מבחן מיצ"ב לדוגמה 4 במתמטיקה לכיתה ט' - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: האלכסון AC מאונך לאלכסון BD וחוצה אותו.

בדלתון, האלכסון הראשי (זה שמחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות – כאן AC) מאונך לאלכסון השני וחוצה אותו. לכן $AC \perp BD$ ו־$BE = ED$.

(זה נובע מכך שהמשולשים ABC ו־ADC חופפים לפי צ.צ.צ., ולכן AC חוצה את הזוויות A ו־C. במשולש שווה־השוקיים ABD חוצה זווית הראש AE הוא גם גובה וגם תיכון.)

למה לא "האלכסונים שווים זה לזה"? זו תכונה של מלבן (ושל ריבוע), לא של דלתון. בדלתון שבסרטוט AC קצר בהרבה מ־BD.

למה לא "האלכסונים חוצים זה את זה"? זו תכונה של מקבילית. בדלתון רק האלכסון הראשי חוצה את השני; E אינה אמצע של AC (בסרטוט AE קצר מ־EC).

למה לא "האלכסון BD חוצה את הזוויות B ו־D"? בדלתון האלכסון הראשי AC חוצה את הזוויות A ו־C. האלכסון BD בדרך כלל אינו חוצה זוויות – כאן מי שבוחר בתשובה הזו מחליף בין שני האלכסונים.

התשובה: 168 סמ"ר.

שלב 1 – לפי סעיף א, AC חוצה את BD ומאונך לו, ולכן:

$BE = ED = \frac{24}{2} = 12$ ס"מ, והזווית ליד E ישרה.

שלב 2 – במשולש ישר־הזווית ABE (היתר הוא AB) לפי משפט פיתגורס:

$AE^2 + BE^2 = AB^2$

$AE^2 + 12^2 = 13^2$

$AE^2 = 169 - 144 = 25$

$AE = 5$ ס"מ

שלב 3 – במשולש ישר־הזווית CBE (היתר הוא CB):

$EC^2 + 12^2 = 15^2$

$EC^2 = 225 - 144 = 81$

$EC = 9$ ס"מ

שלב 4 – האלכסון $AC = AE + EC = 5 + 9 = 14$ ס"מ.

שלב 5 – שטח דלתון הוא מכפלת האלכסונים חלקי 2:

$S = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{14 \cdot 24}{2} = \frac{336}{2} = 168$ סמ"ר

דרך נוספת: שטח הדלתון הוא סכום שטחי המשולשים ABD ו־CBD:

$\frac{24 \cdot 5}{2} + \frac{24 \cdot 9}{2} = 60 + 108 = 168$ סמ"ר.

טעויות נפוצות: להשתמש ב־24 במקום ב־12 במשפט פיתגורס (צריך את חצי האלכסון), או לשכוח לחלק ב־2 בנוסחת השטח (ואז מתקבל 336).

התשובה הנכונה: נובמבר.

משווים כל חודש לחודש שלפניו:

ספטמבר → אוקטובר: מ־120 ל־150 (עלייה).

אוקטובר → נובמבר: מ־150 ל־135 (ירידה).

נובמבר → דצמבר: מ־135 ל־162 (עלייה). דצמבר → ינואר: מ־162 ל־198 (עלייה). ינואר → פברואר: מ־198 ל־255 (עלייה).

רק בנובמבר הקו יורד לעומת החודש הקודם.

למה לא ספטמבר? בספטמבר נאספה הכמות הקטנה ביותר (120 ק"ג), אבל השאלה היא על ירידה לעומת החודש הקודם – ולספטמבר אין בגרף חודש קודם.

למה לא אוקטובר? אוקטובר הוא החודש שבו מתחילה הירידה – ממנו הקו יורד. אבל באוקטובר עצמו נאסף יותר מבספטמבר (150 לעומת 120).

למה לא פברואר? בפברואר יש את השינוי הגדול ביותר, אבל זו עלייה (מ־198 ל־255), לא ירידה.

התשובה: 170 ק"ג.

שלב 1 – מחברים את הכמויות של כל ששת החודשים:

$120 + 150 + 135 + 162 + 198 + 255 = 1{,}020$ ק"ג

שלב 2 – מחלקים במספר החודשים (6):

$\frac{1{,}020}{6} = 170$ ק"ג

טעות נפוצה: לחלק במספר אחר (למשל ב־5), או לחשב את הממוצע רק של החודש הראשון והאחרון: $\frac{120 + 255}{2} = 187.5$ – זה אינו ממוצע של כל הנתונים.

התשובה הנכונה: ב־20%.

שלב 1 – בכמה ק"ג גדלה הכמות:

$162 - 135 = 27$ ק"ג

שלב 2 – אחוז השינוי מחושב ביחס לכמות ההתחלתית (נובמבר):

$\frac{27}{135} = 0.2 = 20\%$

בדיקה: $135 + 20\% \cdot 135 = 135 + 27 = 162$ ✓

למה לא ב־27%? 27 הוא ההפרש בקילוגרמים, לא באחוזים. צריך לחשב איזה חלק הוא 27 מתוך 135.

למה לא בכ־17%? כאן חילקו את ההפרש בכמות של דצמבר: $\frac{27}{162} \approx 0.17$. אחוז הגדילה מחושב ביחס לערך שממנו התחלנו (נובמבר), לא ביחס לערך החדש.

למה לא ב־120%? $\frac{162}{135} = 1.2$, כלומר הכמות בדצמבר היא 120% מהכמות בנובמבר. הגדילה היא רק החלק שמעל 100%: $120\% - 100\% = 20\%$.

התשובה הנכונה: $x + y = 30$ וגם $4x + 9y = 170$.

• מספר הדגים: גופי ועוד זהבון הם 30 דגים, ולכן $x + y = 30$.

• המחיר: $x$ דגי גופי עולים $4 \cdot x$ שקלים, ו־$y$ דגי זהבון עולים $9 \cdot y$ שקלים. יחד שילמו 170, ולכן $4x + 9y = 170$.

למה לא $x + y = 170$ וגם $4x + 9y = 30$? כאן החליפו בין הנתונים: 170 הוא הסכום בשקלים, לא מספר הדגים, ו־30 הוא מספר הדגים, לא הסכום.

למה לא $x + y = 30$ וגם $9x + 4y = 170$? כאן החליפו בין המחירים: $x$ הוא מספר דגי הגופי, שכל אחד מהם עולה 4 שקלים – ולכן צריך $4x$, לא $9x$.

למה לא $x = y + 30$ וגם $4x + 9y = 170$? המשוואה $x = y + 30$ אומרת שיש 30 דגי גופי יותר מדגי זהבון. אבל 30 הוא מספר כל הדגים יחד, ולכן $x + y = 30$.

התשובה: 20 דגי גופי ו־10 דגי זהבון.

שלב 1 – מבודדים נעלם במשוואה הראשונה:

$x + y = 30 \Rightarrow x = 30 - y$

שלב 2 – מציבים במשוואה השנייה:

$4(30 - y) + 9y = 170$

$120 - 4y + 9y = 170$

$120 + 5y = 170$

$5y = 50$

$y = 10$

שלב 3 – מציבים $y = 10$ כדי למצוא את $x$:

$x = 30 - 10 = 20$

בדיקה: $20 + 10 = 30$ דגים ✓. המחיר: $4 \cdot 20 + 9 \cdot 10 = 80 + 90 = 170$ שקלים ✓

טעות נפוצה: לכתוב $4 \cdot 30 - y$ (לכפול רק את 30 בלי $y$). בפתיחת הסוגריים צריך לכפול את 4 בכל איבר: $4(30 - y) = 120 - 4y$.

התשובה: K מייצגת את $-1.25$, ו־M מייצגת את $0.75$.

שלב 1 – בין כל שני מספרים שלמים סמוכים (למשל בין 0 ל־1) יש 4 רווחים שווים, ולכן כל רווח הוא $\frac{1}{4} = 0.25$.

שלב 2 – הנקודה K נמצאת רווח אחד משמאל ל־$-1$ (שמאלה = קטן יותר):

$-1 - 0.25 = -1.25$

שלב 3 – הנקודה M נמצאת 3 רווחים מימין ל־0:

$3 \cdot 0.25 = 0.75$

טעות נפוצה: לכתוב ש־K מייצגת את $-0.75$ – כלומר לזוז מ־$-1$ ימינה במקום שמאלה. K נמצאת בין $-2$ ל־$-1$, ולכן היא קטנה מ־$-1$.

התשובה הנכונה: $-\frac{3}{4}$, $\frac{2}{3}$ וגם $-1.2$.

לפי סעיף א, צריך מספרים שגדולים מ־$-1.25$ וקטנים מ־$0.75$. כדאי לכתוב את כל המספרים כשברים עשרוניים:

• $-\frac{3}{4} = -0.75$: גדול מ־$-1.25$ וקטן מ־$0.75$ ✓

• $\frac{2}{3} \approx 0.67$: קטן מ־$0.75$ וגדול מ־$-1.25$ ✓

• $-1.2$: נמצא בין $-1.25$ ל־$-1$, ולכן גדול מ־$-1.25$ ✓

• $-1.5$: קטן מ־$-1.25$ ✗

• $0.8$: גדול מ־$0.75$ ✗

למה לא $-1.5$? בין מספרים שליליים, המספר שהערך המוחלט שלו גדול יותר הוא הקטן יותר. $1.5 > 1.25$, ולכן $-1.5 < -1.25$ – הנקודה $-1.5$ נמצאת משמאל ל־K.

למה לא $0.8$? מי שבוחר בו חושב ש־$0.8 < 0.75$ כי "8 קטן מ־75". כשמשווים שברים עשרוניים משווים ספרה אחר ספרה: $0.80 > 0.75$, ולכן 0.8 נמצא מימין ל־M.

ושימו לב: גם $-1.2$ נמצא בין הנקודות, אף על פי שהוא קרוב מאוד ל־K – אל תשכחו לסמן אותו.

התשובה הנכונה: הן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, ולכן הן שוות.

הישר AB חותך את שני הישרים המקבילים $\ell_1$ ו־$\ell_2$. הזווית α (ליד A, מתחת ל־$\ell_1$ ומשמאל ל־AB) והזווית ABC (ליד B, מעל $\ell_2$ ומימין ל־AB) נמצאות בין שני הישרים המקבילים ובצדדים שונים של החותך AB – לכן הן זוויות מתחלפות. זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות.

למה לא "מתאימות"? זוויות מתאימות נמצאות באותו צד של החותך ובאותו מקום ביחס לכל אחד מהישרים (למשל שתיהן מעל הישר). כאן α מתחת ל־$\ell_1$ והזווית ABC מעל $\ell_2$.

למה לא "חד־צדדיות"? זוויות חד־צדדיות נמצאות באותו צד של החותך, וכאן הזוויות בצדדים שונים של AB. (זווית חד־צדדית ל־ABC היא הזווית שליד A מימין ל־AB.)

למה לא "קודקודיות"? זוויות קודקודיות הן בעלות אותו קודקוד, וכאן לזוויות יש קודקודים שונים (A ו־B).

התשובה: $\alpha = 64^\circ$, $\angle BAC = 52^\circ$.

שלב 1 – הזוויות ACB ו־ACD הן זוויות צמודות (B, C ו־D על ישר אחד), וסכומן $180^\circ$:

$\angle ACB = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$

שלב 2 – במשולש שווה־שוקיים זוויות הבסיס שוות. $AB = AC$, ולכן הבסיס הוא BC:

$\angle ABC = \angle ACB = 64^\circ$

שלב 3 – לפי סעיף א, α והזווית ABC הן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, ולכן:

$\alpha = \angle ABC = 64^\circ$

שלב 4 – סכום הזוויות במשולש ABC הוא $180^\circ$:

$\angle BAC = 180^\circ - 64^\circ - 64^\circ = 52^\circ$

בדיקה: גם הזווית שבין $\ell_1$ ל־AC (מימין ל־A) היא $64^\circ$ (מתחלפת ל־ACB), ובנקודה A על הישר $\ell_1$: $64^\circ + 52^\circ + 64^\circ = 180^\circ$ ✓

טעות נפוצה: לחשוב ש־α שווה ל־$116^\circ$ – אבל הזווית ש־α מתחלפת לה היא הזווית הפנימית ABC, לא הזווית החיצונית ACD.

התשובה: ממוצע 126 דקות, חציון 110 דקות.

ממוצע – מחברים את כל הזמנים ומחלקים במספר הרצים:

$105 + 112 + 98 + 110 + 115 + 108 + 234 = 882$

$\frac{882}{7} = 126$ דקות

חציון – מסדרים את הזמנים מהקטן לגדול:

$98,\ 105,\ 108,\ \mathbf{110},\ 112,\ 115,\ 234$

יש 7 נתונים, ולכן החציון הוא הנתון הרביעי (האמצעי): 110 דקות.

טעות נפוצה: לקחת את הנתון האמצעי בטבלה בלי לסדר את הנתונים קודם (בטבלה הנתון הרביעי הוא 110 במקרה, אבל צריך תמיד לסדר).

התשובה הנכונה: לא.

הזמן 234 דקות שונה מאוד משאר הזמנים (כולם בין 98 ל־115 דקות) – זה ערך חריג, שנגרם מהפציעה. ערך חריג גדול מגדיל מאוד את הממוצע.

בפועל, 6 מתוך 7 הרצים סיימו בפחות מ־126 דקות, כך ש־126 אינו "טיפוסי" לאף אחד מהם.

החציון (110 דקות) כמעט לא מושפע מהערך החריג, והוא נמצא באמצע הזמנים של רוב הרצים – ולכן הוא מתאר טוב יותר את הזמן הטיפוסי.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. הרץ שנפצע סיים ב־234 דקות, הרבה יותר מכולם, וזה מעלה את הממוצע. כל שאר הרצים סיימו בפחות מ־126 דקות. עדיף לכתוב את החציון, 110 דקות."

למה לא "כן"? הממוצע אמנם מחושב נכון, אבל הוא מושפע מאוד מנתון אחד חריג. מדד מרכז "טיפוסי" צריך להיות קרוב לרוב הנתונים, ו־126 גדול מכל הזמנים חוץ מאחד.

התשובה הנכונה: הממוצע יקטן בהרבה, והחציון יקטן רק במעט.

$98 + 105 + 108 + 110 + 112 + 115 = 648$

$\frac{648}{6} = 108$ דקות – ירידה של $126 - 108 = 18$ דקות.

החציון החדש: הנתונים המסודרים הם $98, 105, \mathbf{108}, \mathbf{110}, 112, 115$. יש 6 נתונים – מספר זוגי – ולכן החציון הוא הממוצע של שני הנתונים האמצעיים:

$\frac{108 + 110}{2} = 109$ דקות – ירידה של דקה אחת בלבד.

למה לא "הממוצע יקטן, והחציון לא ישתנה"? החציון אמנם כמעט לא מושפע מערכים חריגים, אבל כשמורידים נתון משתנה מספר הנתונים (מ־7 ל־6), והחציון הופך לממוצע של שני הנתונים האמצעיים: 109 במקום 110.

למה לא "הממוצע והחציון יקטנו באותה מידה"? הממוצע מושפע מערכו של כל נתון, ולכן הורדת 234 מקטינה אותו ב־18 דקות. החציון תלוי רק במיקום של הנתונים, ולכן הוא יורד רק בדקה אחת.

למה לא "הממוצע לא ישתנה, והחציון יקטן"? כאן הפכו בין המדדים. דווקא הממוצע הוא שמושפע מאוד מהסרת הערך החריג.

התשובה: בשלב 4 יש 14 אריחים, ובשלב 10 יש 32 אריחים.

בכל שלב נוספים 3 אריחים (אחד בשורה התחתונה ואחד בכל זרוע): $5, 8, 11, \ldots$

• שלב 4: $11 + 3 = 14$.

• שלב 10: בשלב $n$ יש שורה תחתונה של $n + 2$ אריחים ושתי זרועות של $n$ אריחים כל אחת. בשלב 10: $12 + 10 + 10 = 32$.

(אפשר גם להמשיך להוסיף 3: $14, 17, 20, 23, 26, 29, 32$.)

התשובה הנכונה: $3n + 2$.

בשלב $n$: השורה התחתונה – $n + 2$ אריחים; כל זרוע – $n$ אריחים.

$(n + 2) + n + n = 3n + 2$

בדיקה: שלב 1 – $3 \cdot 1 + 2 = 5$ ✓; שלב 2 – $3 \cdot 2 + 2 = 8$ ✓; שלב 3 – $3 \cdot 3 + 2 = 11$ ✓.

(דרך נוספת: בכל שלב נוספים 3 אריחים, ולכן הביטוי הוא $3n + b$. מאחר שבשלב 1 יש 5 אריחים, $3 + b = 5$, כלומר $b = 2$.)

למה לא $5n$? כאן הניחו שבכל שלב נוספים 5 אריחים (כמו בשלב הראשון). אבל בכל שלב נוספים רק 3. בשלב 2 הביטוי נותן 10 ולא 8.

למה לא $3n$? ההפרש בין השלבים אכן 3, אבל שכחו את ה־2 הקבועים. בשלב 1 הביטוי נותן 3 ולא 5.

למה לא $n + 4$? הביטוי מתאים רק לשלב 1 ($1 + 4 = 5$), אבל בכל שלב הוא גדל רק ב־1. בשלב 2 הוא נותן 6 ולא 8.

התשובה הנכונה: לא.

דרך 1 – משוואה: מחפשים $n$ שבו $3n + 2 = 100$.

$3n = 98$

$n = \frac{98}{3} = 32\frac{2}{3}$

מספר השלב חייב להיות מספר שלם, ולכן אין שלב עם 100 אריחים בדיוק.

דרך 2 – בדיקת שלבים סמוכים: בשלב 32 יש $3 \cdot 32 + 2 = 98$ אריחים, ובשלב 33 יש $3 \cdot 33 + 2 = 101$ אריחים. 100 נמצא ביניהם, ולכן אינו מספר אריחים של אף שלב.

דרך 3 – חלוקה: מספר האריחים בכל שלב הוא כפולה של 3 ועוד 2. $100 = 3 \cdot 33 + 1$ – השארית בחלוקה ב־3 היא 1 ולא 2.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. אם $3n + 2 = 100$ אז $n = 32\frac{2}{3}$, וזה לא מספר שלם, ואין שלב כזה."

למה לא "כן"? מי שעונה כן בדרך כלל מעגל את $32\frac{2}{3}$ ל־33. אבל בשלב 33 יש 101 אריחים, לא 100.

הוכחה לדוגמה (ציון מלא):

שימו לב: במשפט ז.צ.ז. הצלע חייבת להיות בין שתי הזוויות. במשולש AOB הצלע AO נמצאת בין הזווית שליד A לזווית שליד O, ובמשולש COD הצלע CO נמצאת בין הזווית שליד C לזווית שליד O – כך שהתנאי מתקיים.

אפשר גם להשתמש בזוג אחר של זוויות מתחלפות: $\angle OBA = \angle ODC$ (החותך הוא BD). אבל אז הצלע AO אינה בין שתי הזוויות, ולכן צריך להשתמש בזוג $\angle OAB = \angle OCD$ ובזוויות הקודקודיות.

טעות נפוצה: לכתוב "$BO = OD$" כטענה בהוכחה – זה אינו נתון, אלא מסקנה מהחפיפה (ראו סעיף ב).

התשובה הנכונה: $DC = 7$ ס"מ, $OD = 9$ ס"מ.

לפי סעיף א, $\triangle AOB \cong \triangle COD$. בחפיפה, הקודקודים המתאימים כתובים באותו סדר: A מתאים ל־C, O מתאים ל־O, B מתאים ל־D.

• הצלע AB מתאימה לצלע CD, ולכן $DC = AB = 7$ ס"מ.

• הצלע OB מתאימה לצלע OD, ולכן $OB = OD$. כלומר O היא אמצע הקטע BD:

$OD = \frac{18}{2} = 9$ ס"מ.

למה לא "$DC = 9$ ס"מ, $OD = 7$ ס"מ"? כאן התאימו בין הצלעות לא נכון: AB מתאימה ל־CD (לא ל־OD). כדי לא לטעות, משתמשים בסדר הקודקודים בכתיבת החפיפה.

למה לא "$DC = 7$ ס"מ, ואי אפשר לדעת את $OD$"? מהחפיפה נובע גם $OB = OD$ (צלעות מתאימות), ולכן O היא אמצע BD ואפשר לחשב את OD.

למה לא "$DC = 7$ ס"מ, $OD = 18$ ס"מ"? 18 ס"מ הוא אורך כל הקטע BD. הנקודה O מחלקת אותו לשני חלקים שווים, ולכן OD הוא רק חצי ממנו.