שאלות פתוחות: יחס כשיעור: צפיפות אוכלוסין, צריכת דלק ומחיר ליחידה - כיתה י"א 3 יח"ל

יחס כשיעור לכיתה י"א, 3 יחידות: צפיפות אוכלוסין, צריכת דלק ומחיר ליחידה. התלמידים משווים צריכת דלק של שתי מכוניות, מחשבים את עלות הנסיעה במכונית בנזין לעומת מכונית חשמלית, ומתמחרים חבילת קפה גדולה כך שתהיה משתלמת. בחלק מהשאלות היחס משתלב בגאומטריה - סוכך צל משולש, גשר עם כבלים ומגרש שמורכב ממלבן ומשולש. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לבנות מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה.

26 שאלותקלה: 4בינונית: 17קשה: 5

שאלה 1 · יחס כשיעור: צפיפות אוכלוסין, צריכת דלק ומחיר ליחידהשאלה קצרה · קלה

צפיפות האוכלוסין בישראל היא בערך 420420420 תושבים לקמ"ר. באזור מטרופולין מסוים גרים 2,520,0002{,}520{,}0002,520,000 תושבים, וצפיפות האוכלוסין בו גדולה פי 888 מצפיפות האוכלוסין בישראל.

חשבו את שטח האזור.

שאלה 2 · יחס כשיעור: צפיפות אוכלוסין, צריכת דלק ומחיר ליחידהשאלה קצרה · בינונית

בסופרמרקט חבילת קפה של 250250250 גרם עולה 242424 שקלים. הספק רוצה להציע גם חבילה גדולה של 1.51.51.5 ק"ג, כך שהמחיר ל-100100100 גרם בחבילה הגדולה יהיה נמוך מהמחיר ל-100100100 גרם בחבילה הקטנה.

א.

מצאו מה צריך להיות מחיר החבילה הגדולה כדי שדרישת הספק תתקיים.

ב.

הספק קבע את מחיר החבילה הגדולה ל-126126126 שקלים. בכמה אחוזים המחיר ל-100100100 גרם בחבילה הגדולה נמוך מהמחיר ל-100100100 גרם בחבילה הקטנה?

שאלה 3 · משולשים דומים: סוכך צל ודגם מוקטן - מהמחיר לצלעות ולשטחשאלה מלאה · קשה

בגן ציבורי נמתח סוכך צל מבד שצורתו משולש ישר זווית DEFDEFDEF (∠DEF=90∘\angle DEF=90^\circ∠DEF=90∘). אורכי הניצבים של הסוכך: DE=2.5DE=2.5DE=2.5 מטר, EF=6EF=6EF=6 מטר.
לחצר של גן ילדים תפרו סוכך קטן יותר, ABCABCABC, הדומה לסוכך שבגן הציבורי (△ABC∼△DEF\triangle ABC\sim\triangle DEF△ABC∼△DEF, ∠A=∠D\angle A=\angle D∠A=∠D, ∠B=∠E\angle B=\angle E∠B=∠E).
את כל שולי הסוכך הקטן חיזקו בסרט תפירה. מטר אחד של סרט עולה 40 שקלים, ובעבור הסרט לסוכך הקטן שולמו 360 שקלים.
(הסרטוט אינו בקנה מידה.)
DEFABC

א.

חשבו את אורך הצלע DFDFDF של הסוכך הגדול.

ב.

חשבו את אורכי הצלעות של הסוכך הקטן.

ג.

כמה אחוזים משטח הבד של הסוכך הגדול הוא שטח הבד של הסוכך הקטן?

ד.

לחצר אחרת רוצים לתפור סוכך שלישי, הדומה לסוכך DEFDEFDEF, ששטח הבד שלו חצי משטח הבד של DEFDEFDEF. כמה שקלים יעלה סרט התפירה לשולי הסוכך השלישי (באותו מחיר למטר)?

שאלה 4 · יחס כשיעור: צפיפות אוכלוסין, צריכת דלק ומחיר ליחידהשאלה קצרה · קלה

צריכת הדלק של מכונית נמדדת במספר הקילומטרים שהיא עוברת בליטר אחד של דלק. מכונית א' נסעה 100100100 ק"מ וצרכה 888 ליטר דלק. מכונית ב' נסעה 252525 ק"מ וצרכה 444 ליטר דלק.

א.

חשבו את צריכת הדלק של כל אחת מהמכוניות, וקבעו איזו מכונית חסכונית יותר. נמקו.

ב.

כמה ליטר דלק תצרוך כל אחת מהמכוניות בנסיעה של 250250250 ק"מ?

שאלה 5 · יחס כשיעור: צפיפות אוכלוסין, צריכת דלק ומחיר ליחידהשאלה קצרה · בינונית

משפחה מתלבטת בין מכונית בנזין למכונית חשמלית. מכונית הבנזין עוברת 151515 ק"מ בליטר, ומחיר ליטר בנזין הוא 7.57.57.5 שקלים. המכונית החשמלית צורכת 161616 קוט"ש (קילוואט-שעה) חשמל לכל 100100100 ק"מ, ומחיר קוט"ש אחד הוא 0.6250.6250.625 שקל. המכונית החשמלית יקרה ב-30,00030{,}00030,000 שקלים ממכונית הבנזין.

א.

חשבו את עלות האנרגיה (בנזין או חשמל) לנסיעה של 100100100 ק"מ בכל אחת מהמכוניות.

ב.

אחרי כמה קילומטרים של נסיעה החיסכון בהוצאות האנרגיה יכסה את הפרש המחירים בין המכוניות?

שאלה 6 · משולשים דומים עם יחס לא ידוע: גשר להולכי רגלשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מתואר גשר להולכי רגל, BEBEBE, ולו ארבעה כבלים ABABAB, ACACAC, DCDCDC, DEDEDE.
הכבלים יוצרים שני משולשים שווי שוקיים ABCABCABC ו-DCEDCEDCE (AB=ACAB=ACAB=AC, DC=DEDC=DEDC=DE), והמשולשים דומים זה לזה.
AFAFAF הוא עמוד המאונך לגשר ואורכו 12 מטרים, ו-DGDGDG הוא עמוד המאונך לגשר (FFF ו-GGG על הגשר).
אורך קטע הגשר BCBCBC הוא 70 מטרים.
ECFBADG

א.

מצאו את אורך הכבל ACACAC.

ב.

הכבלים הוחלפו. המחיר של 1 מטר כבל הוא 450 שקלים, והמחיר של כל הכבלים יחד היה 59,940 שקלים.

מצאו את אורך הכבל DEDEDE ואת יחס הדמיון בין המשולש ABCABCABC ובין המשולש DCEDCEDCE.

ג.

מצאו את אורך הגשר כולו (BEBEBE).

ד.

מצאו את אורך העמוד DGDGDG.

שאלה 7 · מלבן ומשולש ישר זווית: גדר סביב חניון ומחסןשאלה מלאה · קלה

מגרש מורכב מחניון בצורת מלבן ABCDABCDABCD ומשטח למחסן בצורת משולש ישר זווית BCEBCEBCE (∠BCE=90∘\angle BCE=90^\circ∠BCE=90∘), כמתואר בציור. הנקודות DDD, CCC, EEE על ישר אחד.
נתון: DC=20DC=20DC=20 מטר, CE=8CE=8CE=8 מטר, ∠BEC=50∘\angle BEC=50^\circ∠BEC=50∘.
ABCDEחניוןמחסן

א.

הראו כי BC≈9.53BC\approx9.53BC≈9.53 מטר.

ב.

חשבו את אורך הצלע BEBEBE בעזרת משפט פיתגורס.

ג.

הגדר תעבור לאורך הקטעים ABABAB, BEBEBE, EDEDED ו-DADADA. מצאו את אורך הקטע DEDEDE, וחשבו את אורך הגדר.

ד.

מחיר מטר אחד של גדר הוא 150150150 ₪. חשבו את עלות הגדר.

שאלה 8 · משולשים דומים: גינה וערוגת פרחיםשאלה מלאה · בינונית

גנן מתכנן גינה שצורתה משולש ישר זווית KLMKLMKLM (∠KLM=90∘\angle KLM=90^\circ∠KLM=90∘).
אורך הצלע הארוכה ביותר של הגינה (KMKMKM) הוא 12.5 מטר, ואורך הצלע הקצרה ביותר (KLKLKL) הוא 3.5 מטר.
KLMPQR

א.

חשבו את אורך הצלע הבינונית של הגינה (LMLMLM).

ב.

בתוך הגינה תכנן הגנן ערוגת פרחים שצורתה משולש ישר זווית PQRPQRPQR (∠PQR=90∘\angle PQR=90^\circ∠PQR=90∘).
הגינה והערוגה הן משולשים דומים (△PQR∼△KLM\triangle PQR\sim\triangle KLM△PQR∼△KLM), ∠P=∠K\angle P=\angle K∠P=∠K.
אורך הצלע הארוכה ביותר של הערוגה (PRPRPR) הוא 5 מטר.

(1)

פי כמה גדולה הצלע הארוכה ביותר של הגינה מן הצלע הארוכה ביותר של הערוגה?

(2)

חשבו את אורך הצלע הקצרה ביותר של הערוגה (PQPQPQ).

(3)

חשבו את אורך הצלע הבינונית של הערוגה (QRQRQR).

ג.

הגנן החליט להקיף את הערוגה בגדר נמוכה לאורך כל היקפה.
המחיר של 1 מטר גדר הוא 45 שקלים.

(1)

מהו אורך הגדר הדרוש להקפת הערוגה?

(2)

כמה שקלים ישלם הגנן בעבור הגדר?

שאלה 9 · גדר עץ: רכיב חסר, רכיב מגביל ומספר נסיעותשאלה מלאה · קשה

לבניית מטר אחד של גדר עץ דרושים 555 לוחות עץ, 333 מטרים של קורה אופקית וכמות קבועה של ברגים. לוח עץ אחד שוקל 222 ק"ג, ומטר אחד של קורה שוקל 1.51.51.5 ק"ג.

א.

המשקל הכולל של כל החומרים לגדר באורך 404040 מטר הוא 600600600 ק"ג. כמה ק"ג ברגים דרושים למטר אחד של גדר?

ב.

לפרויקט אחר סופקו 1,0001{,}0001,000 לוחות עץ ו-500500500 מטרים של קורה. מהו האורך המקסימלי (במטרים שלמים) של גדר שאפשר לבנות בחומרים אלה?

ג.

כמה מטרים של קורה צריך להוסיף כדי לבנות גדר שבה ינוצלו כל 1,0001{,}0001,000 הלוחות?

ד.

אחרי שהוסיפו את הקורות, בנו גדר באורך 200200200 מטר. את כל החומרים לגדר (לוחות, קורות וברגים) מובילים במשאית שיכולה להוביל עד 1.21.21.2 טון בכל נסיעה. כמה נסיעות לפחות נדרשות?

שאלה 10 · מחיר פסי תאורה לפי המחיר למטרשאלה קצרה · קלה

על החזית של אולם אירועים התקינו קישוט תאורה. לקישוט יש ארבעה פסי תאורה ABABAB, ACACAC, DCDCDC, DEDEDE היוצרים שני משולשים שווי שוקיים ABCABCABC ו-DCEDCEDCE (AB=ACAB=ACAB=AC, DC=DEDC=DEDC=DE). אורך פס התאורה ACACAC הוא 2.6 מטרים, ואורך פס התאורה DEDEDE הוא 3.9 מטרים.

פסי התאורה נמכרים לפי אורך.
המחיר של 1 מטר פס תאורה הוא 85 שקלים.

מצאו את המחיר של כל פסי התאורה של הקישוט.

עוד 11 שאלות על יחס כשיעור: צפיפות אוכלוסין, צריכת דלק ומחיר ליחידה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

דמיון משולשים: שתי מדשאות - צלעות, שטח ומחיר (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק יש שתי מדשאות בצורת משולשים ישרי זווית ( $\angle E=\angle B=90^\circ$ ), כמתואר בסרטוט. המדשאה הגדולה ( $\triangle ABC$ ) והמדשאה הקטנה…
עלות אנרגיה ל-100 ק"מ: מכונית בנזין ומכונית חשמלית (שאלה קצרה · קשה)
משפחה מתלבטת בין מכונית בנזין למכונית חשמלית. מכונית הבנזין עוברת $15$ ק"מ בליטר, ומחיר ליטר בנזין הוא $7.5$ שקלים. המכונית החשמלית צורכת…
משולשים שווי שוקיים דומים: קישוט תאורה (שאלה מלאה · בינונית)
על החזית של אולם אירועים התקינו קישוט תאורה (ראו סרטוט). בבסיס הקישוט יש קורת עץ ישרה $BE$ . לקישוט יש ארבעה פסי תאורה $AB$ , $AC$ , $DC$ , $DE$ …
קניית צבע לקירות: מחיר לליטר, כמות לפי שטח וקנייה זולה ביותר (שאלת ביניים · קשה)
בחנות לחומרי בניין נמכר צבע לקירות בשני גדלים: פחית של $2.5$ ליטר במחיר $95$ שקלים, ופח של $10$ ליטר במחיר $340$ שקלים. ליטר אחד של צבע…
משולשים שווי שוקיים דומים: פסל בצורת שעון חול (שאלה מלאה · בינונית)
בכיכר העיר הציבו פסל מתכת בצורת שעון חול (ראו סרטוט). הפסל בנוי מארבעה מוטות משופעים $AB$ , $AC$ , $AD$ , $AE$ ומשני מוטות אופקיים: $BC$ מונח…
שטחים בחצר: טרפז ישר זווית בתוך מלבן (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם חצר בצורת מלבן, שממדיה 30 מ' × 16 מ'. בחלק מהחצר, שצורתו טרפז ישר זווית, ריצפו באבנים. בשטח שנותר, בצורת משולש ישר זווית,…
טיילת עץ: חומרים לפי אורך (שאלה מלאה · בינונית)
טיילת עץ לאורך חוף הים בנויה מקרשי עץ, מקורות תמיכה ומבטון ליסודות. לבניית מטר אחד של טיילת דרושים $6$ קרשים, $2$ קורות תמיכה באורך מטר אחד…
יחס כשיעור: צפיפות אוכלוסין, צריכת דלק ומחיר ליחידה (שאלה קצרה · בינונית)
מכונה לצביעת פסים בכביש צורכת $0.4$ ליטר צבע לכל מטר של פס.
טריגונומטריה: שתי בריכות צמודות - מלבן ומשולש ישר זווית (שאלה מלאה · בינונית)
בבית מלון בנו שתי בריכות שחייה הצמודות זו לזו: בריכה לילדים בצורת משולש ישר זווית $BCE$ , ובריכה למבוגרים בצורת מלבן $ABCD$ , כמתואר בציור.…
טריגונומטריה: מדשאה וערוגה - מלבן ומשולש ישר זווית (שאלה מלאה · בינונית)
בגן ציבורי יש מדשאה בצורת מלבן $ABCD$ , וצמודה אליה ערוגת פרחים בצורת משולש ישר זווית $BCE$ ( $\angle BCE=90^\circ$ ), כמתואר בציור. הנקודות…
צפיפות אוכלוסין בשכונה: המרת דונם לקמ"ר, בנייה חדשה וצירוף שטח (שאלת ביניים · בינונית)
בשכונה ששטחה $2{,}400$ דונם גרים $27{,}000$ תושבים. ( $1$ קמ"ר $=1{,}000$ דונם.)

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולשים דומים: שולחן פינתי ומשטח זכוכית · בגרות 371 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נגר בונה שולחן כתיבה פינתי. השולחן עשוי ממשטח עץ שצורתו משולש ישר זווית $DEF$ ( $\angle DEF=90^\circ$ ). אורך הצלע הארוכה ביותר של משטח העץ ( $DF$ ) הוא 2.5 מטר,…
דמיון משולשים: שני מפרשים - צלעות, שטח ומחיר בד · בגרות 371 חורף 2024, שאלה 3
בסרטוט שלפניכם מתוארת סירה ובה שני מפרשים בצורת משולשים ישרי זווית ( $\angle E=\angle B=90^\circ$ ). המפרש הגדול ( $\triangle ABC$ ) והמפרש הקטן ( $\triangle DEF$ )…
משולשים שווי שוקיים דומים: גשר מיתרים · בגרות 371 חורף 2026, שאלה 3
בסרטוט שלפניכם מתואר גשר ישר, $BE$ . לגשר יש ארבעה מיתרים $AB$ , $AC$ , $DC$ , $DE$ היוצרים שני משולשים שווי שוקיים $ABC$ ו- $DCE$ ( $AB=AC$ , $DC=DE$ ). הנקודה $F$ …
שטחים במגרש: טרפז שווה שוקיים בתוך מלבן · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 4
בסרטוט שלפניך מגרש משחקים בצורת מלבן, שממדיו 25 מ' × 10 מ'. בחלק מהמגרש, שצורתו טרפז שווה שוקיים, שתלו דשא. את השטח שנותר, בצורת שני משולשים ישרי זווית זהים,…
מסילת רכבת: חומרים לפי אורך · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 4
מסילת רכבת מורכבת מחלקי מתכת, עץ וחצץ - המשמש כתמיכה למסילה. לצורך בניית מטר אחד של מסילה דרושים $4$ קורות עץ, $2$ קורות מתכת באורך מטר אחד וכ- $100$ ק"ג חצץ.