שאלות פתוחות: תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על תת-סדרות בסדרה חשבונית - איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים - לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות משווים בין סכום האיברים במקומות הזוגיים לסכום האיברים במקומות האי-זוגיים כדי למצוא את מספר האיברים, מחשבים סכום מתחלף של ריבועי איברים, ובונים סדרה שבה המקומות הזוגיים והאי-זוגיים הן שתי סדרות חשבוניות שונות. יש גם כלל שבו כל איבר גדול ב-2 מהאיבר שנמצא שני מקומות לפניו. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. השאלות מתאימות להעמקה בסוף נושא הסדרה החשבונית, ואפשר לאסוף אותן לדף עם פתרונות מלאים בוורד.

38 שאלותקלה: 5בינונית: 23קשה: 10

שאלה 1 · סדרה חשבונית: מושבים באמפיתאטרוןשאלה מלאה · קלה

באמפיתאטרון יש 15 שורות מושבים. בשורה הראשונה יש 12 מושבים, ובכל שורה יש 2 מושבים יותר מאשר בשורה שלפניה.

א.

כמה מושבים יש בשורה האחרונה?

ב.

כמה מושבים יש באמפיתאטרון סך הכול?

ג.

כמה מושבים יש סך הכול בשורות האי-זוגיות (בשורה הראשונה, השלישית, החמישית וכן הלאה)?

ד.

באמפיתאטרון אחר יש בשורה הראשונה 20 מושבים, ובכל שורה יש 4 מושבים יותר מאשר בשורה שלפניה. באמפיתאטרון זה יש 572 מושבים סך הכול.

כמה שורות יש באמפיתאטרון האחר?

שאלה 2 · תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה חשבונית עולה יש 2n2n2n איברים. האיבר הראשון בסדרה שווה להפרש הסדרה ddd (כלומר a1=d>0a_1=d>0a1​=d>0).

א.

הביעו באמצעות nnn ו-ddd את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים ואת סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.

ב.

היחס בין סכום האיברים במקומות הזוגיים לסכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא 7:67:67:6. מצאו כמה איברים יש בסדרה.

שאלה 3 · תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · קשה

בסדרה cnc_ncn​ האיברים שבמקומות האי-זוגיים (c1,c3,c5,…c_1,c_3,c_5,\dotsc1​,c3​,c5​,…) הם סדרה חשבונית, וגם האיברים שבמקומות הזוגיים (c2,c4,c6,…c_2,c_4,c_6,\dotsc2​,c4​,c6​,…) הם סדרה חשבונית. נתון: לכל nnn טבעי, סכום 2n2n2n האיברים הראשונים של cnc_ncn​ הוא 4n2+9n4n^2+9n4n2+9n. כמו כן c1=3c_1=3c1​=3, c3=5c_3=5c3​=5.

א.

מצאו את c2c_2c2​ ואת הפרש תת-הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים.

ב.

מצאו את c20c_{20}c20​.

שאלה 4 · סדרות חשבוניות: תת-סדרה וסדרת סכומיםשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dotsa1​,a2​,a3​,… ובה 15 איברים. האיבר הראשון בסדרה הוא −10-10−10, והפרש הסדרה הוא 4.

א.

מצאו את האיבר האחרון בסדרה, a15a_{15}a15​.

ב.

האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים, a1,a3,a5,…,a15a_1,a_3,a_5,\dots,a_{15}a1​,a3​,a5​,…,a15​, יוצרים סדרה חשבונית.

(1)

מצאו את מספר האיברים בסדרה זו ואת ההפרש שלה.

(2)

מצאו את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים.

ג.

נתונה סדרה חשבונית B שאיבריה הם: b1,b2,b3,…b_1,b_2,b_3,\dotsb1​,b2​,b3​,… וגם בה 15 איברים. האיבר הראשון בסדרה הוא 3. נסמן את הפרש הסדרה B ב-ddd. מכל איברי הסדרות A ו-B בונים סדרה חדשה שאיבריה הם: a1+b1, a2+b2, a3+b3,…a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3,\dotsa1​+b1​, a2​+b2​, a3​+b3​,…

(1)

מצאו את האיבר הראשון של הסדרה החדשה.

(2)

הראו כי הסדרה החדשה היא חשבונית, והפרשה הוא 4+d4+d4+d.

(3)

נתון כי סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא 525. מצאו את ddd.

שאלה 5 · תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הסדרה an=3n+1a_n=3n+1an​=3n+1. מחשבים את הסכום המתחלף של ריבועי 202020 האיברים הראשונים:
a12−a22+a32−a42+⋯+a192−a202a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\dots+a_{19}^2-a_{20}^2a12​−a22​+a32​−a42​+⋯+a192​−a202​

א.

הביעו באמצעות kkk את הביטוי a2k−12−a2k2a_{2k-1}^2-a_{2k}^2a2k−12​−a2k2​, והראו כי הביטויים האלה (k=1,2,3,…k=1,2,3,\dotsk=1,2,3,…) מהווים סדרה חשבונית.

ב.

חשבו את הסכום המתחלף.

שאלה 6 · תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · קשה

בסדרה חשבונית יש מספר אי-זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 144144144, וסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 120120120.

א.

מצאו כמה איברים יש בסדרה.

ב.

נתון גם כי הפרש הסדרה הוא 333. מצאו את האיבר הראשון.

שאלה 7 · כלל נסיגה עם דילוג: סכום בשתי תת-סדרותשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה המקיימת את הכלל: an+2=an+2a_{n+2}=a_n+2an+2​=an​+2.
נתון: a1=3a_1=3a1​=3, a2=10a_2=10a2​=10.

א.

רשמו את ששת האיברים הראשונים בסדרה.

ב.

הראו שהאיברים במקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש שלה.

ג.

(1)

מצאו את סכום 10 האיברים הראשונים שבמקומות האי-זוגיים.

(2)

מצאו את סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה.

שאלה 8 · תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה cnc_ncn​ האיברים שבמקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 222 והפרשה ddd, והאיברים שבמקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 202020 והפרשה −d-d−d. נתון: c41=162c_{41}=162c41​=162.

א.

מצאו את ddd.

ב.

מצאו את סכום 414141 האיברים הראשונים בסדרה cnc_ncn​.

שאלה 9 · סדרה חשבונית: מבקרים בתערוכה ומספר ימים לא ידועשאלה מלאה · קשה

תערוכה נמשכה מספר אי-זוגי של ימים. מספר המבקרים בכל יום היה גדול במספר קבוע ממספר המבקרים ביום שלפניו. בכל ימי התערוכה ביקרו בה 2,475 מבקרים סך הכול. סך המבקרים בימים האי-זוגיים (היום הראשון, השלישי, החמישי וכן הלאה) היה גדול ב-225 מסך המבקרים בימים הזוגיים. ביום האחרון היה מספר המבקרים גדול פי 4 ממספר המבקרים ביום הראשון.

א.

מצאו כמה מבקרים היו ביום האמצעי של התערוכה.

ב.

מצאו כמה ימים נמשכה התערוכה.

ג.

מצאו כמה מבקרים היו ביום הראשון, ובכמה גדל מספר המבקרים מיום ליום.

ד.

התערוכה הוארכה בכמה ימים. בימים שנוספו המשיך מספר המבקרים לגדול בכל יום באותו מספר כמו קודם. בימים שנוספו ביקרו בתערוכה 1,710 מבקרים סך הכול.

בכמה ימים הוארכה התערוכה?

שאלה 10 · סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה בת 21 איבריםשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dotsa1​,a2​,a3​,… ובה 21 איברים. האיבר הראשון בסדרה הוא 39, והפרש הסדרה הוא −4-4−4.

מצאו את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.

עוד 19 שאלות על תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית שהפרשה $3$ יש מספר זוגי של איברים. סכום כל איברי הסדרה הוא $390$ , וסכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא $180$ .
סדרות חשבוניות: מסכום תת-סדרה לאיבר הראשון, ומספר האיברים השליליים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 25 איברים. הפרש הסדרה הוא 6, וסכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה הוא…
סדרה חשבונית: שתילים בערוגות של גינה (שאלה מלאה · בינונית)
בגינה קהילתית יש 13 ערוגות. בעונה הראשונה, מספר השתילים בכל ערוגה היה גדול במספר קבוע ממספר השתילים בערוגה שלפניה. מספר השתילים בערוגה…
כלל נסיגה, סדרת עזר הנדסית ותת-סדרה עם מספר איברים לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
סדרה מוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי כלל הנסיגה: $a_1=5$ , $a_{n+1}=2a_n-3$ .
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
במחסן יש 20 מדפים. על המדף הראשון יש 3 קופסאות, ועל כל מדף יש 4 קופסאות יותר מאשר על המדף שלפניו.
כלל נסיגה עם דילוג ופרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה המקיימת את הכלל: $a_{n+2}=a_n+6$ . נתון: $a_1=2$ , $a_2=t$ .
סדרות חשבוניות: איברים במקומות זוגיים וסדרת סכומים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 21 איברים. נתון: $a_9=7$ , הפרש הסדרה הוא $-4$ .
סדרה חשבונית עם פרמטר: מספר איברים חיוביים וסכומים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה המוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי הכלל: $a_n=b-5n$ , כאשר $b$ מספר טבעי. ידוע שבסדרה יש בדיוק 20 איברים חיוביים.
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 19 איברים. נתון: $a_{10}=15$ , הפרש הסדרה הוא $-3$ .
מספר האיברים בסדרה מתוך סכום האיברים במקומות הזוגיים (שאלה קצרה · קשה)
המספרים $4$ , $7$ , $10$ (בסדר זה) הם שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית.
כלל נסיגה, איבר אמצעי בסדרה חשבונית וסכום תת-סדרה (שאלה מלאה · בינונית)
סדרה מוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי כלל הנסיגה: $a_1=4$ , $a_{n+1}=2a_n+5$ .
האיברים השליליים במקומות הזוגיים והאי-זוגיים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה סדרה המוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי הכלל: $a_n=5n-142$ .
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית יש 50 איברים. האיבר הראשון הוא 3 וההפרש הוא 4.
כלל נסיגה עם דילוג: סדרה יורדת לסירוגין (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה המקיימת את הכלל: $a_{n+2}=a_n-3$ . נתון: $a_4=15$ , $a_3=10$ .
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה $a_n$ האיברים שבמקומות האי-זוגיים הם $3,\ 7,\ 11,\ \ldots$ , והאיברים שבמקומות הזוגיים הם $50,\ 48,\ 46,\ \ldots$ (כלומר $a_1=3$ ,…
סדרה חשבונית לפי איבר כללי: איברים שליליים ותת-סדרות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה המוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי הכלל: $a_n=5n-142$ .
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n=4n+3$ . מהאיברים במקומות הזוגיים בונים סדרה חדשה: $b_k=a_{2k}$ , כלומר $b_1=a_2,\ b_2=a_4,\dots$
האיבר הראשון מתוך סכום האיברים במקומות האי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 25 איברים. הפרש הסדרה הוא 6, וסכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה הוא…
החלפת סימן במקומות הזוגיים והוספת קבוע: סכומי תת-הסדרות (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית ובה 40 איברים: $5,\ 8,\ 11,\ \dots$ מחליפים את הסימן של כל האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים, ומקבלים סדרה חדשה בת 40…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה חשבונית: נוסעים בקרונות של רכבת · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
לרכבת מסוימת יש 11 קרונות. ביום א', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול במספר קבוע ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. מספר הנוסעים בקרון האחרון היה גדול פי 3 ממספר הנוסעים…
סדרות חשבוניות: איברים במקומות אי-זוגיים וסדרת סכומים · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 25 איברים. נתון: $a_{13}=20$ , הפרש הסדרה הוא 6.
כלל נסיגה, איבר אמצעי בסדרה חשבונית וסכום האיברים במקומות הזוגיים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך (שאלון 471), שאלון 472, שאלה 3
סדרה מוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי כלל הנסיגה: $a_1=12$ , $a_{n+1}=3a_n-2$ .
כלל נסיגה עם דילוג: תת-סדרות זוגיות ואי-זוגיות · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך (שאלון 471), שאלון 472, שאלה 3
נתונה סדרה המקיימת את הכלל: $a_{n+2}=a_n+4$ . נתון: $a_3=5$ , $a_2=4$ .
סדרה חשבונית לפי איבר כללי: איברים חיוביים ותת-סדרות · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך (שאלון 471), שאלון 472, שאלה 3
נתונה סדרה המוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי הכלל: $a_n=-3n+80$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

סדרה חשבונית בת 30 איברים: האיברים האמצעיים ותת-סדרה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית בת 30 איברים: $a_1,a_2,\ldots,a_{30}$ , שההפרש שלה הוא $d$ .
תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הסדרה $a_n=0.4n-7$ .
תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית בת 60 איברים, שהאיבר הראשון שלה הוא 40 וההפרש שלה הוא $-1.5$ . מוחקים חלק מן האיברים,…
תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הסדרה $a_n=3n+1$ . מחליפים את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים, ומתקבלת הסדרה…