שאלות פתוחות: זווית גובה וזווית עומק - כיתה י"א 3 יח"ל

זווית גובה וזווית עומק לכיתה י"א, 3 יחידות. התלמידים מחשבים גובה בניין כשעיני המתבונן בגובה 1.6 מטר, מרחק של ספינה ממסוק שטס אופקית, גובה מגדל מים שרואים משני צדדיו, וגובה עץ שגדל על קצה צוק. יש גם שאלות שבהן רואים חלון ואת ראש הבניין בשתי זוויות, ותצפית מחלון בבניין אחד על בניין שמולו. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מכאן אפשר לבנות מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל סעיף ויצוא ל-Word.

42 שאלותקלה: 6בינונית: 23קשה: 13

שאלה 1 · זווית גובה וזווית עומקשאלה קצרה · קלה

מיכל עומדת על קרקע מישורית במרחק 121212 מטר מבניין. עיניה של מיכל, בנקודה EEE, נמצאות בגובה 1.61.61.6 מטר מעל הקרקע, והיא רואה את ראש הבניין TTT בזווית גובה של 30∘30^\circ30∘ (ראו סרטוט).
FEBT

מצאו את גובה הבניין. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

שאלה 2 · זווית גובה וזווית עומקשאלה קצרה · בינונית

מסוק מרחף בגובה 300300300 מטר מעל פני הים. הטייס רואה ספינה בזווית עומק של 25∘25^\circ25∘. המסוק טס אופקית, באותו גובה, במהירות קבועה של 404040 מטר לשנייה, עד שהוא נמצא בדיוק מעל הספינה. הספינה אינה זזה.

האם המסוק יגיע למקום שמעל הספינה בפחות מ-151515 שניות? נמקו.

שאלה 3 · זווית גובה וזווית עומקשאלה קצרה · קשה

אסף ומיכל עומדים על קרקע מישורית משני צדיו של מגדל מים FTFTFT (FFF בסיס המגדל, TTT ראשו). אסף עומד בנקודה AAA ומיכל בנקודה MMM, והנקודות AAA, FFF, MMM נמצאות על קו ישר אחד (ראו סרטוט). המרחק בין אסף למיכל הוא 100100100 מטר. אסף רואה את ראש המגדל בזווית גובה של 35∘35^\circ35∘, ומיכל רואה אותו בזווית גובה של 50∘50^\circ50∘. הזניחו את גובה העיניים.
AMFT

מצאו את גובה המגדל. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

שאלה 4 · טריגונומטריה: צוק, סירה ומצנח רחיפה - שלב אחר שלבשאלה מלאה · קלה

גלעד עומד על שפת צוק בנקודה B.
בנקודה C, בים שלמרגלות הצוק, נמצאת סירת דייגים.
בנקודה A, שגובהה שווה לגובה הצוק, נמצא רוחף במצנח רחיפה (ראו ציור). הנקודה D נמצאת על הקטע AB, ו-CD מאונך ל-AB.
זווית העומק שבה הרוחף רואה את הסירה היא ∢BAC=50∘\sphericalangle BAC=50^\circ∢BAC=50∘, והמרחק בין הרוחף לסירה (AC) הוא 800 מטרים.
זווית העומק שבה גלעד רואה את הסירה היא ∢ABC=35∘\sphericalangle ABC=35^\circ∢ABC=35∘.
35°50°800BDAC

א.

חשבו את המרחק AD.

ב.

חשבו את הגובה של הרוחף מעל פני הים (CD).

ג.

חשבו את המרחק BD.

ד.

מהירות הרחיפה היא 12 מטרים לשנייה. האם יוכל הרוחף להגיע אל גלעד (נקודה B) בפחות מדקה וחצי? פרטו את חישוביכם.

שאלה 5 · זווית גובה וזווית עומקשאלה קצרה · בינונית

רינה עומדת בנקודה BBB על הקרקע, במרחק 101010 מטר מבסיס CCC של בניין. היא רואה חלון DDD בבניין בזווית גובה של 25∘25^\circ25∘, ואת ראש הבניין AAA בזווית גובה של 60∘60^\circ60∘ (ראו סרטוט). הזניחו את גובה העיניים.
CBAD

מצאו את המרחק ADADAD בין החלון לראש הבניין. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

שאלה 6 · טריגונומטריה: גובה בניין משתי זוויות גובהשאלה מלאה · קשה

ABABAB הוא בניין הניצב לקרקע (∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘).
נוי עומדת בנקודה DDD ורואה את ראש הבניין AAA בזווית גובה של 30∘30^\circ30∘ (∠ADB=30∘\angle ADB=30^\circ∠ADB=30∘).
נוי הולכת 40 מטר ישר לכיוון הבניין, לנקודה CCC שעל הקטע DBDBDB (CD=40CD=40CD=40 מטר). מהנקודה CCC היא רואה את AAA בזווית גובה של 48∘48^\circ48∘ (∠ACB=48∘\angle ACB=48^\circ∠ACB=48∘).
ABCD

א.

חשבו את גובה הבניין ABABAB.

ב.

חשבו את המרחק BDBDBD בין הנקודה DDD לבניין.

ג.

נוי ממשיכה ללכת מ-CCC לכיוון הבניין. כמה מטרים עליה ללכת מ-CCC עד שתראה את AAA בזווית גובה של 60∘60^\circ60∘?

ד.

נוי ממשיכה מ-CCC לבניין במהירות קבועה של 1.2 מטר לשנייה. באותו רגע יוצא חבר שלה מ-DDD ורץ לבניין לאורך הקו DBDBDB במהירות קבועה. מהי המהירות המזערית שבה עליו לרוץ כדי להגיע לבניין לפני נוי?

שאלה 7 · זוויות גובה מנקודה ידועה: גובה צוק ועץשאלה מלאה · קלה

מנקודה AAA על הקרקע, במרחק 120 מ' מבסיס BBB של צוק אנכי, רואים את ראש הצוק CCC בזווית גובה של 30∘30^\circ30∘, ואת ראש העץ DDD שגדל על קצה הצוק בזווית גובה של 40∘40^\circ40∘.
(AB=120AB=120AB=120 מ', ∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ∠BAC=30∘, ∠BAD=40∘\angle BAD=40^\circ∠BAD=40∘.)
ABCD

א.

חשבו את גובה הצוק (BCBCBC).

ב.

חשבו את הגובה של ראש העץ מעל הקרקע (BDBDBD).

ג.

מהו גובה העץ (CDCDCD)?

ד.

מהו המרחק מהנקודה AAA לראש העץ (ADADAD)?

שאלה 8 · זווית גובה וזווית עומקשאלה קצרה · בינונית

מאיה עומדת ליד חלון WWW בבניין, בגובה 181818 מטר מעל הקרקע (MMM הוא בסיס הבניין שלה). מול הבניין שלה עומד בניין אחר PTPTPT. מהחלון מאיה רואה את ראש הבניין השני TTT בזווית גובה של 25∘25^\circ25∘, ואת הבסיס שלו PPP בזווית עומק של 40∘40^\circ40∘ (ראו סרטוט).
MWPT

א.

מצאו את המרחק בין שני הבניינים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

ב.

מצאו את גובה הבניין השני. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

שאלה 9 · טריגונומטריה: שתי פסגות ואתר קמפינג - גובה לא ידועשאלה מלאה · קשה

שני מטיילים עומדים על שתי פסגות שגובהן שווה: האחד בנקודה B והשני בנקודה A. המרחק האופקי בין הפסגות הוא AB=1,500 מטרים.
בעמק שבין הפסגות נמצא אתר קמפינג, בנקודה C (ראו ציור). הנקודה D נמצאת על AB, ו-CD מאונך ל-AB.
המטייל שב-B רואה את אתר הקמפינג בזווית עומק של 40∘40^\circ40∘ (∢ABC=40∘\sphericalangle ABC=40^\circ∢ABC=40∘), והמטייל שב-A רואה אותו בזווית עומק של 55∘55^\circ55∘ (∢BAC=55∘\sphericalangle BAC=55^\circ∢BAC=55∘).
הנקודה E נמצאת בעמק, בדיוק מתחת ל-B.
40°55°BDACE

א.

מצאו את הגובה של הפסגות מעל העמק (CD).

ב.

מהו המרחק בקו ישר בין המטייל שב-A לאתר הקמפינג (AC)?

ג.

רכב יצא מאתר הקמפינג C ונסע בקו ישר לכיוון הנקודה E. כשהרכב הגיע לנקודה F, ראה אותו המטייל שב-B בזווית עומק של 60∘60^\circ60∘.

כמה מטרים נסע הרכב מ-C עד F?

שאלה 10 · טריגונומטריה: גובה עץ משני משולשיםשאלה מלאה · קלה

דני עומד ליד חלון בקומה גבוהה (הנקודה CCC) ומסתכל על עץ שנמצא במרחק אופקי של 10 מ' ממנו (CD=10CD=10CD=10 מ').
זווית הגובה מ-CCC אל ראש העץ AAA היא 35∘35^\circ35∘ (∠ACD=35∘\angle ACD=35^\circ∠ACD=35∘), וזווית העומק מ-CCC אל בסיס העץ BBB היא 20∘20^\circ20∘ (∠DCB=20∘\angle DCB=20^\circ∠DCB=20∘).
CDCDCD מאונך לעץ ABABAB (ראו סרטוט).
ABCD

א.

חשבו את אורך הקטע ADADAD (החלק של העץ שמעל גובה העיניים של דני).

ב.

חשבו את אורך הקטע DBDBDB (הגובה של החלון מעל בסיס העץ).

ג.

מהו גובה העץ?

עוד 28 שאלות על זווית גובה וזווית עומק

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זווית גובה וזווית עומק (שאלה קצרה · בינונית)
רינה עומדת על שפת צוק שגובהו $80$ מטר מעל פני הים. היא רואה סירה בזווית עומק של $15^\circ$ . הסירה שטה בקו ישר אל מרגלות הצוק, במהירות קבועה…
בניין ואנטנה: שתי זוויות ראייה מאותה נקודה (שאלה מלאה · קשה)
נועה עומדת בנקודה A, במרחק לא ידוע מבניין. הבסיס של הבניין בנקודה B וראש הבניין בנקודה C. על גג הבניין מוצבת אנטנה שאורכה 8 מטרים, והקצה…
טריגונומטריה: מתקן נדנדה וכבל ייצוב (שאלה מלאה · קלה)
מתקן נדנדה בנוי משתי רגליים, $DB$ ו- $CB$ , שאורך כל אחת מהן $2.5$ מ׳. הקודקוד $B$ נמצא בגובה $BT=2.4$ מ׳ מעל הקרקע.
טריגונומטריה: פסגת הר, רכב בעמק ורחפן - זוויות עומק (שאלה מלאה · בינונית)
תצפיתנית עומדת על פסגת הר בנקודה B. בנקודה C, שנמצאת בעמק שלמרגלות ההר, עומד רכב שטח. בנקודה A, שגובהה שווה לגובה הפסגה, מרחף רחפן (ראו…
טריגונומטריה: גובה מגדל משתי זוויות הגבהה (שאלה מלאה · קשה)
מודדת רוצה לחשב את הגובה של מגדל מים. $A$ היא ראש המגדל, ו- $C$ היא הנקודה על הקרקע שמתחתיו ( $AC$ מאונך לקרקע). מהנקודה $B$ על הקרקע המודדת…
זווית גובה וזווית עומק מחלון אל עץ (שאלה קצרה · קלה)
דני עומד ליד חלון בקומה גבוהה (הנקודה $C$ ) ומסתכל על עץ שנמצא במרחק אופקי של 10 מ' ממנו ( $CD=10$ מ'). זווית הגובה מ- $C$ אל ראש העץ $A$ היא…
זווית גובה וזווית עומק (שאלה קצרה · בינונית)
נועה עומדת במרחק 60 מטרים מבניין, ורואה את ראש הבניין בזווית גובה (הגבהה) של $28^\circ$ . עיניה של נועה נמצאות בגובה 1.6 מטרים מעל הקרקע.
דמיון משולשים: גובה המנורה משתי עמדות (שאלה מלאה · קשה)
אדם שגובהו $1.8$ מ' עומד ליד עמוד תאורה, והצל שהמנורה מטילה ממנו הוא באורך $2.4$ מ'. האדם מתרחק מהעמוד עוד $5$ מ' בקו ישר, ועכשיו אורך הצל…
דמיון משולשים: צל של ילד ליד פנס (שאלה מלאה · בינונית)
ילד שגובהו $1.6$ מ' עומד במרחק $9$ מ' מעמוד שבראשו פנס. גובה הפנס מעל הקרקע הוא $6.4$ מ' (ראו סרטוט). $A$ - הפנס, $B$ - בסיס העמוד, $D$ -…
זוויות גובה: גובה צוק לא ידוע מגובה המגדלור שעליו (שאלה מלאה · קשה)
מסירה בנקודה $A$ רואים את ראש הצוק $C$ בזווית גובה של $25^\circ$ , ואת ראש המגדלור $D$ שעל הצוק בזווית גובה של $35^\circ$ . גובה המגדלור…
זווית גובה וזווית עומק (שאלה קצרה · בינונית)
מנקודה על הקרקע, במרחק $25$ מ' מבסיס מגדל אנכי, מסתכלים על ראש המגדל. גובה המגדל $18$ מ'.
טריגונומטריה: מרחק לא ידוע משתי נקודות תצפית (שאלה מלאה · קשה)
יוסף עומד על גבעה בנקודה $C$ ומסתכל על בניין $AB$ שעומד במישור. $CD$ אופקי ומאונך לבניין. מהנקודה $C$ זווית הגובה אל ראש הבניין היא…
זווית גובה: מרחק מבניין וגובה אנטנה על הגג (שאלה מלאה · בינונית)
עומר עומד בנקודה $A$ במגרש מישורי מול בניין. על גג הבניין מוצבת אנטנה אנכית $CD$ . עומר רואה את גג הבניין בזווית גובה של $28^\circ$ (…
טריגונומטריה: גובה פנס על מגדל טיפוס משתי נקודות תצפית (שאלה מלאה · קשה)
מגדל טיפוס בגן שעשועים בנוי משתי רגליים שוות באורכן, $DB$ ו- $CB$ , הנפגשות בקודקוד $B$ . מעל $B$ מותקן מוט אנכי $AB$ , ובקצהו העליון $A$ פנס.…
זווית גובה וזווית עומק (שאלה קצרה · בינונית)
מראש מגדלור שגובהו 45 מ' מעל פני הים רואים סירה בזווית עומק של $18^\circ$ . (זווית העומק היא הזווית בין הקו האופקי שעובר בראש המגדלור לבין קו…
טריגונומטריה: רחפן מעל כביש - שתי זוויות הגבהה ומשוואה (שאלה מלאה · קשה)
רחפן ( $C$ ) מרחף בדיוק מעל הנקודה $D$ שעל כביש ישר. שני צופים עומדים על הכביש בנקודות $A$ ו- $B$ , משני צדי $D$ , במרחק של $700$ מ' זה מזה.…
זווית גובה וזווית עומק (שאלה קצרה · בינונית)
מחלון בבניין, בגובה 20 מ' מעל הקרקע, רואים את ראש המגדל שנמצא מול הבניין בזווית גובה של $35^\circ$ , ואת בסיס המגדל בזווית עומק של…
טריגונומטריה: גובה רחפן משתי זוויות עומק ומרחק ידוע (שאלה מלאה · קשה)
רחפן $D$ מרחף בגובה $h$ מטר מעל הנקודה $C$ שעל הקרקע. מהרחפן רואים שני סלעים, $A$ ו- $B$ , שנמצאים על קו ישר אחד עם $C$ , באותו צד של $C$ (ראו…
טריגונומטריה: זווית גובה וזווית עומק ממרפסת (שאלה מלאה · בינונית)
מירב עומדת במרפסת של בניין ורוצה למדוד גובה של מגדל מים שעומד מולה. המרחק האופקי בין מירב (הנקודה $C$ ) לבין המגדל הוא 15 מ' ( $CD=15$ מ').…
שתי זוויות גובה מאותה נקודה אל בניין ואנטנה: המרחק מהבניין (שאלה קצרה · קשה)
נועה עומדת בנקודה A, במרחק לא ידוע מבניין. הבסיס של הבניין בנקודה B וראש הבניין בנקודה C. על גג הבניין מוצבת אנטנה שאורכה 8 מטרים, והקצה…
זווית גובה וזווית עומק (שאלה קצרה · בינונית)
נועה עומדת במרחק אופקי של 30 מ' ממגדל ורואה את ראש המגדל בזווית גובה של $38^\circ$ . עיניה של נועה נמצאות בגובה $1.6$ מ' מעל הקרקע, והקרקע…
שתי נקודות תצפית: גובה בניין ממדידה בשתי זוויות גובה (שאלת ביניים · קשה)
$AB$ הוא בניין הניצב לקרקע ( $\angle ABD=90^\circ$ ). נוי עומדת בנקודה $D$ ורואה את ראש הבניין $A$ בזווית גובה של $30^\circ$ (…
זווית גובה וזווית עומק (שאלה קצרה · בינונית)
מראש מגדלור שגובהו 50 מ' מעל פני הים רואים סירה בזווית עומק של $14^\circ$ .
טריגונומטריה: מגדל טלוויזיה ותייר (שאלה מלאה · בינונית)
מגדל הטלוויזיה באחת הערים בנוי מ"רגליים" ( $DB$ , $CB$ ), שאורך כל אחת מהן הוא $204$ מ׳, ומאנטנה בחלקו העליון ( $AB$ ) שאורכה $170$ מ׳. הגובה…
טריגונומטריה: אוהל עם מוט דגל (שאלה מלאה · בינונית)
אוהל בנוי משני מוטות, $DB$ ו- $CB$ , שאורך כל אחד מהם $2.6$ מ׳, ומעל הקודקוד $B$ מוצב מוט דגל $AB$ שאורכו $0.9$ מ׳. הגובה הכולל מהקרקע עד קצה…
זווית גובה וזווית עומק (שאלה קצרה · בינונית)
גובהו של מגדל מים $PQ$ הוא $32$ מ׳ ( $Q$ - בסיס המגדל). נועה עומדת בנקודה $E$ על הקרקע, במרחק $18$ מ׳ מ- $Q$ . (מזניחים את גובה העיניים של…
טריגונומטריה: גובה של כדור פורח - שני משולשים ישרי זווית (שאלה מלאה · בינונית)
כדור פורח ( $C$ ) מרחף בדיוק מעל הנקודה $D$ שבשדה. שני צופים עומדים בשדה בנקודות $A$ ו- $B$ , משני צדי $D$ , במרחק של $900$ מ' ( $AB$ ) זה מזה.…
שתי זוויות עומק מתצפיתנית ומרחפן אל רכב בעמק (שאלת ביניים · בינונית)
תצפיתנית עומדת על פסגת הר בנקודה B. בנקודה C, שנמצאת בעמק שלמרגלות ההר, עומד רכב שטח. בנקודה A, שגובהה שווה לגובה הפסגה, מרחף רחפן (ראו…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

טריגונומטריה: צוק, ספינה ומסוק - זוויות עומק · בגרות 371 חורף 2022, שאלה 3
נדב עומד על שפת צוק בנקודה B. בנקודה C, שנמצאת בים למרגלות הצוק, שטה ספינה. בנקודה A, שגובהה שווה לגובה הצוק, מרחף מסוק (ראה ציור). זווית העומק שבה נדב רואה את…
דמיון משולשים: צל של אדם ליד עמוד תאורה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 2
אדם, שגובהו $1.75$ מ', מתרחק מעמוד תאורה מרחק של $8$ מ'. הגובה של המנורה הוא $8.75$ מ' (ראו סרטוט). $A$ - המנורה, $B$ - בסיס העמוד, $D$ - ראש האדם, $C$ - כפות…
זווית גובה: מרחק סירה מהחוף וגובה מגדלור על גבעה · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 4
יפית נמצאת על סירה בלב הים. היא רואה את הגבעה ועליה מגדלור בזווית בת $42^\circ$ ( $\angle BAD=42^\circ$ ), ורואה את הגבעה בזווית בת $33^\circ$ (…
טריגונומטריה: זווית גובה וזווית עומק למדידת עץ · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 3
יוסף רוצה למדוד גובה של עץ ברוש. הוא נמצא במרחק של 12 מ' מעץ הברוש ( $CD=12$ מ'), ובאמצעות מכשיר מיוחד הוא מוצא את זווית הגובה ואת זווית העומק: זווית הגובה אל…