שאלות פתוחות: התיכון ליתר במשולש ישר זווית - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על התיכון ליתר במשולש ישר זווית, לכיתה י', 4 יחידות. השאלות כוללות חישוב התיכון ליתר לפי הניצבים, הוכחה שמשולש הוא ישר זווית כשהתיכון שווה לחצי הצלע, מרובע עם שתי זוויות ישרות ואמצע האלכסון, אנך מאמצע היתר לניצב, ונקודות על הניצב שיוצרות משולשים שווי שוקיים. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לבוחן או לשאלת הוכחה במבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

21 שאלותקלה: 2בינונית: 14קשה: 5

שאלה 1 · אורך התיכון ליתר וזוויות המשולש שהוא יוצרשאלה קצרה · קלה

המשולש ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘), ו-AMAMAM הוא התיכון ליתר BCBCBC. נתון: AB=9AB=9AB=9 ס"מ, AC=12AC=12AC=12 ס"מ.
ABCM
סעיף ב עוסק במשולש אחר, והוא אינו תלוי בסעיף א.

א.

חשבו את אורך התיכון AMAMAM.

ב.

המשולש PQRPQRPQR הוא משולש ישר זווית אחר (∠QPR=90∘\angle QPR=90^\circ∠QPR=90∘), ו-PNPNPN הוא התיכון ליתר QRQRQR. נתון: ∠PNQ=100∘\angle PNQ=100^\circ∠PNQ=100∘. מצאו את הזוויות החדות של המשולש PQRPQRPQR.

שאלה 2 · המשפט ההפוך: תיכון השווה למחצית הצלעשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC.
נתון: MA=MB=12.5MA=MB=12.5MA=MB=12.5 ס"מ, AB=7AB=7AB=7 ס"מ.
ABCM

הוכיחו ש-∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘, וחשבו את אורך הצלע ACACAC.

שאלה 3 · שני משולשים ישרי זווית עם יתר משותףשאלה קצרה · קשה

במרובע הקמור ABCDABCDABCD נתון: ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC=\angle ADC=90^\circ∠ABC=∠ADC=90∘. הנקודה MMM היא אמצע האלכסון ACACAC.
ABCDM

נתון: ∠BAD=35∘\angle BAD=35^\circ∠BAD=35∘. הוכיחו שהמשולש BMDBMDBMD שווה שוקיים, ומצאו את זוויותיו.

שאלה 4 · אנך מאמצע היתר לניצבשאלת ביניים · בינונית

המשולש ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘). הנקודה MMM היא אמצע היתר ABABAB. מהנקודה MMM הורידו אנך MKMKMK לניצב ACACAC (הנקודה KKK על ACACAC).
CABKM

א.

הוכיחו ש-KKK היא אמצע הניצב ACACAC.

ב.

נתון: AC=16AC=16AC=16 ס"מ, CM=10CM=10CM=10 ס"מ. חשבו את אורך הקטע MKMKMK ואת אורך הניצב BCBCBC.

ג.

חשבו את ההיקף ואת השטח של המשולש BMCBMCBMC.

שאלה 5 · תיכונים ליתר וקטע אמצעים במשולש ישר זוויתשאלת ביניים · קשה

המשולש ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘). הנקודה DDD נמצאת על הניצב BCBCBC כך ש-AD=DBAD=DBAD=DB. הנקודה MMM היא אמצע הקטע ADADAD, והנקודה EEE היא אמצע היתר ABABAB.
נתון: CD=7CD=7CD=7 ס"מ, DB=25DB=25DB=25 ס"מ.
CBDAEM

א.

הסבירו מדוע CM=AD2CM=\frac{AD}{2}CM=2AD​, וחשבו את CMCMCM.

ב.

הוכיחו ש-ME=CMME=CMME=CM.

ג.

חשבו את היקף המשולש CMECMECME.

שאלה 6 · הכפלת התיכון ליתר: הוכחה בחפיפהשאלת ביניים · בינונית

המשולש ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘), ו-AMAMAM הוא התיכון ליתר BCBCBC. ממשיכים את התיכון AMAMAM מעבר לנקודה MMM עד לנקודה DDD, כך ש-MD=AMMD=AMMD=AM, ומחברים את DDD עם BBB ועם CCC (ראו סרטוט).
ABCDM

א.

הוכיחו כי △AMB≅△DMC\triangle AMB\cong\triangle DMC△AMB≅△DMC, והסיקו כי AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD וכי AB=CDAB=CDAB=CD.

ב.

הוכיחו כי המרובע ABDCABDCABDC הוא מלבן.

ג.

הוכיחו כי AM=12BCAM=\frac12BCAM=21​BC. נתון: AB=6AB=6AB=6 ס"מ, AC=8AC=8AC=8 ס"מ. חשבו את אורך התיכון AMAMAM.

שאלה 7 · חפיפה צ.צ.צ ותיכון ליתר בשני משולשיםשאלה קצרה · בינונית

המשולש ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘), והנקודה MMM היא אמצע היתר ABABAB. הנקודה DDD נמצאת באותו צד של ABABAB כמו CCC, כך ש-DA=CBDA=CBDA=CB ו-DB=CADB=CADB=CA (D≠CD\neq CD=C).
נתון: ∠CAB=25∘\angle CAB=25^\circ∠CAB=25∘.
ABMCD

הוכיחו כי MD=MCMD=MCMD=MC, ומצאו את הזווית ∠CMD\angle CMD∠CMD.

שאלה 8 · שני משולשים ישרי זווית עם יתר משותף וניצב שווהשאלת ביניים · בינונית

המשולש ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘), והנקודה MMM היא אמצע היתר ABABAB. הנקודה DDD נמצאת בצד השני של הישר ABABAB, כך ש-∠ADB=90∘\angle ADB=90^\circ∠ADB=90∘ ו-AD=ACAD=ACAD=AC. הקטע CDCDCD חותך את ABABAB בנקודה KKK.
ABMCDK

א.

הוכיחו כי △ACB≅△ADB\triangle ACB\cong\triangle ADB△ACB≅△ADB, והסיקו כי AB⊥CDAB\perp CDAB⊥CD.

ב.

נתון: ∠CAB=30∘\angle CAB=30^\circ∠CAB=30∘. הוכיחו כי המשולש MBCMBCMBC שווה צלעות, ומצאו את הזווית ∠CMD\angle CMD∠CMD.

ג.

נתון גם: AB=10AB=10AB=10 ס"מ. חשבו את אורך הקטע CDCDCD.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (13)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

התיכון ליתר: זוויות, והמשפט ההפוך (שאלה קצרה · קלה)
שני הסעיפים עוסקים במשולשים שונים ואינם תלויים זה בזה.
זוויות שוות ליד תיכון: הוכחת זווית ישרה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לצלע זו. נתון: $\angle ABC=\angle BAM=35^\circ$ .
תיכון וגובה לשוקיים במשולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · קשה)
במשולש שווה השוקיים $AMK$ ( $AM=AK$ ) זווית הראש $\angle MAK$ חדה. הקטע $KD$ הוא התיכון לשוק $AM$ , והקטע $ME$ …
הגובה ליתר במשולש ישר זווית עם זווית של 15° (שאלה קצרה · קשה)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה ו- $\angle BAC=15^\circ$ . הקטע $CD$ הוא הגובה ליתר $AB$ .
חוצי הזוויות שליד שוק נפגשים על קטע האמצעים (שאלה קצרה · קשה)
בטרפז $ABCD$ ( $AD\parallel BC$ ) נתון: $AD=16$ , $BC=8$ , $AB=10$ . חוצי הזוויות $\angle DAB$ ו- $\angle ABC$ …
חוצי זוויות סמוכות במקבילית והתיכון ליתר (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ היא מקבילית. חוצה הזווית $\angle DAB$ וחוצה הזווית $\angle ADC$ נפגשים בנקודה $P$ , שנמצאת בתוך…
התיכון ליתר פעמיים: רבע מהיתר (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $DEF$ הזווית $E$ ישרה, ו- $EM$ הוא התיכון ליתר $DF$ . מהנקודה $M$ מורידים אנך $MN$ לניצב $DE$ (הנקודה $N$ …
מלבן, מקבילית והתיכון ליתר (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ הוא מלבן. הנקודה $E$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ מעבר ל- $B$ , כך ש- $CE\parallel BD$ . הנקודה $M$ היא אמצע…
אמצעי צלעות במעוין ובדלתון (שאלת ביניים · בינונית)
$MNPQ$ הוא מעוין שאלכסוניו נפגשים בנקודה $T$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $MN$ , והנקודה $F$ היא אמצע הצלע $NP$ .
גובה במשולש ואמצעי שתי צלעות (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש חד-הזוויות $ABC$ הקטע $AH$ הוא הגובה לצלע $BC$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ , והנקודה $N$ היא אמצע…
התיכון ליתר והזווית החיצונית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $PQR$ נתון: $\angle PRQ=90^\circ$ . הנקודה $T$ היא אמצע היתר $PQ$ .
טרפז שווה שוקיים שאלכסונו מאונך לשוק (שאלה קצרה · בינונית)
בכל סעיף $ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים ( $AB\parallel DC$ , $AD=BC$ , $AB<DC$ ). האלכסון $BD$ מאונך לשוק $BC$ , ו- $M$ …
הזווית בין הגובה לתיכון ליתר (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הזווית $A$ ישרה. $AH$ הוא הגובה ליתר $BC$ , ו- $AM$ הוא התיכון ליתר.