שאלות פתוחות: משפט הדמיון ז.ז. - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על משפט הדמיון ז.ז. לכיתה י', 4 יחידות. יש כאן קטעים נחתכים עם צלעות מקבילות, שני גבהים במשולש חד זווית, הגובה ליתר במשולש ישר זווית, ריבוע החסום במשולש, היקפים של משולשים דומים, משולש שווה צלעות עם זווית נתונה, ומשולש במערכת צירים. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה, ומעט קלות. השיעור מתאים להרכבת מבחן בדמיון או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

28 שאלותקלה: 3בינונית: 13קשה: 12

שאלה 1 · דמיון משולשים לפי ז.ז. בקטעים נחתכים ובישרים מקביליםשאלה קצרה · קלה

הקטעים ADADAD ו-BCBCBC נחתכים בנקודה OOO, ו-AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD (ראו סרטוט).
נתון: AO=6AO=6AO=6, OD=10OD=10OD=10, AB=9AB=9AB=9, OC=12.5OC=12.5OC=12.5.
AODBC

הוכיחו כי △AOB∼△DOC\triangle AOB\sim\triangle DOC△AOB∼△DOC, ומצאו את אורך הקטע CDCDCD ואת אורך הקטע OBOBOB.

שאלה 2 · דמיון משולשים ישרי זווית ומכפלות של קטעיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש חד-זווית ABCABCABC הקטע AEAEAE הוא גובה לצלע BCBCBC, והקטע BGBGBG הוא גובה לצלע ACACAC (ראו סרטוט).
נתון: CA=12CA=12CA=12, CB=9CB=9CB=9, CE=6CE=6CE=6.
CBAEG

הוכיחו כי CE⋅CB=CG⋅CACE\cdot CB=CG\cdot CACE⋅CB=CG⋅CA, ומצאו את אורך הקטע CGCGCG.

שאלה 3 · דמיון משולשים במערכת ציריםשאלת ביניים · קשה

ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘). נתון: A(−4,11)A(-4,11)A(−4,11), C(25,8)C(25,8)C(25,8).
הצלע ABABAB חותכת את ציר ה-yyy בנקודה P(0,8)P(0,8)P(0,8). הנקודה EEE נמצאת על הישר CPCPCP כך ש-AEAEAE מקביל לציר ה-yyy (ראו סרטוט).
AEPCB

א.

הוכיחו כי △AEP∼△CBP\triangle AEP\sim\triangle CBP△AEP∼△CBP.

ב.

מצאו את יחס הדמיון, וחשבו את האורכים BPBPBP ו-CBCBCB.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB, וחשבו את שטח המשולש CBPCBPCBP.

שאלה 4 · דמיון ז.ז. במשולש ישר זווית עם אנך ליתרשאלת ביניים · בינונית

במשולש ישר זווית ABCABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘) נתון: AC=8AC=8AC=8, BC=6BC=6BC=6.
הנקודה DDD נמצאת על היתר ABABAB כך ש-AD=4AD=4AD=4. האנך ליתר ABABAB בנקודה DDD חותך את הניצב ACACAC בנקודה EEE (ראו סרטוט).
CABDE

א.

הוכיחו: △ADE∼△ACB\triangle ADE\sim\triangle ACB△ADE∼△ACB.

ב.

חשבו את אורך הקטע AEAEAE ואת אורך הקטע DEDEDE.

ג.

חשבו את שטח המרובע DBCEDBCEDBCE.

שאלה 5 · דמיון ז.ז. לחישוב צלע של ריבוע החסום במשולששאלה קצרה · קשה

במשולש ישר זווית ABCABCABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘) נתון: AB=6AB=6AB=6, BC=12BC=12BC=12.
הריבוע BDEFBDEFBDEF בנוי כך שהקודקוד DDD נמצא על הניצב BCBCBC, הקודקוד FFF נמצא על הניצב ABABAB, והקודקוד EEE נמצא על היתר ACACAC (ראו סרטוט).
BCADEF

מצאו את אורך הצלע של הריבוע.

שאלה 6 · יחס ההיקפים ואורכי צלעות במשולשים דומיםשאלת ביניים · בינונית

הקטעים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE, ו-AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC.
היקף המשולש ABEABEABE הוא 242424 ס"מ, היקף המשולש CDECDECDE הוא 181818 ס"מ, ונתון AE−CE=2AE-CE=2AE−CE=2 ס"מ.
EABCD

א.

הוכיחו: △ABE∼△CDE\triangle ABE\sim\triangle CDE△ABE∼△CDE.

ב.

חשבו את האורכים AEAEAE ו-CECECE.

ג.

נתון גם AB=10AB=10AB=10 ס"מ. חשבו את אורכי הקטעים DCDCDC ו-DEDEDE.

שאלה 7 · דמיון ז.ז. במשולש שווה צלעות: הבעת קטע באמצעות משתנהשאלת ביניים · קשה

המשולש ABCABCABC הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו 8. הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC, והנקודה EEE נמצאת על הצלע ACACAC, כך ש-∠ADE=60∘\angle ADE=60^\circ∠ADE=60∘ (ראו סרטוט).
נסמן: BD=xBD=xBD=x (0<x<80<x<80<x<8).
BCADE

א.

הוכיחו: △ABD∼△DCE\triangle ABD\sim\triangle DCE△ABD∼△DCE.

ב.

הביעו באמצעות xxx את אורך הקטע CECECE.

ג.

מצאו את כל הערכים של xxx שעבורם CE=1.5CE=1.5CE=1.5.

שאלה 8 · יחס שטחים במשולש ישר זווית עם גובה ליתרשאלת ביניים · בינונית

במשולש ישר זווית ABCABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘) CDCDCD הוא הגובה ליתר ABABAB.
נתון: AC=6AC=6AC=6, BC=8BC=8BC=8.
CABD

א.

הוכיחו: △ACD∼△CBD\triangle ACD\sim\triangle CBD△ACD∼△CBD.

ב.

חשבו את יחס השטחים SACDSCBD\frac{S_{ACD}}{S_{CBD}}SCBD​SACD​​.

ג.

חשבו את שטח המשולש ACDACDACD.

שאלה 9 · היקף משולש ישר זווית מהיקפי המשולשים שיוצר הגובה ליתרשאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABCABC הזווית ACBACBACB ישרה, ו-CDCDCD הוא הגובה ליתר ABABAB.
היקף המשולש ACDACDACD הוא 20 ס"מ, והיקף המשולש CBDCBDCBD הוא 21 ס"מ.
CABD

חשבו את היקף המשולש ABCABCABC.

שאלה 10 · התיכון במשולש הגדול חוצה את הקטע המקבילשאלת ביניים · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע ABABAB, והנקודה EEE נמצאת על הצלע ACACAC, כך ש-DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC.
AMAMAM הוא התיכון לצלע BCBCBC, והוא חותך את הקטע DEDEDE בנקודה NNN.
ABCMDEN

א.

הוכיחו: △ADN∼△ABM\triangle ADN\sim\triangle ABM△ADN∼△ABM ו-△ANE∼△AMC\triangle ANE\sim\triangle AMC△ANE∼△AMC.

ב.

הוכיחו ש-NNN היא אמצע הקטע DEDEDE, והסיקו ש-ANANAN הוא תיכון במשולש ADEADEADE.

ג.

נתון: AD:DB=3:2AD:DB=3:2AD:DB=3:2 ו-AM=10AM=10AM=10. חשבו את אורך הקטע ANANAN ואת אורך הקטע NMNMNM.

עוד 3 שאלות על משפט הדמיון ז.ז.

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מציאת צלעות מיחס ההיקפים (שאלת ביניים · קשה)
משולש $ABC$ הוא שווה שוקיים ( $AB=CB$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AE=AC$ . היקף המשולש $ABC$ הוא $60$ , והיקף המשולש $EAC$ הוא $24$ .
שטחי המשולשים שיוצרים אלכסוני טרפז (שאלת ביניים · קשה)
בטרפז $ABCD$ ( $AD\parallel BC$ ) נתון: $AD=6$ , $BC=15$ . האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $M$ . שטח המשולש $AMD$ הוא $8$ .
חוצי זווית מתאימים במשולשים דומים (שאלת ביניים · קשה)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ , כך ש- $\angle ADE=\angle ACB$ . נתון: $AD=4$ , $AE=6$ , $AC=12$ .…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (15)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

אנכים לחוצה זווית: דמיון ומשפט חוצה הזווית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $BAC$ (הנקודה $D$ על הצלע $BC$ ). מהקודקודים $B$ ו- $C$ מורידים אנכים לישר…
מדידת גובה בעזרת מראה (שאלה קצרה · בינונית)
כדי למדוד את גובהו של עמוד תאורה, הניחה נועה מראה קטנה על הקרקע המישורית, במרחק 9 מטרים מבסיס העמוד. נועה…
חלוקת קטע לפי יחס הדמיון: שני אנכים לישר (שאלה קצרה · קלה)
הקטעים $AB$ ו- $CD$ מאונכים לקטע $BD$ , והנקודות $A$ ו- $C$ נמצאות משני צדי הישר $BD$ . הקטע $AC$ חותך את הקטע…
מניצב ומהיטל של הניצב השני אל היתר (שאלה קצרה · קשה)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הוא הגובה ליתר $AB$ . נתון: $AD=5$ , $BC=6$ .
מקבילית וישר מקודקוד: מכפלת קטעים על הישר (שאלה קצרה · קשה)
$ABCD$ היא מקבילית. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ . הישר $DE$ חותך את האלכסון $AC$ בנקודה $F$ , ואת המשך הצלע…
ארבעת המשולשים בטרפז: משטח אחד לשטח כולו (שאלת ביניים · קשה)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O$ , ומחלקים את הטרפז לארבעה משולשים (ראו…
שני שטחים עם גובה משותף: מיחס השטחים ליחס הדמיון (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ , כך ש- $DE\parallel BC$ . מעבירים את…
קטע מקביל עם ביטויים: משוואה ריבועית ופתרון שנפסל (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ , כך ש- $DE\parallel BC$ (ראו סרטוט).…
מקבילית וישר מקודקוד: שני זוגות של משולשים דומים (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ היא מקבילית. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . המשך הקטע $AE$ (מעבר ל- $E$ ) חותך את המשך הצלע $DC$ (מעבר…
הקטע המקביל לבסיסים דרך מפגש האלכסונים (שאלת ביניים · קשה)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) נתון: $AB=15$ ס"מ, $DC=10$ ס"מ. האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . דרך $O$ מעבירים…
שני משולשים דומים זה ליד זה: השטח שביניהם (שאלת ביניים · קשה)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ נמצאות על ישר אחד, בסדר הזה. מעל הישר בנויים שני משולשים, $ABP$ ו- $BCQ$ , כך…
אלכסוני הטרפז בביטויים: משוואה, פתרון שנפסל ואמצע אלכסון (שאלת ביניים · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O$ (ראו סרטוט). האורכים בס"מ: $AO=x+2$ ,…
חיתוך משולש במקביל לבסיס לפי שטח נתון (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,12)$ , $B(-6,0)$ , $C(10,0)$ . חותכים את המשולש בישר אופקי (מקביל לבסיס…
זוויות עם פרמטר שמתבטל (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ נתון: $\angle A=(\beta+31)^\circ$ , $\angle B=(85-\beta)^\circ$ , כאשר $0<\beta<85$ . במשולש $DEF$ …
קטע מקביל לצלע: אילו יחסים שווים תמיד? (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על הצלע $AB$ , והנקודה $E$ על הצלע $AC$ , כך ש- $DE\parallel BC$ (ראו סרטוט). בכל סעיף…