מבחן מיצ"ב לדוגמה 3 במתמטיקה לכיתה ט' - עם פתרונות מלאים

התשובה: AD הוא גובה, BE הוא תיכון, CF הוא חוצה זווית.

• AD – גובה: הקטע יוצא מהקודקוד A ויורד אל הצלע שמולו, BC. ליד D מסומנת זווית ישרה, כלומר $AD \perp BC$. קטע שיוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו הוא גובה.

• BE – תיכון: הקטע יוצא מהקודקוד B אל הצלע AC. על AE ועל EC מסומנים אותם סימונים (שני קווים), כלומר $AE = EC$ – הנקודה E היא אמצע הצלע. קטע שמחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו הוא תיכון.

• CF – חוצה זווית: הקטע יוצא מהקודקוד C. ליד C מסומנות שתי זוויות שוות: $\angle ACF = \angle FCB$. קטע שמחלק זווית של המשולש לשתי זוויות שוות הוא חוצה זווית.

טעות נפוצה: להחליט לפי המראה (למשל "BE נראה באמצע") במקום לפי הסימונים בסרטוט.

התשובה הנכונה: יעל אינה צודקת.

כדי להראות שטענה "בכל משולש..." אינה נכונה, מספיק למצוא משולש אחד שבו היא לא מתקיימת (דוגמה נגדית).

במשולש שווה־שוקיים, הקטע שיוצא מקודקוד הראש ומאונך לבסיס (הגובה לבסיס) הוא גם תיכון לבסיס וגם חוצה זווית הראש. כלומר שלושת הקטעים מתלכדים – זה קטע אחד, ולא שלושה קטעים שונים.

(גם במשולש שווה־צלעות זה קורה, מכל אחד משלושת הקודקודים.)

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "יעל אינה צודקת. במשולש שווה־שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם התיכון לבסיס וגם חוצה זווית הראש, ולכן שלושתם הם אותו קטע."

למה לא "צודקת"? במשולש ABC שבסרטוט (שאינו שווה־שוקיים) הקטעים אכן שונים, אבל דוגמה אחת לא מוכיחה טענה על כל המשולשים – ויש משולשים שבהם הקטעים מתלכדים.

התשובה: 48 מנויים.

שלב 1 – האחוז של הדרמה. כל הגזרות יחד הן 100%:

$100\% - (30\% + 25\% + 15\% + 10\%) = 100\% - 80\% = 20\%$

שלב 2 – כמה מנויים הם 20% מ־240:

$\frac{20}{100} \cdot 240 = 48$

בדיקה: $72 + 60 + 48 + 36 + 24 = 240$ (קומדיה, אקשן, דרמה, ריאליטי, דוקומנטרי) ✓

טעות נפוצה: לכתוב 20 (האחוז) במקום מספר המנויים.

התשובה הנכונה: $90^\circ$.

הזווית המרכזית של כל העיגול היא $360^\circ$, והיא מייצגת 100% מהמנויים.

הגזרה אקשן מייצגת 25%, ולכן הזווית שלה היא 25% מ־$360^\circ$:

$\frac{25}{100} \cdot 360^\circ = 90^\circ$

(25% הם רבע, ורבע עיגול הוא זווית ישרה.)

למה לא $25^\circ$? כאן החליפו בין אחוזים למעלות. 25% אינם $25^\circ$ – העיגול כולו הוא $360^\circ$ ולא $100^\circ$.

למה לא $60^\circ$? 60 הוא מספר המנויים שבחרו באקשן ($\frac{25}{100} \cdot 240 = 60$), ולא גודל הזווית.

למה לא $72^\circ$? זו הזווית שהייתה מתקבלת אילו חמש הגזרות היו שוות: $360^\circ : 5 = 72^\circ$. אבל הגזרות אינן שוות.

התשובה הנכונה: 2.

שיפוע = השינוי ב־y חלקי השינוי ב־x:

$m = \frac{5 - (-1)}{4 - 1} = \frac{5 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

אפשר לראות זאת גם בסרטוט: מ־A ל־B זזים 3 משבצות ימינה ו־6 משבצות למעלה, כלומר על כל צעד ימינה הישר עולה 2.

למה לא $\frac{1}{2}$? כאן חילקו הפוך – את השינוי ב־x בשינוי ב־y: $\frac{3}{6}$.

למה לא $\frac{4}{3}$? זו טעות בסימן: $5 - (-1)$ חושב כ־$5 - 1 = 4$. חיסור של מספר שלילי הוא חיבור, ולכן מקבלים 6.

למה לא 6? 6 הוא רק השינוי ב־y. שכחו לחלק בשינוי ב־x (3).

התשובה: $y = 2x - 3$.

משוואת ישר היא $y = mx + b$. לפי סעיף א, $m = 2$, ולכן $y = 2x + b$.

הישר עובר דרך $A(1, -1)$. מציבים $x = 1$ ו־$y = -1$:

$-1 = 2 \cdot 1 + b$

$-1 = 2 + b$

$b = -3$

משוואת הישר: $y = 2x - 3$.

בדיקה עם הנקודה B: $2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$ ✓

דרך נוספת: מ־A זזים צעד אחד שמאלה עד ציר ה־y. כל צעד שמאלה מוריד את הישר ב־2, ולכן הישר חותך את ציר ה־y בגובה $-1 - 2 = -3$, כלומר $b = -3$.

התשובה הנכונה: $y = 2x + 7$, $y = 5 + 2x$ ו־$y - 2x = 1$.

שני ישרים (שונים) מקבילים אם יש להם אותו שיפוע. השיפוע של AB הוא 2.

בודקים את השיפוע של כל ישר – המקדם של $x$ כשהמשוואה כתובה בצורה $y = mx + b$:

• $y = 2x + 7$ – שיפוע 2 ✓ מקביל.

• $y = 5 + 2x$ – זה $y = 2x + 5$, שיפוע 2 ✓ מקביל (סדר האיברים לא משנה).

• $y - 2x = 1$ – מוסיפים $2x$ לשני האגפים: $y = 2x + 1$, שיפוע 2 ✓ מקביל.

• $y = -2x - 3$ – שיפוע $-2$ ✗. הישר הזה יורד, ולא מקביל ל־AB.

• $y = \frac{1}{2}x - 3$ – שיפוע $\frac{1}{2}$ ✗.

למה לא $y = -2x - 3$? יש לו אותו מספר חופשי ($-3$) כמו ל־AB, וגם המספר 2 מופיע בו, אבל השיפוע הוא $-2$ ולא 2. ישרים מקבילים צריכים אותו שיפוע עם אותו סימן.

למה לא $y = \frac{1}{2}x - 3$? השיפוע $\frac{1}{2}$ הוא ההופכי של 2, ולא 2. גם המספר החופשי המשותף לא הופך ישרים למקבילים – הוא רק אומר שהם חותכים את ציר ה־y באותה נקודה.

התשובה הנכונה: 59 ₪.

שלב 1 – גובה המע"מ: 18% מ־50:

$\frac{18}{100} \cdot 50 = 9$ ₪.

שלב 2 – המחיר הכולל: $50 + 9 = 59$ ₪.

דרך נוספת: המחיר הכולל הוא 118% מהמחיר לפני מע"מ: $1.18 \cdot 50 = 59$ ₪.

למה לא 68 ₪? כאן הוסיפו 18 שקלים במקום 18 אחוזים.

למה לא 9 ₪? זה רק גובה המע"מ, ולא המחיר שהלקוח משלם.

למה לא 41 ₪? כאן הפחיתו את המע"מ ($50 - 9$) במקום להוסיף אותו.

התשובה הנכונה: 10%.

צריך למצוא 25% מתוך 40%:

$\frac{25}{100} \cdot 40\% = \frac{1}{4} \cdot 40\% = 10\%$

בדיקה עם מספרים: אם המאפייה אופה 200 לחמים, אז 40% מהם הם $0.4 \cdot 200 = 80$ לחמים מקמח מלא. 25% מהם הם $0.25 \cdot 80 = 20$ לחמים עם גרעינים. $\frac{20}{200} = 10\%$ ✓

למה לא 65%? כאן חיברו את האחוזים ($40 + 25$). אבל 25% הם חלק מתוך הלחמים מקמח מלא, ולא חלק נוסף מכל הלחמים.

למה לא 15%? כאן חיסרו את האחוזים ($40 - 25$). אין סיבה לחסר – מחפשים חלק מתוך חלק.

למה לא 62.5%? כאן חילקו $25 : 40 = 0.625$. אבל צריך לכפול (25% מ־40%), לא לחלק.

התשובה הנכונה: מיכל אינה צודקת. המחיר לפני מע"מ הוא 200 ₪.

הטעות של מיכל: המע"מ הוא 18% מהמחיר לפני מע"מ, ולא 18% מהמחיר הכולל (236 ₪). מיכל חישבה 18% מהמספר הלא נכון.

בדיקה שמראה שהיא טועה: אילו המחיר היה 193.52 ₪, הלקוח היה משלם $1.18 \cdot 193.52 \approx 228.35$ ₪, ולא 236 ₪.

החישוב הנכון: נסמן את המחיר לפני מע"מ ב־$x$. המחיר הכולל הוא 118% מ־$x$:

$1.18x = 236$

$x = 236 : 1.18 = 200$ ₪.

בדיקה: $\frac{18}{100} \cdot 200 = 36$, ו־$200 + 36 = 236$ ✓

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "מיכל אינה צודקת, כי את ה־18% מחשבים מהמחיר שלפני המע"מ, ולא מ־236. 236 ₪ הם 118% מהמחיר, ולכן המחיר לפני מע"מ הוא $236 : 1.18 = 200$ ₪."

למה לא "צודקת"? החישוב של מיכל נראה הגיוני, כי "מורידים את מה שהוסיפו". אבל ה־18% שהוסיפו חושבו ממספר קטן יותר (200), ולכן הם רק 36 ₪ – פחות מ־42.48 ₪.

התשובה: $h = 2.4$ מ'.

הקיר, הקרקע והסולם יוצרים משולש ישר־זווית: הזווית הישרה היא בין הקיר לקרקע, ולכן הסולם הוא היתר (הצלע שמול הזווית הישרה).

לפי משפט פיתגורס:

$h^2 + 0.7^2 = 2.5^2$

$h^2 + 0.49 = 6.25$

$h^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$

$h = \sqrt{5.76} = 2.4$ מ'.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים ($0.7^2 + 2.5^2$) כאילו הסולם הוא ניצב. היתר הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר, ולכן $h$ חייב להיות קצר מ־2.5 מ'.

התשובה הנכונה: היא ירדה ב־0.4 מ'.

מחשבים שוב את הגובה בעזרת משפט פיתגורס, עם המרחק החדש 1.5 מ':

$h^2 + 1.5^2 = 2.5^2$

$h^2 + 2.25 = 6.25$

$h^2 = 4$

$h = 2$ מ'.

לפני ההזזה הגובה היה 2.4 מ' (סעיף א), ועכשיו הוא 2 מ'. לכן הראש של הסולם ירד ב־$2.4 - 2 = 0.4$ מ' בלבד – ולא ב־0.8 מ'. הטענה של החבר אינה נכונה: אורכי הצלעות במשולש ישר־זווית לא משתנים "באותה מידה", כי הקשר ביניהם הוא דרך הריבועים.

למה לא "ירדה ב־0.8 מ'"? זו בדיוק הטענה של החבר. היא נשמעת הגיונית, אבל החישוב לפי משפט פיתגורס מראה שהגובה ירד רק ב־0.4 מ'.

למה לא "ירדה ב־2 מ'"? 2 מ' הוא הגובה החדש של הנקודה, ולא בכמה היא ירדה.

למה לא "עלתה בערך ב־0.5 מ'"? זה מה שמקבלים אם מחברים את הריבועים: $\sqrt{1.5^2 + 2.5^2} \approx 2.92$. אבל הסולם הוא היתר, ולכן מחסרים. וגם בלי חישוב: כשמרחיקים את רגל הסולם מהקיר, הראש שלו יורד ולא עולה.

התשובה: $x = 4$.

שלב 1 – פותחים סוגריים (כל מספר שלפני סוגריים כופלים בכל איבר שבתוכם):

$5 \cdot x = 5x$, $5 \cdot (-3) = -15$, $-2 \cdot x = -2x$, $-2 \cdot (-6) = +12$:

$5x - 15 - 2x + 12 = 9$

שלב 2 – מכנסים איברים דומים: $5x - 2x = 3x$, ו־$-15 + 12 = -3$:

$3x - 3 = 9$

שלב 3 – מוסיפים 3 לשני האגפים:

$3x = 12$

שלב 4 – מחלקים את שני האגפים ב־3:

$x = 4$

בדיקה: $5(4 - 3) - 2(4 - 6) = 5 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) = 5 + 4 = 9$ ✓

טעות נפוצה: לכתוב $-2 \cdot (-6) = -12$. כפל של שני מספרים שליליים נותן מספר חיובי, ולכן $+12$. מי שטעה כאן מקבל $3x - 27 = 9$ ו־$x = 12$, והבדיקה מראה ש־$x = 12$ אינו פתרון: $5 \cdot 9 - 2 \cdot 6 = 33 \neq 9$.

התשובה הנכונה: $-3$.

אם $x = 0$ הוא הפתרון, אז כשמציבים $x = 0$ באגף שמאל מקבלים בדיוק את אגף ימין, $k$:

$5(0 - 3) - 2(0 - 6) = 5 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) = -15 + 12 = -3$

לכן $k = -3$.

דרך נוספת: בסעיף א ראינו שאגף שמאל שווה ל־$3x - 3$. כש־$x = 0$: $3 \cdot 0 - 3 = -3$.

בדיקה: המשוואה $3x - 3 = -3$ נותנת $3x = 0$, כלומר $x = 0$ ✓

למה לא $-27$? כאן כתבו $-2 \cdot (-6) = -12$ (טעות בסימן), וקיבלו $-15 - 12 = -27$. כפל של שני מספרים שליליים הוא חיובי.

למה לא $0$? כאן חשבו שאם $x = 0$ אז גם אגף ימין הוא 0. אבל כשמציבים $x = 0$, הסוגריים לא מתאפסים: $0 - 3 = -3$ ו־$0 - 6 = -6$.

למה לא $3$? כאן התעלמו מהסימנים בתוך הסוגריים וחישבו $5 \cdot 3 - 2 \cdot 6 = 15 - 12 = 3$. אבל $0 - 3$ הוא $-3$ ולא 3, ו־$0 - 6$ הוא $-6$.

התשובה הנכונה: 34.

שלב 1 – סכום הגילים של 5 העובדים: $5 \cdot 32 = 160$ (או $24 + 29 + 31 + 36 + 40 = 160$).

שלב 2 – מוסיפים את גיל האופה החדש: $160 + 44 = 204$.

שלב 3 – מחלקים במספר העובדים החדש, 6: $204 : 6 = 34$.

למה לא 38? כאן חישבו את הממוצע של שני מספרים בלבד: $(32 + 44) : 2 = 38$. אבל הממוצע 32 מייצג 5 עובדים, והאופה החדש הוא רק עובד אחד – אי אפשר לתת להם משקל שווה.

למה לא 40.8? כאן חילקו את הסכום החדש ב־5 במקום ב־6: $204 : 5 = 40.8$. שכחו שמספר העובדים גדל.

למה לא 34.4? כאן חישבו שהאופה מבוגר מהממוצע ב־12 שנים, וחילקו את ההפרש ב־5: $32 + 12 : 5 = 34.4$. צריך לחלק ב־6, כי ההפרש מתחלק בין כל 6 העובדים: $32 + 12 : 6 = 34$.

התשובה הנכונה: 33.5.

מסדרים את 6 הגילים מהקטן לגדול: 24, 29, 31, 36, 40, 44.

מספר הנתונים זוגי, ולכן יש שני נתונים באמצע – השלישי (31) והרביעי (36). החציון הוא הממוצע שלהם:

$\frac{31 + 36}{2} = \frac{67}{2} = 33.5$

למה לא 31? זה החציון לפני שהאופה הצטרף (הנתון האמצעי מבין 5). אחרי שהוסיפו נתון גדול, החציון משתנה.

למה לא 36? 36 הוא רק אחד משני הנתונים האמצעיים. כשמספר הנתונים זוגי לוקחים את הממוצע של שניהם.

למה לא 34? 34 הוא הממוצע (סעיף א), ולא החציון.

יש הרבה תשובות נכונות: כל שני גילים (מציאותיים לעובדים) שסכומם 68.

הסבר: כדי שהממוצע של 8 עובדים יהיה 34, סכום הגילים של כולם צריך להיות $8 \cdot 34 = 272$.

סכום הגילים של 6 העובדים הוא 204 (סעיף א). לכן לשני העובדים החדשים נשארים:

$272 - 204 = 68$ שנים יחד.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "30 ו־38. בדיקה: $\frac{204 + 30 + 38}{8} = \frac{272}{8} = 34$ ✓"

עוד דוגמאות נכונות: 34 ו־34 (שני עובדים בגיל הממוצע לא משנים אותו); 25 ו־43; 20 ו־48.

דרך חשיבה נוספת: אם עובד אחד צעיר מ־34 בכמה שנים, השני צריך להיות מבוגר מ־34 באותו מספר שנים – כך הם "מאזנים" זה את זה.

טעות נפוצה: לתת שני עובדים שהממוצע שלהם 34 בלי לבדוק את הסכום – זה נכון, וזה בדיוק אותו תנאי (סכום 68). טעות אחרת: לחשב $34 \cdot 2 = 68$ ולתת עובד אחד בן 68 ועובד שני בן 0.

התשובה: ישר יורד שחותך את ציר ה־y בנקודה $(0, 4)$ ועובר דרך $(4, 2)$ ו־$(8, 0)$.

כדי לסרטט ישר מספיק למצוא שתי נקודות עליו (ורצוי שלישית לבדיקה). מציבים ערכי $x$ נוחים – זוגיים, כדי לא לקבל שברים:

• $x = 0$: $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 4 = 4$ → הנקודה $(0, 4)$.

• $x = 4$: $y = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$ → הנקודה $(4, 2)$.

• $x = 8$: $y = -\frac{1}{2} \cdot 8 + 4 = -4 + 4 = 0$ → הנקודה $(8, 0)$.

מסמנים את הנקודות ומעבירים דרכן ישר.

דרך נוספת: מתחילים בנקודה $(0, 4)$ (המספר החופשי). השיפוע $-\frac{1}{2}$ אומר שעל כל 2 משבצות ימינה הישר יורד משבצת אחת.

התשובה: $x = 2$, $y = 3$, כלומר הנקודה $(2, 3)$.

פתרון אלגברי (בשיטת ההצבה): לפי המשוואה הראשונה $y = x + 1$. מציבים במשוואה השנייה:

$x + 2(x + 1) = 8$

$x + 2x + 2 = 8$

$3x + 2 = 8$

$3x = 6$

$x = 2$

מציבים במשוואה הראשונה: $y = 2 + 1 = 3$.

בדיקה במשוואה השנייה: $2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$ ✓

הקשר לסרטוט: מבודדים את $y$ במשוואה השנייה:

$x + 2y = 8$

$2y = 8 - x$

$y = 4 - \frac{1}{2}x$, כלומר $y = -\frac{1}{2}x + 4$ – זה בדיוק הישר שסרטטנו בסעיף א.

הפתרון של מערכת משוואות הוא הנקודה שנמצאת על שני הישרים – נקודת החיתוך שלהם. בסרטוט רואים ששני הישרים נחתכים בנקודה $(2, 3)$, כמו בפתרון האלגברי.

הסבר מלא:

1. במלבן האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן O היא אמצע של כל אחד מהם: $OA = \frac{AC}{2}$ ו־$OB = \frac{BD}{2}$.

2. במלבן האלכסונים שווים זה לזה: $AC = BD$.

מכאן ש־$OA = \frac{AC}{2} = \frac{BD}{2} = OB$. כלומר המשולש AOB הוא משולש שווה־שוקיים.

טעות נפוצה: לכתוב רק "האלכסונים חוצים זה את זה". זה נכון בכל מקבילית, אבל לבד זה לא מספיק – צריך גם שהאלכסונים שווים (תכונה של המלבן).

התשובה: $\angle AOD = 70^\circ$.

שלב 1: לפי סעיף א, $OA = OB$, ולכן המשולש AOB שווה־שוקיים. במשולש שווה־שוקיים זוויות הבסיס שוות:

$\angle OBA = \angle OAB = 35^\circ$.

שלב 2: לפי סכום הזוויות במשולש AOB:

$\angle AOB = 180^\circ - 35^\circ - 35^\circ = 110^\circ$.

שלב 3: הזוויות $\angle AOB$ ו־$\angle AOD$ הן זוויות צמודות (שתיהן על הישר BD), ולכן סכומן $180^\circ$:

$\angle AOD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

דרך נוספת: במלבן $\angle DAB = 90^\circ$, ולכן $\angle OAD = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. גם $OA = OD$ (מאותה סיבה כמו בסעיף א), ולכן $\angle ODA = 55^\circ$, ו־$\angle AOD = 180^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 70^\circ$.

התשובה הנכונה: $6x + 6$.

קודם מוצאים את שתי הצלעות שאין עליהן מידה:

• הצלע הימנית: הגובה כולו $2x$, והחלק העליון $x$, ולכן הצלע הימנית היא $2x - x = x$.

• הקטע האופקי הפנימי: הרוחב כולו $x + 3$, והחלק העליון 3, ולכן הקטע הוא $(x + 3) - 3 = x$.

מחברים את כל שש הצלעות (מסביב לערוגה):

$(x + 3) + x + x + x + 3 + 2x = 6x + 6$

דרך נוספת: ההיקף של צורת L שווה להיקף של המלבן "החוסם" אותה: $2 \cdot (x + 3) + 2 \cdot 2x = 2x + 6 + 4x = 6x + 6$.

למה לא $4x + 6$? כאן חיברו רק את ארבע הצלעות שהמידות שלהן כתובות בסרטוט ($x + 3$, $2x$, 3, $x$), ושכחו את שתי הצלעות האחרות (כל אחת $x$).

למה לא $3x + 3$? זה $(x + 3) + 2x$ – רק רוחב אחד וגובה אחד, כלומר חצי מההיקף.

למה לא $x^2 + 6x$? זה השטח של הערוגה (ראו סעיף ב), ולא ההיקף.

התשובה: $x^2 + 6x$ (מ"ר).

דרך 1 – מחלקים את הערוגה לשני מלבנים בקו אנכי:

• מלבן שמאלי, רוחב 3 וגובה $2x$: שטח $3 \cdot 2x = 6x$.

• מלבן ימני, רוחב $x$ וגובה $x$: שטח $x \cdot x = x^2$.

שטח הערוגה: $6x + x^2 = x^2 + 6x$.

דרך 2 – מלבן חוסם פחות החלק החסר:

המלבן החוסם: $(x + 3) \cdot 2x = 2x^2 + 6x$. החלק החסר (בפינה הימנית העליונה) הוא ריבוע $x$ על $x$, ששטחו $x^2$.

$2x^2 + 6x - x^2 = x^2 + 6x$.

התשובה: $x = 4$, ושטח הערוגה 40 מ"ר.

שלב 1 – משוואה לפי ההיקף (סעיף א):

$6x + 6 = 30$

$6x = 24$

$x = 4$

שלב 2 – מציבים $x = 4$ בביטוי לשטח (סעיף ב):

$x^2 + 6x = 4^2 + 6 \cdot 4 = 16 + 24 = 40$ מ"ר.

בדיקה במידות: הרוחב $x + 3 = 7$ מ', הגובה $2x = 8$ מ'. ההיקף $2 \cdot 7 + 2 \cdot 8 = 30$ ✓. השטח: מלבן חוסם $7 \cdot 8 = 56$ פחות ריבוע $4 \cdot 4 = 16$ – כלומר $56 - 16 = 40$ ✓