (-2) = +6$.

כלומר $-3(x-2) = -3x + 6$, אבל יעל כתבה $-3x - 6$ – טעות בסימן (מינוס כפול מינוס הוא פלוס).

למה לא בשורה 1? בשורה 1 יעל כפלה את כל האיברים במכנה המשותף 6: $6 \cdot \frac{x+4}{3} = 2(x+4)$, $6 \cdot \frac{x-2}{2} = 3(x-2)$, וגם $6 \cdot 1 = 6$. השורה נכונה. (יש שחושבים שאת אגף ימין לא צריך לכפול, אבל יעל כן כפלה אותו – וזה נכון.)

למה לא בשורה 3? משורה 2 כפי שהיא כתובה: $2x - 3x = -x$ ו־$8 - 6 = 2$. המעבר נכון; הבעיה היא שהשורה שקודמת לה שגויה.

למה לא בשורה 4? מ־$-x + 2 = 6$ מקבלים $-x = 4$, ולכן $x = -4$. גם המעבר הזה נכון. הטעות נעשתה קודם, בשורה 2.

התשובה: $x = 8$.

שלב 1 – כופלים את כל האיברים במכנה המשותף 6:

$2(x+4) - 3(x-2) = 6$

שלב 2 – פותחים סוגריים (שימו לב לסימן: $-3 \cdot (-2) = +6$):

$2x + 8 - 3x + 6 = 6$

שלב 3 – מכנסים איברים דומים:

$-x + 14 = 6$

שלב 4 – מעבירים אגפים:

$-x = 6 - 14$

$-x = -8$

$x = 8$

בדיקה: $\frac{8+4}{3} - \frac{8-2}{2} = \frac{12}{3} - \frac{6}{2} = 4 - 3 = 1$ ✓

התשובה: ל־4 חלקות – 23 עמודים; ל־10 חלקות – 53 עמודים.

בכל פעם שמוסיפים חלקה אחת, מוסיפים 5 עמודים: 2 פינות חדשות, אמצע הצלע העליונה, אמצע הצלע התחתונה ואמצע הצלע הימנית החדשה. שלושת העמודים שעל הצלע המשותפת כבר קיימים.

• 4 חלקות: $18 + 5 = 23$ עמודים.

• 10 חלקות: מ־4 ל־10 מוסיפים 6 חלקות, כלומר $6 \cdot 5 = 30$ עמודים: $23 + 30 = 53$ עמודים.

טעות נפוצה: לחשב $8 \cdot 10 = 80$ – כאילו לכל חלקה יש 8 עמודים משלה. אבל חלקות סמוכות משתמשות באותם עמודים.

התשובה הנכונה: $5n + 3$.

בחלקה הראשונה יש 8 עמודים, ובכל חלקה נוספת מוסיפים 5 עמודים. לכן ב־$n$ חלקות יש:

$8 + 5(n-1) = 8 + 5n - 5 = 5n + 3$

(אפשר לחשוב גם כך: לכל חלקה "שייכים" 5 עמודים – 2 פינות משמאל, אמצע הצלע השמאלית, אמצע הצלע העליונה ואמצע הצלע התחתונה – ובסוף השורה מוסיפים את 3 העמודים של הצלע הימנית האחרונה.)

בדיקה בטבלה: $n = 1$: $5 + 3 = 8$ ✓; $n = 2$: $10 + 3 = 13$ ✓; $n = 3$: $15 + 3 = 18$ ✓; $n = 10$: $50 + 3 = 53$ ✓

למה לא $8n$? הביטוי נכון רק לחלקה אחת ($8 \cdot 1 = 8$). ל־2 חלקות הוא נותן 16 במקום 13 – הוא סופר פעמיים את העמודים שעל הצלע המשותפת.

למה לא $n + 7$? גם הביטוי הזה מתאים רק לחלקה הראשונה ($1 + 7 = 8$). ל־2 חלקות הוא נותן 9 במקום 13. בדקו ביטוי בכמה שלבים, ולא רק באחד.

למה לא $5n$? נכון שבכל שלב מוסיפים 5 עמודים, אבל צריך גם את המספר שממנו מתחילים: ל־$n = 1$ הביטוי $5n$ נותן 5, ולא 8.

התשובה הנכונה: לא.

דרך 1 – משוואה:

$5n + 3 = 75$

$5n = 72$

$n = 14.4$

מספר החלקות חייב להיות מספר שלם, ואי אפשר לבנות 14.4 חלקות. לכן אין שורה עם בדיוק 75 עמודים.

דרך 2 – בדיקת מספרים סמוכים: עם 14 חלקות יש $5 \cdot 14 + 3 = 73$ עמודים, ועם 15 חלקות יש $5 \cdot 15 + 3 = 78$ עמודים. 75 נמצא בין שני המספרים האלה, ולכן אינו מתקבל.

(אפשר גם לשים לב שמספר העמודים תמיד מסתיים בספרה 3 או 8: 8, 13, 18, 23, …, ו־75 מסתיים ב־5.)

למה לא "כן"? מי שעונה כן בדרך כלל מחלק $75 : 5 = 15$ ומניח ש־15 חלקות מתאימות. אבל 15 חלקות צריכות 78 עמודים, ולא 75 – שכחו את 3 העמודים שמוסיפים בביטוי.

התשובה: 450 ליטר.

העמודה של 2024 מגיעה בדיוק לקו של 450 בציר האנכי (באמצע בין 400 ל־500).

טעות נפוצה: לקרוא את גובה העמודה מתחתית הדיאגרמה כאילו הציר מתחיל ב־0 – ואז לחשוב שהופקו 150 ליטר בלבד.

התשובה הנכונה: לא, יואב טועה.

חישוב לפי הנתונים: ב־2022 הופקו 400 ליטר, וב־2025 הופקו 600 ליטר.

$600 : 400 = 1.5$

כלומר ב־2025 הופקה כמות גדולה פי 1.5 (ולא פי 3) מזו של 2022.

מה גרם לטעות: הציר האנכי לא מתחיל ב־0 אלא ב־300. לכן רואים רק את החלק של כל עמודה שמעל 300:

• 2022: $400 - 300 = 100$

• 2025: $600 - 300 = 300$

$300$ הוא פי 3 מ־$100$ – ולכן העמודה נראית גבוהה פי 3. אבל הגובה האמיתי של העמודות (מ־0) הוא 400 ו־600.

כך נראית אותה דיאגרמה כשהציר מתחיל ב־0:

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. ב־2022 הופקו 400 ליטר וב־2025 הופקו 600 ליטר, ו־$600 : 400 = 1.5$ – רק פי 1.5. יואב טעה כי הציר האנכי מתחיל ב־300 ולא ב־0, ולכן ההבדל בין העמודות נראה גדול יותר ממה שהוא באמת."

למה לא "כן"? מי שעונה כן משווה את גובה העמודות בציור ולא את המספרים. כשהציר קטוע, היחס בין גובהי העמודות אינו היחס בין הכמויות.

התשובה הנכונה: ב־50%.

שלב 1 – בכמה ליטרים הכמות גדלה:

$600 - 400 = 200$ ליטר.

שלב 2 – איזה חלק זה מהכמות המקורית (של 2022):

$\frac{200}{400} = \frac{1}{2} = 50\%$

למה לא ב־200%? זו הטעות של יואב: לפי הציור נדמה שהכמות גדלה פי 3, כלומר גדלה ב־200%. בפועל היא גדלה פי 1.5 בלבד.

למה לא ב־150%? $\frac{600}{400} = 1.5 = 150\%$ – זה האחוז של הכמות החדשה מתוך הכמות הישנה, ולא אחוז העלייה. העלייה היא $150\% - 100\% = 50\%$.

למה לא בכ־33%? כאן חילקו את העלייה בכמות החדשה: $\frac{200}{600} \approx 33\%$. אחוז שינוי מחשבים תמיד ביחס לכמות שהייתה בהתחלה.

התשובה הנכונה: $x + 2x + (x + 15) = 135$.

• יוסי: $x$ ק"ג.

• דנה קטפה פי 2 מיוסי: $2x$ ק"ג.

• אבי קטף 15 ק"ג יותר מיוסי: $x + 15$ ק"ג.

יחד: $x + 2x + (x + 15) = 135$.

למה לא $x + 2x + 15x = 135$? "15 ק"ג יותר" פירושו להוסיף 15, ולא לכפול פי 15. $15x$ הוא "פי 15 מיוסי".

למה לא $x + 2x + 15 = 135$? כאן הכמות של אבי היא רק 15 – שכחו שהוא קטף את מה שיוסי קטף ועוד 15.

למה לא $x + \frac{x}{2} + (x + 15) = 135$? כאן הפכו את היחס: $\frac{x}{2}$ פירושו שדנה קטפה חצי ממה שיוסי קטף, אבל היא קטפה פי 2.

התשובה: יוסי 30 ק"ג, דנה 60 ק"ג, אבי 45 ק"ג.

פותרים את המשוואה מסעיף א:

$x + 2x + x + 15 = 135$

מכנסים איברים דומים:

$4x + 15 = 135$

מעבירים אגפים:

$4x = 135 - 15 = 120$

$x = 30$

• יוסי: $x = 30$ ק"ג.

• דנה: $2x = 2 \cdot 30 = 60$ ק"ג.

• אבי: $x + 15 = 30 + 15 = 45$ ק"ג.

בדיקה: $30 + 60 + 45 = 135$ ✓

הוכחה לדוגמה (ציון מלא):

שימו לב:

• הזווית שבהוכחה חייבת להיות בין שתי הצלעות: במשולש ABC הזווית $\angle BAC$ נמצאת בין AB ל־AC, ובמשולש CDA הזווית $\angle DCA$ נמצאת בין CD ל־CA.

• סדר הקודקודים בכתיבת החפיפה: A מתאים ל־C, B מתאים ל־D, ו־C מתאים ל־A.

• טעות נפוצה: לכתוב $AD = BC$ כנתון. זה לא נתון – זו בדיוק מסקנה שאפשר להסיק רק אחרי שמוכיחים את החפיפה.

התשובה: 34 ס"מ.

• $DC = AB = 10$ ס"מ – נתון ש־$AB = DC$.

• $BC = DA = 7$ ס"מ – לפי סעיף א, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$, ו־BC ו־DA הן צלעות מתאימות (BC מול הזווית שליד A במשולש ABC, ו־DA מול הזווית שליד C במשולש CDA). צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות.

ההיקף:

$AB + BC + CD + DA = 10 + 7 + 10 + 7 = 34$ ס"מ.

התשובה הנכונה: 3,200 מ"ר.

שטח טרפז = (סכום הבסיסים) $\cdot$ גובה : 2.

$\frac{(100 + 60) \cdot 40}{2} = \frac{160 \cdot 40}{2} = \frac{6{,}400}{2} = 3{,}200$ מ"ר.

למה לא 6,400 מ"ר? כאן שכחו לחלק ב־2.

למה לא 4,000 מ"ר? כאן כפלו רק את הבסיס הגדול בגובה ($100 \cdot 40$), כאילו החלקה היא מלבן – אבל המלבן הזה גדול מהטרפז.

למה לא 2,400 מ"ר? כאן כפלו רק את הבסיס הקטן בגובה ($60 \cdot 40$) – זה פחות מהשטח האמיתי, כי שני המשולשים שבצדדים לא נכללו.

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

כל משבצת היא $10 \cdot 10 = 100$ מ"ר. לכן 1,200 מ"ר הם $1{,}200 : 100 = 12$ משבצות.

מחפשים טרפז ששטחו 12 משבצות: $\frac{(a + b) \cdot h}{2} = 12$, כלומר $(a + b) \cdot h = 24$, כש־$a$ ו־$b$ הם אורכי הבסיסים (במשבצות, $a \neq b$) ו־$h$ הגובה.

למשל: בסיסים של 4 ו־2 משבצות וגובה 4 משבצות:

$\frac{(4 + 2) \cdot 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$ משבצות, כלומר $12 \cdot 100 = 1{,}200$ מ"ר ✓

אפשרויות נוספות: בסיסים 5 ו־3 וגובה 3; בסיסים 7 ו־1 וגובה 3; בסיסים 8 ו־4 וגובה 2; בסיסים 5 ו־1 וגובה 4 (גם טרפז ישר־זווית מתאים).

דרך נוספת לחישוב (בלי משבצות): בסיסים של 40 מ' ו־20 מ' וגובה 40 מ': $\frac{(40 + 20) \cdot 40}{2} = 1{,}200$ מ"ר.

טעויות נפוצות: לסרטט 12 משבצות בצורת מלבן (למשל $3 \times 4$) או מקבילית (שני בסיסים של 4 משבצות וגובה 3) – בהן יש שני זוגות של צלעות מקבילות, ולכן הן לא טרפז; לבנות טרפז עם "12 מ"ר" כאילו כל משבצת היא 1 מ"ר, ואז שטח 1,200 משבצות; לשכוח לחלק ב־2 ולסרטט טרפז של 24 משבצות.

התשובה הנכונה: כעבור 6 דקות, 400 ליטר בכל מיכל.

כמות המים שווה בשני המיכלים בנקודה שבה שני הגרפים נפגשים – נקודת החיתוך $(6, 400)$.

שיעור ה־x (6) הוא הזמן בדקות, ושיעור ה־y (400) הוא כמות המים בליטרים.

בדיקה: מיכל א – $100 + 50 \cdot 6 = 400$; מיכל ב – $1{,}000 - 100 \cdot 6 = 400$ ✓

למה לא "כעבור 4 דקות, 600 ליטר"? כאן החליפו בין שיעור ה־x לשיעור ה־y של נקודת החיתוך. ב־4 דקות יש במיכל א רק 300 ליטר.

למה לא "כעבור 6 דקות, 550 ליטר"? 550 הוא ממוצע הכמויות בהתחלה ($\frac{100 + 1{,}000}{2}$). אבל המיכלים לא משתנים באותו קצב, ולכן הם לא נפגשים "באמצע".

למה לא "כעבור 10 דקות, 600 ליטר"? כעבור 10 דקות מיכל ב מתרוקן (0 ליטר), ובמיכל א יש 600 ליטר – הכמויות שונות מאוד.

התשובה הנכונה: מיכל ב.

מחשבים את קצב השינוי (כמה ליטרים בדקה) לפי שתי נקודות על כל גרף:

• מיכל א: מ־100 ליטר (ב־0 דקות) ל־400 ליטר (ב־6 דקות): $\frac{400 - 100}{6} = \frac{300}{6} = 50$ ליטר לדקה (עלייה).

• מיכל ב: מ־1,000 ליטר (ב־0 דקות) ל־0 ליטר (ב־10 דקות): $\frac{1{,}000 - 0}{10} = 100$ ליטר לדקה (ירידה).

$100 > 50$, ולכן כמות המים במיכל ב משתנה מהר יותר – פי 2. רואים זאת גם בגרף: הקו של מיכל ב תלול יותר.

שימו לב: מיכל ב יורד ומיכל א עולה, אבל השאלה היא על מהירות השינוי – כמה ליטרים משתנים בכל דקה, בלי קשר לכיוון.

למה לא מיכל א? מי שבוחר במיכל א בדרך כלל חושב ש"עולה" פירושו "מהר יותר", או משווה את הכמויות ולא את הקצב.

התשובה: כעבור 8 דקות.

דרך 1 – משוואה:

כמות המים במיכל א כעבור $x$ דקות: $100 + 50x$.

כמות המים במיכל ב כעבור $x$ דקות: $1{,}000 - 100x$.

במיכל א יש 300 ליטר יותר:

$100 + 50x = 1{,}000 - 100x + 300$

$100 + 50x = 1{,}300 - 100x$

$50x + 100x = 1{,}300 - 100$

$150x = 1{,}200$

$x = 8$

דרך 2 – לפי הגרף: מחפשים זמן שבו הקו של מיכל א נמצא 3 משבצות (300 ליטר) מעל הקו של מיכל ב. ב־$x = 8$: מיכל א – 500 ליטר, מיכל ב – 200 ליטר. ההפרש $500 - 200 = 300$ ✓

בדיקה: $100 + 50 \cdot 8 = 500$, $1{,}000 - 100 \cdot 8 = 200$, $500 - 200 = 300$ ✓

טעות נפוצה: לענות 4 דקות – שם ההפרש הוא 300 ליטר, אבל במיכל ב יש יותר ($600 - 300 = 300$), ולא במיכל א.

התשובה: 1.25 מ' (125 ס"מ).

שלב 1 – הנפח במטרים מעוקבים: 1,000 ליטר הם $1{,}000 : 1{,}000 = 1$ מ"ק.

שלב 2 – נפח תיבה = אורך $\cdot$ רוחב $\cdot$ גובה. נסמן את הגובה ב־$h$:

$1 \cdot 0.8 \cdot h = 1$

$0.8h = 1$

$h = \frac{1}{0.8} = 1.25$ מ'.

דרך נוספת בס"מ: 1,000 ליטר = 1,000,000 סמ"ק. שטח הבסיס: $100 \cdot 80 = 8{,}000$ סמ"ר. הגובה: $1{,}000{,}000 : 8{,}000 = 125$ ס"מ.

בדיקה: $1 \cdot 0.8 \cdot 1.25 = 1$ מ"ק = 1,000 ליטר ✓

טעות נפוצה: לחלק $1{,}000 : 0.8 = 1{,}250$ ולענות "1,250 מטרים" – בלי להמיר ליטרים למטרים מעוקבים.