מבחן מיצ"ב לדוגמה 5 במתמטיקה לכיתה ט' - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: $4x - 7$.

שלב 1 – פותחים את הסוגריים הראשונים: כופלים את 3 בכל אחד מהאיברים שבסוגריים:

$3(2x - 5) = 6x - 15$

שלב 2 – פותחים את הסוגריים השניים: כופלים את $-2$ בכל אחד מהאיברים שבסוגריים:

$-2(x - 4) = -2x + 8$ (כי $(-2) \cdot (-4) = +8$)

שלב 3 – מכנסים איברים דומים:

$6x - 15 - 2x + 8 = 4x - 7$

בדיקה עם $x = 1$: $3(2 - 5) - 2(1 - 4) = -9 + 6 = -3$, וגם $4 \cdot 1 - 7 = -3$ ✓

למה לא $4x - 23$? טעות בסימן: חישבו $(-2) \cdot (-4) = -8$ במקום $+8$.

למה לא $4x + 3$? כפלו את 3 רק באיבר הראשון שבסוגריים: $3(2x - 5) = 6x - 5$. צריך לכפול את 3 גם ב־$-5$.

למה לא $8x - 7$? טעות בסימן של $x$: חישבו $-2 \cdot x = +2x$ וקיבלו $6x + 2x = 8x$.

התשובה: נועה טעתה בשלב 1. הביטוי הנכון הוא $4x + 6$.

הסבר הטעות: מינוס לפני סוגריים פירושו כפל ב־$(-1)$ של כל האיברים שבסוגריים. לכן:

$-(3x - 4) = -3x + 4$

נועה הפכה את הסימן רק של $3x$, ולא של $-4$ (כתבה $-4$ במקום $+4$).

הפישוט הנכון:

$5x - (3x - 4) + 2(x + 1) = 5x - 3x + 4 + 2x + 2$

מכנסים איברים דומים: $5x - 3x + 2x = 4x$, ו־$4 + 2 = 6$.

התוצאה: $4x + 6$.

שימו לב: שלב 2 של נועה נכון ביחס לשלב 1 שלה ($5x - 3x + 2x = 4x$, $-4 + 2 = -2$), ולכן הטעות היא רק בשלב 1.

בדיקה עם $x = 1$: $5 - (3 - 4) + 2 \cdot 2 = 5 + 1 + 4 = 10$, וגם $4 \cdot 1 + 6 = 10$ ✓ (אבל $4 \cdot 1 - 2 = 2$ – התוצאה של נועה שגויה).

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "הטעות בשלב 1. כשיש מינוס לפני סוגריים צריך להפוך את הסימן של כל האיברים: $-(3x - 4) = -3x + 4$. הביטוי הנכון: $5x - 3x + 4 + 2x + 2 = 4x + 6$."

התשובה הנכונה: בערך 94 ס"מ.

היקף מעגל: $P = \pi \cdot d$ (או $P = 2\pi r$).

הקוטר הוא 30 ס"מ, ולכן:

$P = \pi \cdot 30 \approx 3.14 \cdot 30 = 94.2$ ס"מ, כלומר בערך 94 ס"מ.

(בדרך השנייה: הרדיוס הוא $30 : 2 = 15$ ס"מ, ו־$2 \cdot \pi \cdot 15 \approx 94.2$.)

למה לא בערך 47 ס"מ? זה $\pi \cdot 15$ – כפלו את $\pi$ ברדיוס בלבד ושכחו לכפול ב־2.

למה לא בערך 707 ס"מ? זה $\pi \cdot 15^2$ – השטח של הפיצה (בסמ"ר), ולא אורך השוליים.

למה לא בערך 188 ס"מ? זה $2 \cdot \pi \cdot 30$ – הציבו את הקוטר במקום הרדיוס בנוסחה $2\pi r$.

התשובה הנכונה: לא.

את "כמות הפיצה" משווים לפי השטח של העיגולים, ולא לפי הקוטר.

שטח עיגול: $S = \pi \cdot r^2$.

• פיצה משפחתית: הרדיוס הוא $40 : 2 = 20$ ס"מ.

$S = \pi \cdot 20^2 = 400\pi \approx 3.14 \cdot 400 = 1{,}256$ סמ"ר.

• פיצה אישית: הרדיוס הוא $20 : 2 = 10$ ס"מ.

$S = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \approx 314$ סמ"ר.

שתי פיצות אישיות: $2 \cdot 314 = 628$ סמ"ר.

$628 < 1{,}256$: בשתי פיצות אישיות יש רק חצי מהכמות שבפיצה משפחתית אחת. (בפיצה משפחתית יש כמו ב־4 פיצות אישיות.)

למה זה קורה? כשהקוטר גדל פי 2, השטח גדל פי $2 \cdot 2 = 4$, כי השטח תלוי בריבוע של הרדיוס.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. שטח המשפחתית: $\pi \cdot 20^2 \approx 1{,}256$ סמ"ר. שטח אישית: $\pi \cdot 10^2 \approx 314$ סמ"ר, ושתיים – בערך 628 סמ"ר. זה חצי מהמשפחתית, ולכן דנה טועה."

למה לא "כן"? דנה חיברה את הקטרים. סכום הקטרים אינו מלמד על השטח: השטח תלוי בריבוע הרדיוס, ולכן הוא גדל מהר יותר מהקוטר.

התשובה: 22 תלמידים.

"פחות מ־10 ספרים" פירושו 0–9 ספרים – שתי הקבוצות הראשונות בטבלה:

$6 + 16 = 22$ תלמידים.

טעות נפוצה: לכלול גם את הקבוצה 10–14 (אבל 10 ספרים אינם "פחות מ־10"), או לקחת רק את הקבוצה 5–9 (16).

התשובה הנכונה: 20%.

שלב 1 – כמה תלמידים קראו 15 ספרים או יותר: הקבוצות 15–19 ו־20–24:

$6 + 2 = 8$ תלמידים.

שלב 2 – איזה חלק הם מכל 40 התלמידים:

$\frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0.2 = 20\%$

למה לא 8%? 8 הוא מספר התלמידים, ולא האחוז. צריך לחלק אותו במספר התלמידים הכולל (40).

למה לא 15%? זה $\frac{6}{40} = 15\%$ – לקחו רק את הקבוצה 15–19 ושכחו את התלמידים שקראו 20–24 ספרים.

למה לא 80%? זה האחוז של התלמידים שקראו פחות מ־15 ספרים ($\frac{32}{40}$) – המשלים ל־100%.

התשובה: (1) נכונה, (2) לא נכונה, (3) לא נכונה.

טענה (1) – נכונה. 16 תלמידים קראו 5–9 ספרים:

$\frac{16}{40} = 0.4 = 40\%$

טענה (2) – לא נכונה. יש 40 תלמידים, ולכן החציון הוא הממוצע של הנתון ה־20 והנתון ה־21 (כשמסדרים את הנתונים מהקטן לגדול).

• בקבוצה 0–4 יש 6 תלמידים – הנתונים ה־1 עד ה־6.

• בקבוצה 5–9 יש 16 תלמידים – הנתונים ה־7 עד ה־22 ($6 + 16 = 22$).

הנתון ה־20 והנתון ה־21 נמצאים שניהם בקבוצה 5–9, ולכן גם החציון נמצא בקבוצה 5–9, ולא בקבוצה 10–14.

(טעות נפוצה: לבחור את הקבוצה האמצעית בטבלה – 10–14. החציון הוא הנתון האמצעי, ולא העמודה האמצעית.)

טענה (3) – לא נכונה. אף תלמיד לא קרא יותר מ־24 ספרים. ממוצע לא יכול להיות גדול מהנתון הגדול ביותר, ולכן הממוצע קטן מ־25 (למעשה הוא קטן גם מ־24).

התשובה הנכונה: $y = 18 + 2x$.

• בהתחלה ($x = 0$) הטמפרטורה היא 18 מעלות – זה המספר הקבוע בכלל.

• בכל שעה הטמפרטורה עולה ב־2 מעלות, ולכן אחרי $x$ שעות היא עולה ב־$2x$ מעלות, והשיפוע הוא $2$.

לכן: $y = 18 + 2x$.

בדיקה: אחרי שעה אחת $y = 18 + 2 = 20$ מעלות ✓

למה לא $y = 18 - 2x$? לפי הכלל הזה הטמפרטורה יורדת ב־2 מעלות בכל שעה – כאילו המים מתקררים, ולא מתחממים.

למה לא $y = 2 + 18x$? החליפו בין הטמפרטורה ההתחלתית לבין הקצב: לפי הכלל הזה בהתחלה המים בטמפרטורה של 2 מעלות בלבד, והם מתחממים ב־18 מעלות בכל שעה.

למה לא $y = 2x$? שכחו את הטמפרטורה ההתחלתית: לפי הכלל הזה בהתחלה ($x = 0$) הטמפרטורה היא 0 מעלות, ולא 18.

התשובה הנכונה: גרף ב.

לפי הכלל $y = 18 + 2x$:

• בהתחלה ($x = 0$) הטמפרטורה היא 18 מעלות – הגרף מתחיל בנקודה $(0, 18)$.

• המים מגיעים ל־30 מעלות כש־$18 + 2x = 30$, כלומר $2x = 12$ ו־$x = 6$ שעות – הגרף מגיע לנקודה $(6, 30)$.

• הטמפרטורה עולה בקצב קבוע – הגרף הוא קו ישר עולה.

רק בגרף ב שלושת התנאים מתקיימים.

למה לא גרף א? הישר עולה בקצב של 2 מעלות בכל שעה, אבל מתחיל ב־0 ולא ב־18 – זה הגרף של $y = 2x$, ששוכח את הטמפרטורה ההתחלתית. לפי הגרף הזה המים מגיעים ל־30 מעלות רק אחרי 15 שעות.

למה לא גרף ג? הגרף מתחיל ב־18 ומגיע ל־30 אחרי 6 שעות, אבל הוא עקום – כלומר הטמפרטורה לא עולה בקצב קבוע (בהתחלה מהר ובסוף לאט). כשהקצב קבוע, הגרף הוא קו ישר.

למה לא גרף ד? הישר יורד מ־18 עד 0 – זה הגרף של $y = 18 - 2x$. כך נראית התקררות של המים, ולא חימום.

התשובה: 22, 28 ו־6.

• $x = 2$: $y = 18 + 2 \cdot 2 = 18 + 4 = 22$ מעלות.

• $x = 5$: $y = 18 + 2 \cdot 5 = 18 + 10 = 28$ מעלות.

• $y = 30$: מחפשים את $x$:

$18 + 2x = 30$

$2x = 30 - 18$

$2x = 12$

$x = 6$ שעות.

אפשר גם לחשוב במילים: מ־18 מעלות עד 30 מעלות הטמפרטורה עלתה ב־12 מעלות, ובכל שעה היא עולה ב־2 מעלות, לכן עברו $12 : 2 = 6$ שעות.

התשובה: $\angle BED = 85^\circ$.

פתרון לדוגמה (ציון מלא):

1. מעבירים דרך E ישר EF שמקביל ל־AB (הנקודה F נמצאת בתוך הזווית BED, כמו בסרטוט).

2. $\angle BEF = \angle ABE = 38^\circ$ – זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים AB ו־EF (החותך הוא BE).

3. EF מקביל ל־AB, ו־AB מקביל ל־CD, ולכן EF מקביל ל־CD (שני ישרים שמקבילים לאותו ישר מקבילים זה לזה).

4. $\angle FED = \angle CDE = 47^\circ$ – זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים EF ו־CD (החותך הוא DE).

5. $\angle BED = \angle BEF + \angle FED = 38^\circ + 47^\circ = 85^\circ$.

כלל שימושי: בצורת "זיגזג" בין שני ישרים מקבילים, הזווית שבנקודת השבירה שווה לסכום שתי הזוויות שבקצוות.

התשובה הנכונה: $32^\circ$.

לפי מה שראינו בסעיף א, הזווית שבנקודה E שווה לסכום שתי הזוויות שבקצוות:

$x + 2x = 96^\circ$

$3x = 96^\circ$

$x = 32^\circ$

בדיקה: $32^\circ + 64^\circ = 96^\circ$ ✓

למה לא $48^\circ$? זה $96 : 2$ – חילקו ב־2 כאילו שתי הזוויות שוות. אבל הזווית ליד D גדולה פי 2 מהזווית ליד B, ולכן יש בסך הכול $3x$.

למה לא $64^\circ$? זה הגודל של הזווית $\angle CDE = 2x$, ולא של $x$.

למה לא $28^\circ$? זה הפתרון של $x + 2x + 96 = 180$ – חשבו שהזוויות הן זוויות של משולש. אבל אין כאן משולש: הזוויות $x$ ו־$2x$ מתחברות ל־$\angle BED$.

התשובה הנכונה: 3.5 מטרים.

שטח ריבוע הוא צלע כפול צלע: $a \cdot a = a^2$.

לכן $a^2 = 12.25$, והצלע היא השורש הריבועי של השטח:

$a = \sqrt{12.25} = 3.5$ מטרים.

בדיקה: $3.5 \cdot 3.5 = 12.25$ ✓

למה לא 6.125 מטרים? זה $12.25 : 2$ – חילקו ב־2 במקום להוציא שורש ($a^2$ אינו $2a$).

למה לא 3.0625 מטרים? זה $12.25 : 4$ – חילקו את השטח ב־4 כאילו הוא ההיקף של הריבוע.

למה לא 150.0625 מטרים? זה $12.25^2$ – העלו בריבוע במקום להוציא שורש.

התשובה: 4 גלילים.

שלב 1 – היקף השטיח: לריבוע יש 4 צלעות שוות:

$4 \cdot 3.5 = 14$ מטרים.

שלב 2 – כמה גלילים:

$14 : 4 = 3.5$

3 גלילים הם רק $3 \cdot 4 = 12$ מטרים – פחות מ־14 מטרים, וחסר סרט. לכן צריך לקנות 4 גלילים (חלק מהגליל הרביעי יישאר).

טעות נפוצה: לעגל את 3.5 ל־3, או לענות "3.5 גלילים" – אבל אי אפשר לקנות חצי גליל, ו־3 גלילים לא מספיקים.

התשובה הנכונה:

$\begin{cases} 3x + 2y = 182 \\ 5x + y = 175 \end{cases}$

• משפחת לוי: 3 פיצות אישיות עולות $3x$, ו־2 משפחתיות עולות $2y$. ביחד שילמו 182 ₪: $3x + 2y = 182$.

• משפחת חסון: 5 פיצות אישיות עולות $5x$, ומשפחתית אחת עולה $y$. ביחד שילמו 175 ₪: $5x + y = 175$.

למה לא

$\begin{cases} 3x + 5y = 182 \\ 2x + y = 175 \end{cases}$

? כאן המשוואות נבנו "לפי סוג הפיצה" במקום לפי ההזמנה: המספרים 3 ו־5 (הפיצות האישיות של שתי המשפחות) הוכנסו לאותה משוואה.

למה לא

$\begin{cases} 2x + 3y = 182 \\ x + 5y = 175 \end{cases}$

? החליפו בין $x$ ל־$y$: כאן 3 ו־5 הם מספרי הפיצות המשפחתיות, אבל $y$ הוא המחיר של פיצה משפחתית, ומשפחת לוי הזמינה רק 2 משפחתיות.

למה לא

$\begin{cases} 3x + 2y = 175 \\ 5x + y = 182 \end{cases}$

? אגפי שמאל נכונים, אבל הסכומים הוחלפו: משפחת לוי שילמה 182 ₪, ולא 175 ₪.

התשובה: פיצה אישית עולה 24 ₪, ופיצה משפחתית עולה 55 ₪.

דרך 1 – הצבה:

מהמשוואה השנייה מבודדים את $y$:

$5x + y = 175 \;\Rightarrow\; y = 175 - 5x$

מציבים במשוואה הראשונה:

$3x + 2(175 - 5x) = 182$

$3x + 350 - 10x = 182$

$-7x + 350 = 182$

$-7x = 182 - 350$

$-7x = -168$

$x = 24$

מציבים בחזרה: $y = 175 - 5 \cdot 24 = 175 - 120 = 55$.

דרך 2 – השוואת מקדמים:

כופלים את המשוואה השנייה ב־2: $10x + 2y = 350$.

מחסרים ממנה את המשוואה הראשונה:

$(10x + 2y) - (3x + 2y) = 350 - 182$

$7x = 168$

$x = 24$, ואז $y = 175 - 120 = 55$.

בדיקה:

משפחת לוי: $3 \cdot 24 + 2 \cdot 55 = 72 + 110 = 182$ ✓

משפחת חסון: $5 \cdot 24 + 55 = 120 + 55 = 175$ ✓

הסבר לדוגמה (ציון מלא):

1. $\angle ADE = \angle ABC$ – זוויות מתאימות בין הישרים המקבילים DE ו־BC (החותך הוא AB).

2. $\angle A$ – זווית משותפת לשני המשולשים.

לכן $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי משפט הדמיון זווית־זווית (ז.ז.).

(אפשר גם: $\angle AED = \angle ACB$ – זוויות מתאימות, במקום אחת מהטענות.)

התשובה הנכונה: 15 ס"מ.

שלב 1 – הצלע AB במשולש הגדול:

$AB = AD + DB = 6 + 4 = 10$ ס"מ.

שלב 2 – יחס הדמיון: הצלע AB במשולש הגדול מתאימה לצלע AD במשולש הקטן:

$\frac{AB}{AD} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

שלב 3 – BC מתאימה ל־DE, ולכן:

$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$

$\frac{BC}{9} = \frac{10}{6}$

$BC = \frac{9 \cdot 10}{6} = \frac{90}{6} = 15$ ס"מ.

למה לא 13 ס"מ? זה $9 + 4$ – הוסיפו ל־DE את ההפרש $DB = 4$. במשולשים דומים הצלעות גדלות פי אותו מספר, ולא באותו מספר.

למה לא 6 ס"מ? זה $\frac{9 \cdot 4}{6}$ – השתמשו ביחס $\frac{DB}{AD}$ במקום $\frac{AB}{AD}$. DB אינה צלע של המשולש ABC כולו.

למה לא 13.5 ס"מ? זה $\frac{9 \cdot 6}{4}$ – השתמשו ביחס $\frac{AD}{DB}$. גם כאן DB אינה צלע מתאימה.

התשובה הנכונה: 28 דקות.

ממוצע = סכום הנתונים חלקי מספר הנתונים.

$18 + 20 + 21 + 21 + 23 + 24 + 25 + 27 + 73 = 252$

$\frac{252}{9} = 28$ דקות.

למה לא 23 דקות? זה החציון – הנתון החמישי (האמצעי) ברשימה המסודרת.

למה לא 21 דקות? זה השכיח – הנתון שמופיע הכי הרבה פעמים (פעמיים).

למה לא 55 דקות? זה הטווח: $73 - 18 = 55$ – ההפרש בין הנתון הגדול לקטן, ולא ממוצע.

התשובה הנכונה: החציון (23 דקות).

נימוק:

• המשלוח של 73 דקות הוא ערך חריג – רחוק מאוד מכל שאר המשלוחים (18 עד 27 דקות). הוא "מושך" את הממוצע כלפי מעלה: 8 מתוך 9 המשלוחים לקחו פחות מ־28 דקות, ולכן 28 דקות אינו זמן טיפוסי.

• החציון כמעט לא מושפע מהערך החריג: גם אם המשלוח האחרון היה לוקח 30 דקות במקום 73, החציון היה נשאר 23. הוא נמצא באמצע הנתונים: מחצית מהמשלוחים קצרים ממנו ומחצית ארוכים ממנו.

• השכיח (21) מבוסס על שני משלוחים בלבד שבמקרה לקחו אותו זמן, ולכן הוא מייצג פחות טוב את כל הנתונים.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "החציון. יש משלוח חריג של 73 דקות שמגדיל מאוד את הממוצע – רק משלוח אחד מתוך 9 לקח יותר מ־28 דקות. החציון, 23 דקות, נמצא באמצע הנתונים ולא מושפע מהחריג."

למה לא הממוצע? הממוצע הושפע מאוד מהמשלוח החריג. בלי המשלוח הזה הממוצע היה בערך 22 דקות – והפרסום "28 דקות" לא מתאר משלוח רגיל.

למה לא השכיח? השכיח קרוב לנתונים, אבל הוא נקבע רק לפי שני משלוחים ולא מתחשב בשאר הנתונים.

התשובה הנכונה: החציון.

הנתונים החדשים (10 נתונים, מסודרים): 18, 20, 21, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 73.

• חציון: כשיש 10 נתונים, החציון הוא הממוצע של הנתון החמישי והשישי:

$\frac{23 + 24}{2} = 23.5$ דקות. לפני כן החציון היה 23 – החציון השתנה.

למה לא הממוצע? הנתון שנוסף (28) שווה בדיוק לממוצע הקודם, ולכן הממוצע לא משתנה:

$\frac{252 + 28}{10} = \frac{280}{10} = 28$ דקות.

למה לא השכיח? 21 עדיין מופיע פעמיים, וכל שאר הנתונים (כולל 28) מופיעים פעם אחת. השכיח נשאר 21.

למה לא הטווח? הנתון הקטן ביותר (18) והגדול ביותר (73) לא השתנו: $73 - 18 = 55$.

התשובה: עם ציר ה־x – $(5, 0)$; עם ציר ה־y – $(0, -10)$.

• חיתוך עם ציר ה־y: בכל נקודה על ציר ה־y, $x = 0$. מציבים:

$y = 2 \cdot 0 - 10 = -10$, ולכן הנקודה היא $(0, -10)$.

• חיתוך עם ציר ה־x: בכל נקודה על ציר ה־x, $y = 0$. מציבים ופותרים:

$0 = 2x - 10$

$10 = 2x$

$x = 5$, ולכן הנקודה היא $(5, 0)$.

טעות נפוצה: להחליף בין השיעורים, למשל לכתוב $(-10, 0)$ במקום $(0, -10)$.

התשובה: 25 יחידות שטח.

המשולש נוצר בין ראשית הצירים $O(0, 0)$, הנקודה $(5, 0)$ והנקודה $(0, -10)$. הזווית ליד O ישרה, ולכן הצלעות על הצירים הן ניצב וגובה:

• הצלע על ציר ה־x: מ־0 עד 5 – אורכה 5.

• הצלע על ציר ה־y: מ־0 עד $-10$ – אורכה 10 (אורך הוא תמיד חיובי).

שטח: $\frac{5 \cdot 10}{2} = 25$ יחידות שטח.

יש שתי תשובות נכונות: $y = x - 10$ או $y = -x - 10$.

שלב 1 – הצלע על ציר ה־y לא משתנה: מ־0 עד $-10$, אורכה 10. נסמן ב־$a$ את אורך הצלע שעל ציר ה־x:

$\frac{a \cdot 10}{2} = 50$

$5a = 50$

$a = 10$

לכן הישר צריך לחתוך את ציר ה־x בנקודה $(10, 0)$ או בנקודה $(-10, 0)$.

שלב 2 – משוואת הישר:

• דרך $(0, -10)$ ו־$(10, 0)$: השיפוע הוא $\frac{0 - (-10)}{10 - 0} = \frac{10}{10} = 1$, ולכן $y = x - 10$.

• דרך $(0, -10)$ ו־$(-10, 0)$: השיפוע הוא $\frac{0 - (-10)}{-10 - 0} = \frac{10}{-10} = -1$, ולכן $y = -x - 10$.

בדיקת השטח: $\frac{10 \cdot 10}{2} = 50$ ✓

תשובה לדוגמה (ציון מלא): סרטוט ישר מ־$(0, -10)$ עד $(10, 0)$, המשוואה $y = x - 10$, והחישוב $\frac{10 \cdot 10}{2} = 50$.

רעיון נוסף: השטח צריך לגדול פי 2 (מ־25 ל־50), והגובה על ציר ה־y נשאר 10, ולכן הצלע על ציר ה־x צריכה לגדול פי 2 – מ־5 ל־10.