שאלות פתוחות: סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחסי צלעות במשולש ישר זווית - כיתה י"א 3 יח"ל

סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחסי צלעות במשולש ישר זווית, שאלות לכיתה י"א 3 יחידות. השאלות מעשיות ברובן: שתי מגלשות בגן שעשועים, רמפת העמסה למחסן, ביתן בחצר בית הספר, זווית גובה לראש בניין, וקיאקים שמשיטים אל רפסודה. בחלק מהשאלות נתון ערך של פונקציה טריגונומטרית, כמו קוסינוס של זווית שווה ל-5/13, ומוצאים ממנו צלעות. יש גם לוח זכוכית בצורת מקבילית. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לבנות מהן מבחן או דף עבודה עם פתרונות מלאים.

42 שאלותקלה: 9בינונית: 27קשה: 6

שאלה 1 · סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחסי צלעות במשולש ישר זוויתשאלה קצרה · קלה

בגן שעשועים שתי מגלשות ישרות. אורך מגלשה א' הוא 444 מטר, ועבור הזווית α\alphaα שבינה לבין הקרקע ידוע ש-sin⁡α=0.6\sin\alpha=0.6sinα=0.6. המרחק האופקי שמגלשה ב' עוברת הוא 3.23.23.2 מטר, ועבור הזווית β\betaβ שבינה לבין הקרקע ידוע ש-tan⁡β=0.75\tan\beta=0.75tanβ=0.75.

א.

מצאו את הגובה של ראש כל אחת מהמגלשות.

ב.

מצאו את אורך מגלשה ב'.

שאלה 2 · סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחסי צלעות במשולש ישר זוויתשאלה קצרה · בינונית

חלקת דשא בצורת משולש ישר זווית ABCABCABC (∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘). הצלע ACACAC, שלאורך הגדר, היא 101010 מטר, ו-cos⁡∠A=513\cos\angle A=\frac{5}{13}cos∠A=135​ (ראו סרטוט).
CAB

מצאו את שטח החלקה.

שאלה 3 · סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחסי צלעות במשולש ישר זוויתשאלה קצרה · קשה

רמפת העמסה ישרה עולה מהמדרכה אל פתח המחסן של חנות. אורך הרמפה גדול ב-0.10.10.1 מטר מהמרחק האופקי שהיא עוברת. עבור זווית השיפוע α\alphaα של הרמפה ידוע ש-sin⁡α=0.28\sin\alpha=0.28sinα=0.28.

מצאו לאיזה גובה עולה הרמפה.

שאלה 4 · טריגונומטריה במקבילית: לוח זכוכית דקורטיבישאלה מלאה · קלה

לוח זכוכית דקורטיבי בנוי בצורת מקבילית ABCDABCDABCD. אורכי הצלעות: AB=20AB=20AB=20 ס"מ, AD=45AD=45AD=45 ס"מ, והזווית BADBADBAD היא 40∘40^\circ40∘.
BEBEBE הוא הגובה מ-BBB לצלע ADADAD, כך שהמשולש ABEABEABE ישר זווית ב-EEE.
ADBCE

א.

במשולש ABEABEABE: איזו צלע היא היתר, ואיזה ניצב נמצא מול הזווית AAA? מצאו את BEBEBE.

ב.

מצאו את שטח המקבילית.

ג.

מצאו את אורך AEAEAE, ואת אורך EDEDED.

ד.

בין BBB ל-DDD מדביקים פס ישר. היעזרו במשולש ישר הזווית BEDBEDBED ומצאו את אורך הפס BDBDBD.

שאלה 5 · חזית משולשת של ביתן: פיתגורס, טריגונומטריה ועלותשאלה מלאה · בינונית

בחצר בית ספר בנו ביתן שהחזית שלו היא משולש ABCABCABC. הצלעות ABABAB ו-BCBCBC הן קורות הגג, והצלע ACACAC היא קורת הבסיס. BDBDBD הוא עמוד מרכזי המאונך לקורת הבסיס ACACAC (ראו סרטוט).
נתון: BD=2.4BD=2.4BD=2.4 מטרים, DC=2DC=2DC=2 מטרים.
ADCB

א.

מצאו את אורך הקורה BCBCBC.

ב.

הקורה ABABAB יוצרת עם קורת הבסיס זווית של 35∘35^\circ35∘.

מצאו את אורך הקורה ABABAB.

ג.

בעל הביתן החליט לכסות את החזית (המשולש ABCABCABC) בלוחות עץ.

(1)

מצאו את אורך קורת הבסיס ACACAC.

(2)

מצאו כמה מ"ר של לוחות עץ דרושים לכיסוי החזית.

ד.

מחיר של 1 מ"ר לוחות עץ הוא 85 שקלים. נוסף על כך שילם בעל הביתן 450 שקלים לנגר שהתקין את הלוחות.

מהו הסכום הכולל ששילם בעל הביתן?

שאלה 6 · טריגונומטריה: גובה בניין משתי זוויות גובהשאלה מלאה · קשה

ABABAB הוא בניין הניצב לקרקע (∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘).
נוי עומדת בנקודה DDD ורואה את ראש הבניין AAA בזווית גובה של 30∘30^\circ30∘ (∠ADB=30∘\angle ADB=30^\circ∠ADB=30∘).
נוי הולכת 40 מטר ישר לכיוון הבניין, לנקודה CCC שעל הקטע DBDBDB (CD=40CD=40CD=40 מטר). מהנקודה CCC היא רואה את AAA בזווית גובה של 48∘48^\circ48∘ (∠ACB=48∘\angle ACB=48^\circ∠ACB=48∘).
ABCD

א.

חשבו את גובה הבניין ABABAB.

ב.

חשבו את המרחק BDBDBD בין הנקודה DDD לבניין.

ג.

נוי ממשיכה ללכת מ-CCC לכיוון הבניין. כמה מטרים עליה ללכת מ-CCC עד שתראה את AAA בזווית גובה של 60∘60^\circ60∘?

ד.

נוי ממשיכה מ-CCC לבניין במהירות קבועה של 1.2 מטר לשנייה. באותו רגע יוצא חבר שלה מ-DDD ורץ לבניין לאורך הקו DBDBDB במהירות קבועה. מהי המהירות המזערית שבה עליו לרוץ כדי להגיע לבניין לפני נוי?

שאלה 7 · מגלשה: יתר וניצב מזווית, שטח, ומגלשה חדשה מאותו ראששאלה מלאה · קלה

בגן שעשועים הוצבה מגלשה BCBCBC. BDBDBD הוא עמוד אנכי שגובהו 2.8 מטרים, ו-DDD ו-CCC נמצאים על הקרקע (ראו סרטוט). המגלשה יוצרת עם הקרקע זווית של 38∘38^\circ38∘.
DCB

א.

מצאו את אורך המגלשה, BCBCBC.

ב.

מצאו את המרחק DCDCDC שעל הקרקע.

ג.

את המשולש BDCBDCBDC שמתחת למגלשה מכסים בלוח צבעוני. מה שטח הלוח?

ד.

(1)

המגלשה הוחלפה במגלשה ארוכה יותר, שאורכה 5.5 מטרים. היא יוצאת מאותה נקודה BBB שבראש העמוד ויורדת לנקודה חדשה על הקרקע, על המשך DCDCDC. מהי הזווית שבין המגלשה החדשה לקרקע?

(2)

בכמה מטרים התרחקה נקודת הסיום של המגלשה מן העמוד, לעומת המגלשה המקורית?

שאלה 8 · טריגונומטריה: קיאקים אל רפסודהשאלה מלאה · בינונית

יואב ונועה יצאו לשוט בקיאקים. יואב יצא מנקודה AAA ונועה יצאה מנקודה BBB.
שניהם שטו בקו ישר אל רפסודה הנמצאת בנקודה CCC.
הנקודה DDD נמצאת על הקטע ABABAB כך ש-CDCDCD מאונך ל-ABABAB (ראו סרטוט).
נתון כי המרחק ששט יואב עד לרפסודה (ACACAC) הוא 240240240 מטרים.
גודל הזווית שבין המסלול של יואב לבין הקטע ABABAB הוא 38∘38^\circ38∘.
ABCD

א.

מצאו את המרחק של הרפסודה מן הקטע ABABAB (CDCDCD).

ב.

נתון כי המרחק בין נקודת היציאה של נועה ובין הנקודה DDD (BDBDBD) הוא 707070 מטרים.

מצאו את גודל הזווית שבין המסלול של נועה לבין הקטע ABABAB (∠CBD\angle CBD∠CBD).

ג.

מצאו את המרחק בין הנקודות שמהן יצאו יואב ונועה.

ד.

לאחר שנועה הגיעה לרפסודה, היא חזרה לנקודה BBB בדיוק באותו המסלול.

מצאו כמה מטרים סך הכול שטה נועה.

שאלה 9 · טריגונומטריה: מרחק המצוף משתי זוויותשאלה מלאה · קשה

נוי וטל עומדות על החוף בנקודות AAA ו-BBB, שהמרחק ביניהן 200200200 מטרים. מצוף נמצא בים בנקודה CCC.
הנקודה DDD נמצאת על הקטע ABABAB כך ש-CD⊥ABCD\perp ABCD⊥AB, ו-MMM היא אמצע הקטע ABABAB (ראו סרטוט).
נתון: ∠CAB=35∘\angle CAB=35^\circ∠CAB=35∘, ∠CBA=62∘\angle CBA=62^\circ∠CBA=62∘. נוי שוחה מ-AAA אל המצוף, וטל שוחה מ-BBB אל המצוף, כל אחת בקו ישר.
ABCDM

א.

מצאו את המרחק של המצוף מן החוף (CDCDCD).

ב.

מי משתי השחייניות שחתה מרחק גדול יותר עד המצוף, ובכמה מטרים?

ג.

שחיין שלישי יצא מהנקודה MMM ושחה בקו ישר אל המצוף. מצאו את המרחק שהוא שחה ואת הזווית בין המסלול שלו לבין החוף (∠CMB\angle CMB∠CMB).

שאלה 10 · טריגונומטריה: פירוק משולש בגובהשאלה מלאה · קלה

גל ודנה שחו אל רפסודה בים. גל יצא מנקודה AAA ודנה יצאה מנקודה BBB, ושניהם שחו בקו ישר אל הרפסודה שבנקודה CCC.
הנקודה DDD נמצאת על הקטע ABABAB כך ש-CD⊥ABCD\perp ABCD⊥AB (ראו סרטוט).
נתון: AC=150AC=150AC=150 מטרים, ∠CAB=40∘\angle CAB=40^\circ∠CAB=40∘, BD=60BD=60BD=60 מטרים.
ABCD

א.

במשולש ישר הזווית ADCADCADC, מצאו את אורך הניצב CDCDCD.

ב.

מצאו את אורך הניצב ADADAD.

ג.

מצאו את המרחק ABABAB בין נקודות היציאה.

ד.

דנה שחתה אל הרפסודה וחזרה לנקודה BBB באותו המסלול. כמה מטרים שחתה דנה סך הכול?

עוד 21 שאלות על סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחסי צלעות במשולש ישר זווית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בניין ותורן: צלעות וזווית במשולש ישר זווית, ופיתגורס (שאלה מלאה · בינונית)
מירב עומדת בנקודה A. בנקודה B יש בניין שגובהו מגיע לנקודה C. על גג הבניין הציבו תורן שמגיע עד לנקודה D. DB מאונך ל-AB (ראו סרטוט). נתון:…
טריגונומטריה: רחפן - זווית לא ידועה וסכום ניצבים (שאלה מלאה · קשה)
רחפן ממריא מנקודה A על הקרקע ועולה בקו ישר בזווית קבועה מעל לאופק. כשהרחפן עבר 400 מ' באוויר, הוא היה בגובה של 100 מ' מעל הקרקע.
עמוד תאורה ומצלמה: טריגונומטריה במשולש ישר זווית - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
דני עומד בנקודה A, במרחק 30 מטרים מבסיס עמוד תאורה (הנקודה B). ראש העמוד הוא הנקודה C. על ראש העמוד הותקנה מצלמה, שהחלק העליון שלה בנקודה D.…
טריגונומטריה בטרפז: רמפה לסקייטבורד (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת רמפה לסקייטבורד בצורת טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). הרוכב עולה מהנקודה $A$ לנקודה $D$ , ממשיך על המשטח העליון לנקודה…
ניצבים מבוטאים בעזרת היתר: סכום הגובה והמרחק האופקי (שאלה קצרה · קשה)
רחפן ממריא מנקודה A על הקרקע ועולה בקו ישר בזווית קבועה $\alpha$ מעל לאופק. נתון כי $\sin\alpha=0.25$ ו- $\cos\alpha\approx0.968$ (הזווית היא…
טריגונומטריה בטרפז: מתקן טיפוס עם מלבן נתון (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מתקן טיפוס בגן שעשועים בצורת טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). $DE$ ו- $CF$ מאונכים לצלע $AB$ המונחת על הקרקע, ולכן $DEFC$ …
טריגונומטריה: סולם כבאים מול חלון (שאלה מלאה · בינונית)
בבניין פרצה שריפה, ולוחמי האש צריכים להגיע לחלון בנקודה $A$ . רכב הכיבוי עמד על הכביש $BC$ , והסולם שלו הוצב בנקודה $B$ וכוון אל החלון בזווית…
סינוס וקוסינוס מטנגנס נתון, ויחסים במשולש ישר זווית נוסף (שאלת ביניים · קשה)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. נתון: $\tan\angle A=\frac{3}{4}$ , ואורך היתר הוא $AB=20$ ס"מ. חשבו בלי לחשב זוויות במחשבון.
טריגונומטריה: אומגה ממגדל תצפית (שאלה מלאה · קלה)
ממגדל תצפית יוצאת אומגה (כבל גלישה) מתוחה מראש המגדל $A$ אל נקודה $B$ על הקרקע. גובה המגדל $AC$ הוא 15 מטרים, $AC$ מאונך לקרקע $BC$ , והכבל…
טריגונומטריה: כבלי מתיחה של תורן (שאלה מלאה · בינונית)
תורן דגל ניצב על קרקע מישורית בנקודה $B$ . כבל מתוח מראש התורן, בנקודה $C$ , אל יתד בקרקע בנקודה $A$ , כמתואר בסרטוט. נתון כי $BC$ מאונך…
טריגונומטריה: עפיפון (שאלה מלאה · קלה)
ילד עומד בנקודה $A$ על קרקע מישורית ומעיף עפיפון. העפיפון נמצא בנקודה $C$ , בדיוק מעל הנקודה $B$ שעל הקרקע ( $BC\perp AB$ ), כמתואר בסרטוט.…
טריגונומטריה: כדור פורח קשור (שאלה מלאה · בינונית)
בפסטיבל הציבו כדור פורח קשור מעל שטח מישורי. הכדור נמצא בנקודה $C$ , בדיוק מעל הנקודה $B$ שעל הקרקע. הכדור קשור בחבל מתוח לעמוד עגינה שבנקודה…
גובה מסינוס ומטנגנס נתונים: שתי מגלשות (שאלה קצרה · קלה)
בגן שעשועים שתי מגלשות ישרות. אורך מגלשה א' הוא $4$ מטר, ועבור הזווית $\alpha$ שבינה לבין הקרקע ידוע ש- $\sin\alpha=0.6$ . המרחק האופקי שמגלשה…
טריגונומטריה: שני כבלים שמייצבים תורן (שאלה מלאה · בינונית)
תורן של אנטנה ניצב על קרקע מישורית בנקודה $A$ . כדי לייצב את התורן, מתחו שני כבלים מנקודה $B$ שעל התורן אל הקרקע, משני צדי התורן. כבל אחד…
טריגונומטריה: שני כבלים של גשר מיתרים (שאלה מלאה · בינונית)
בגשר מיתרים יש עמוד $AB$ הניצב למשטח הגשר בנקודה $A$ (משטח הגשר מישורי). מהנקודה $B$ שבראש העמוד מתוחים שני כבלים אל משטח הגשר, שניהם באותו…
טריגונומטריה בטרפז: חתך של סוללת עפר (שאלה מלאה · בינונית)
חתך הרוחב של סוללת עפר לאורך נחל הוא הטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) שבסרטוט. $DC$ הוא ראש הסוללה, $AD$ ו- $BC$ הם המדרונות שלה, ו- $AB$ היא…
טריגונומטריה: זווית גובה וזווית עומק ממרפסת (שאלה מלאה · בינונית)
מירב עומדת במרפסת של בניין ורוצה למדוד גובה של מגדל מים שעומד מולה. המרחק האופקי בין מירב (הנקודה $C$ ) לבין המגדל הוא 15 מ' ( $CD=15$ מ').…
טריגונומטריה: קרון רכבל עולה בזווית קבועה (שאלה מלאה · בינונית)
קרון של רכבל יוצא מהתחנה התחתונה A ועולה לאורך כבל ישר בזווית של $32^\circ$ מעל לאופק (ראו סרטוט). B הוא מיקום הקרון, ו-C היא הנקודה שנמצאת…
סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחסי צלעות במשולש ישר זווית (שאלה קצרה · בינונית)
כבש לכיסא גלגלים עולה בקו ישר בזווית של $5^\circ$ מעל לאופק.
שלט בצורת מעוין: אלכסונים, שטח והיקף (שאלה מלאה · בינונית)
בחוג אומנות מכינים שלטים בצורת מעוין שאורך צלעו $40$ ס"מ. כל משתתף בוחר בעצמו את זוויות המעוין.
היתר, הניצב שמול הזווית והניצב שלידה: גובה וקטעים במקבילית (שאלת ביניים · בינונית)
לוח זכוכית דקורטיבי בנוי בצורת מקבילית $ABCD$ . אורכי הצלעות: $AB=20$ ס"מ, $AD=45$ ס"מ, והזווית $BAD$ היא $40^\circ$ . $BE$ הוא הגובה מ- $B$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מתקן משולש בגן שעשועים: פיתגורס, טריגונומטריה ועלות · בגרות 371 חורף 2023, שאלה 4
בגן שעשועים הציבו מתקן בצורת משולש $ABC$ . הצלע $AB$ במשולש היא סולם שבו עולים מן הקרקע לראש המתקן (הנקודה $B$ ). הצלע $BC$ במשולש היא מגלשה שבה יורדים מראש המתקן…
טריגונומטריה: שחייה אל מצוף · בגרות 371 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
רוני ומיכל יצאו לשחייה בים. רוני יצאה מנקודה $A$ ומיכל יצאה מנקודה $B$ . שתיהן שחו בקו ישר, אל מצוף בים הנמצא בנקודה $C$ . הנקודה $D$ נמצאת על הקטע $AB$ כך ש- $CD$ …
מגדל ותצפית: צלעות וזווית במשולש ישר זווית, ופיתגורס · בגרות 371 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
חנן נמצא בנקודה A. בנקודה B יש מגדל שגובהו מגיע לנקודה C. על המגדל בנו תצפית שמגיעה עד לנקודה D. DB מאונך ל-AB (ראו סרטוט). נתון: $\angle CAB=35^\circ$ , האורך…
טריגונומטריה בטרפז: מתקן לאילוף כלבים · בגרות 371 חורף 2024, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתואר מתקן לאילוף כלבים בצורת טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). הכלב מתחיל לרוץ על המסלול בנקודה $A$ , עולה לכיוון הנקודה $D$ , ממשיך לרוץ לכיוון…
טריגונומטריה: מנוף מול חלון · בגרות 371 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
סמדר עברה לגור בדירה הנמצאת בקומה האחרונה בבניין. היא הזמינה הובלה במנוף כדי להעלות רהיטים לדירה ולהכניס אותם דרך החלון. חלון הדירה של סמדר נמצא בנקודה $A$ .…
טריגונומטריה: צלמת ציפורים בגינה · בגרות 371 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
בגינה עירונית שהקרקע שלה מישורית ניצב עץ בנקודה $B$ . סמדר היא צלמת ציפורים. היא עומדת בנקודה $A$ ומצלמת ציפור הנמצאת על העץ בנקודה $C$ , כמתואר בסרטוט. נתון כי…
טריגונומטריה: שני סולמות שנשענים על עמוד · בגרות 371 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
שני טכנאים, גיא ושרון, נקראו לתקן תקלה בעמוד תקשורת. העמוד ניצב על קרקע מישורית בנקודה $A$ . כל אחד מהם הביא איתו סולם והציב אותו על הקרקע בצד אחר של העמוד. גיא…
טריגונומטריה בטרפז: מתקן משחקים עם מדרגות ומגלשה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 1
במגרש משחקים בנו מתקן ובו מדרגות, משטח ומגלשה. לפניכם סרטוט של חלק מהמתקן וכן מידות של חלק מהמתקן, שבו $ABCD$ הוא טרפז ( $AB\parallel DC$ ): $AD$ - המדרגות, $DC$ …
טריגונומטריה: זווית גובה וזווית עומק למדידת עץ · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 3
יוסף רוצה למדוד גובה של עץ ברוש. הוא נמצא במרחק של 12 מ' מעץ הברוש ( $CD=12$ מ'), ובאמצעות מכשיר מיוחד הוא מוצא את זווית הגובה ואת זווית העומק: זווית הגובה אל…
טריגונומטריה: מטוס ממריא בזווית קבועה · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 3
מטוס ממריא משדה התעופה בזווית של $27^\circ$ מעל לאופק (ראה ציור).
עפיפון בצורת מעוין: אלכסונים, שטח והיקף · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 3
תלמידי שכבה י"א השתתפו בתחרות עפיפונים ארצית. כל תלמיד התבקש לבנות עפיפון בצורת מעוין, שצלעו $30$ ס"מ, כאשר בחירת הזוויות הינה חופשית.