שאלות פתוחות: מערכת משוואות בהצגה מפורשת: פתרון גרפי והשוואת ביטויים - כיתה ח'

תרגול בשאלות פתוחות על מערכת משוואות בהצגה מפורשת לכיתה ח': פתרון גרפי כנקודת החיתוך של שני ישרים ופתרון בהשוואת ביטויים. התלמידים קוראים את נקודת החיתוך מגרפים, משווים בין שתי פונקציות ליניאריות, משלימים מספר חסר במערכת, עובדים עם מערכות שבהן אחד הישרים אופקי וקובעים כמה פתרונות יש בלי לסרטט. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו שאלות לבוחן או לדף עבודה, ולכל אחת יש פתרון מלא וייצוא ל-Word.

62 שאלותרמה א': 25רמה ב': 25מצוינות: 12

שאלה 1 · השלמת מספר חסר לפי פתרון המערכתשאלה קצרה · רמה א'

בכל מערכת חסר מספר אחד, והוא מסומן במשבצת.

א.

ידוע שלמערכת 
{y=3x+□y=−x+7\begin{cases} y=3x+\square \\ y=-x+7 \end{cases}{y=3x+□y=−x+7​
 יש פתרון שבו x=2x=2x=2. מצאו את פתרון המערכת ואת המספר החסר.

ב.

פתרון המערכת 
{y=□x+1y=2x+6\begin{cases} y=\square x+1 \\ y=2x+6 \end{cases}{y=□x+1y=2x+6​
 הוא (−1,4)(-1,4)(−1,4). מצאו את המספר החסר. בדקו קודם שהזוג אכן מקיים את המשוואה השנייה.

שאלה 2 · מערכת עם ישר אופקישאלה קצרה · רמה ב'

בכל מערכת שלפניכם אחת המשוואות היא ישר אופקי.

א.

פתרו את המערכת 
{y=5y=2x−3\begin{cases} y=5 \\ y=2x-3 \end{cases}{y=5y=2x−3​
 בעזרת השוואת הביטויים. כתבו את הפתרון כזוג סדור.

ב.

פתרו את המערכת 
{y=−1y=−3x+8\begin{cases} y=-1 \\ y=-3x+8 \end{cases}{y=−1y=−3x+8​
. כתבו את הפתרון כזוג סדור ובדקו אותו בשתי המשוואות.

שאלה 3 · איפה הפער בין שני ישרים הוא 6שאלה קצרה · מצוינות

הגרפים של שתי פונקציות ליניאריות fff ו-ggg נחתכים בנקודה (2,3)(2,3)(2,3).
עוד ידוע: f(5)=9f(5)=9f(5)=9 ו-g(5)=0g(5)=0g(5)=0.

יש שני ערכים של xxx שבהם ההפרש בין f(x)f(x)f(x) ל-g(x)g(x)g(x) הוא 666 (באחד מהם f(x)f(x)f(x) גדול יותר, ובשני g(x)g(x)g(x) גדול יותר). מצאו את שניהם והסבירו.

שאלה 4 · כמה פתרונות למערכת: לפי השיפועיםשאלה קצרה · רמה א'

בלי לסרטט, קבעו כמה פתרונות יש לכל מערכת.

א.

{y=−3x+2y=−3x−1\begin{cases} y=-3x+2 \\ y=-3x-1 \end{cases}{y=−3x+2y=−3x−1​
כמה פתרונות יש למערכת? נמקו.

ב.

{y=0.5x+4y=2x+4\begin{cases} y=0.5x+4 \\ y=2x+4 \end{cases}{y=0.5x+4y=2x+4​
כמה פתרונות יש למערכת? מצאו את הפתרון בלי לפתור משוואה.

שאלה 5 · קריאת נקודת החיתוך מהגרף ובדיקהשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם הגרפים של הפונקציות f(x)=x−2f(x)=x-2f(x)=x−2 ו-g(x)=−2x+7g(x)=-2x+7g(x)=−2x+7.
fg
-2-1123456-4-3-2-112345678

קראו מהגרף את שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים. הראו בהצבה בשתי הפונקציות שהזוג שקראתם הוא פתרון המערכת 
{y=x−2y=−2x+7\begin{cases} y=x-2 \\ y=-2x+7 \end{cases}{y=x−2y=−2x+7​
.

שאלה 6 · ישר שלישי דרך נקודת החיתוךשאלת ביניים · מצוינות

נתונות הפונקציות f(x)=3x−4f(x)=3x-4f(x)=3x−4 ו-g(x)=−2x+16g(x)=-2x+16g(x)=−2x+16.

א.

פתרו את המערכת 
{y=3x−4y=−2x+16\begin{cases} y=3x-4 \\ y=-2x+16 \end{cases}{y=3x−4y=−2x+16​
.

ב.

נתונה הפונקציה h(x)=□x−12h(x)=\square x-12h(x)=□x−12. השלימו את המספר החסר כך שהגרף של hhh יעבור דרך נקודת החיתוך שמצאתם בסעיף א.

ג.

בלי לפתור משוואה נוספת: מהו הפתרון של המערכת 
{y=−2x+16y=h(x)\begin{cases} y=-2x+16 \\ y=h(x) \end{cases}{y=−2x+16y=h(x)​
? הסבירו גם למה אין לה פתרון אחר.

שאלה 7 · נכון או לא נכון לפי גרפים נחתכיםשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם גרפים של שני ישרים: f(x)f(x)f(x) , g(x)g(x)g(x) .
הגרפים נחתכים בנקודה A(5,2)A(5,2)A(5,2) .
f(x)g(x)
A

סמנו ליד כל טענה האם היא נכונה או איננה נכונה. נמקו.
הטענה
f(6)>g(6)f(6)>g(6)f(6)>g(6)
f(0)=3f(0)=3f(0)=3
f(5)=g(5)f(5)=g(5)f(5)=g(5)

הטענה
$f(6)>g(6)$
$f(0)=3$
$f(5)=g(5)$

שאלה 8 · איזה זוג סדור פותר את המערכתשאלה קצרה · רמה ב'

נתונה מערכת משוואות: 
{y=2xy=−3x+5\begin{cases} y=2x \\ y=-3x+5 \end{cases}{y=2xy=−3x+5​

סמנו את הזוג הסדור שהוא פתרון המערכת הנתונה, ונמקו את בחירתכם.
(0,0)(0,0)(0,0)  (3,5)(3,5)(3,5)  (−2,−4)(-2,-4)(−2,−4)  (1,2)(1,2)(1,2)

שאלה 9 · שלושה ישרים ומשולששאלה מלאה · מצוינות

נתונות שלוש פונקציות:
f(x)=2x+3f(x)=2x+3f(x)=2x+3, g(x)=−x+3g(x)=-x+3g(x)=−x+3, h(x)=2x−3h(x)=2x-3h(x)=2x−3.

א.

פתרו את המערכת 
{y=2x+3y=−x+3\begin{cases} y=2x+3 \\ y=-x+3 \end{cases}{y=2x+3y=−x+3​
.

ב.

רון טוען: "לכל מערכת מהצורה 
{y=mx+3y=kx+3\begin{cases} y=mx+3 \\ y=kx+3 \end{cases}{y=mx+3y=kx+3​
, שבה mmm ו-kkk הם מספרים שונים, הפתרון הוא (0,3)(0,3)(0,3)". האם הטענה נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם? נמקו.

ג.

כמה פתרונות יש למערכת 
{y=2x+3y=2x−3\begin{cases} y=2x+3 \\ y=2x-3 \end{cases}{y=2x+3y=2x−3​
? נמקו פעם לפי השיפועים ופעם בהשוואת הביטויים.

ד.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרפים של ggg ו-hhh.

ה.

הגרפים של ggg ושל hhh יוצרים עם ציר yyy משולש. מצאו את קודקודי המשולש וחשבו את שטחו.

שאלה 10 · איזה זוג משוואות מתאר את הישריםשאלה קצרה · רמה א'

נתונים שני ישרים במערכת צירים.
-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-11234567891011-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-11234567891011

א.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך בין שני הישרים.

ב.

לפניכם 3 זוגות של משוואות ישר:
(1)(2)(3)
y=−2x+9y=-2x+9y=−2x+9y=−2x−9y=-2x-9y=−2x−9y=−2x+9y=-2x+9y=−2x+9
y=−15x+2y=-\frac{1}{5}x+2y=−51​x+2y=15x+2y=\frac{1}{5}x+2y=51​x+2y=15x+2y=\frac{1}{5}x+2y=51​x+2
מי מבין זוגות המשוואות מתאר את הישרים הנתונים? נמקו.

(1)	(2)	(3)
$y=-2x+9$	$y=-2x-9$	$y=-2x+9$
$y=-\frac{1}{5}x+2$	$y=\frac{1}{5}x+2$	$y=\frac{1}{5}x+2$

עוד 41 שאלות על מערכת משוואות בהצגה מפורשת: פתרון גרפי והשוואת ביטויים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מערכת של שני ישרים מקבילים (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה מערכת משוואות:
$\begin{cases} y=2x+6 \\ y=2x-6 \end{cases}$
פער קטן שלא נסגר (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונות הפונקציות $f(x)=0.5x+3$ ו- $g(x)=0.5x+3.2$ (אלה המספרים המדויקים). בגרף הישרים נראים כמעט כמו קו אחד.
בונים מערכות שפתרונן נתון (שאלה קצרה · רמה א')
רשמו כמה דוגמאות של מערכות משוואות שפתרונן הוא $(3,5)$ .
שני מסלולים במכון כושר (שאלת ביניים · רמה ב')
במכון כושר יש שני מסלולי תשלום חודשיים: מסלול "חופשי": $150$ ש"ח לחודש, בלי קשר למספר הכניסות. מסלול "לפי כניסה": $30$ ש"ח לחודש ועוד $20$ …
שיפועים שבריים וחיתוך שלם (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{1}{3}x+2$ ו- $g(x)=\frac{1}{2}x+1$ .
זיהוי ישרים ונקודת החיתוך שלהם (שאלת ביניים · רמה א')
נתונות הפונקציות $f(x)=2x-3$ ו- $g(x)=-0.5x+7$ . לפניכם הגרפים של שתי הפונקציות, מסומנים א' ו-ב'. הישרים נחתכים בנקודה $A$ .
טבלת ערכים לשתי פונקציות: איפה הן שוות (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונות שתי משוואות: $f(x)=2x-2$ $g(x)=-x+4$ .
בונים מערכות לפי פתרון ותנאים (שאלת ביניים · מצוינות)
בשאלה הזאת אתם בונים מערכות של שתי משוואות מהצורה $y=mx+b$ שהפתרון היחיד שלהן הוא $(-2,5)$ .
שני נרות נשרפים (שאלת ביניים · רמה א')
מדליקים באותו רגע שני נרות. נר א' גובהו $24$ ס"מ, והוא מתקצר ב- $2$ ס"מ בכל שעה. נר ב' גובהו $18$ ס"מ, והוא מתקצר ב- $1$ ס"מ בכל שעה. נסמן…
סרטוט שני ישרים ומציאת נקודת החיתוך (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונות שתי הפונקציות: $f(x)=3x+5$ $g(x)=-2x-10$ .
שני כרטיסים לבריכה (שאלה קצרה · מצוינות)
בריכה עירונית מציעה שני כרטיסים. בכרטיס א' משלמים דמי הרשמה של $30$ ש"ח ועוד $12$ ש"ח לכל כניסה. בכרטיס ב' משלמים דמי הרשמה של $60$ ש"ח ועוד…
ישר לפי שיפוע ונקודה וישר אופקי (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים שני ישרים: ישר א' עובר דרך הנקודה $(1,1)$ , ושיפועו 2. ישר ב' הינו ישר אופקי העובר בנקודה $(1,4)$ .
נקודת חיתוך: סרטוט והשוואת ביטויים (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונות שתי משוואות של שני ישרים: $y=-2x-10$ $y=3x+5$
ישר שלישי שעובר בנקודת המפגש (שאלת ביניים · מצוינות)
במערכת הצירים מסורטטים הגרפים של $f(x)=2x-1$ ושל $g(x)=-x+8$ . מוסיפים ישר שלישי, $h(x)=3x+k$ , כאשר $k$ מספר שעוד לא ידוע.
האח רודף אחרי יעל (שאלה מלאה · רמה א')
יעל יצאה מהבית בשעה $8{:}00$ והלכה ברגל במהירות קבועה של $5$ קמ"ש. בשעה $9{:}00$ יצא אחיה מהבית באותה דרך, ורכב על אופניים במהירות קבועה של…
מילוי שתי בריכות (שאלה מלאה · רמה ב')
ממלאים במים שתי בריכות מתנפחות, ומתחילים באותו רגע. בבריכה א' היו כבר $200$ ליטר מים, ונכנסים אליה $30$ ליטר בכל דקה. בריכה ב' הייתה ריקה,…
משולש בין שלושה ישרים, והזזת הישר האופקי (שאלת ביניים · מצוינות)
במערכת הצירים מסורטטים שלושה ישרים: $f(x)=x+4$ , $g(x)=-2x+13$ , $h(x)=2$ .
שני ישרים: שליליות, חיתוך והשוואה (שאלה מלאה · רמה א')
נתונות שתי משוואות של שני ישרים: $g(x)=3x-7$ $f(x)=-2x+3$
באיזו חברת הסעות לבחור לטיול השנתי (שאלה מלאה · רמה ב')
בית הספר מזמין אוטובוס לטיול השנתי. שתי חברות הסעות שלחו הצעות מחיר: - חברה א: $350$ ש"ח קבועים, ועוד $5$ ש"ח לכל ק"מ נסיעה. - חברה ב: $500$ …
ישרים שלא נפגשים: הוכחה אלגברית (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונות הפונקציות $f(x)=1.5x+4$ ו- $g(x)=1.5x-3$ .
מתי גרף אחד מתחת לשני: גרפית ואלגברית (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים מסורטטים הגרפים של הפונקציות $f(x)=x-3$ ו- $g(x)=-0.5x+3$ (הגרף של $f$ עולה, והגרף של $g$ יורד).
על איזה ישר נמצאת כל נקודה? (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה המערכת
$\begin{cases} y=x+4 \\ y=-3x+8 \end{cases}$
. לפניכם הגרפים של $f(x)=x+4$ ושל $g(x)=-3x+8$ .
תמיד, לפעמים או אף פעם (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה מערכת של שתי משוואות בהצגה מפורשת:
$\begin{cases} y=ax+b \\ y=cx+d \end{cases}$
, כאשר $a$ , $b$ , $c$ , $d$ הם מספרים.
שני ישרים: חיוביות, חיתוך ואי-שוויון (שאלה מלאה · רמה א')
נתונות שתי המשוואות הבאות: משוואה א: $y=3x-7$ משוואה ב: $y=-2x+3$ .
הפער בין שני ישרים מקבילים (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם הגרפים של $f(x)=x+5$ ושל $g(x)=x-1$ .
אומדן, חישוב ועיגול (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המערכת
$\begin{cases} y=2x-1 \\ y=-x+4 \end{cases}$
.
נקודת חיתוך עם שיעורים שליליים (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם הגרפים של $f(x)=2x+1$ ושל $g(x)=-x-5$ .
נקודות על ישר אחד בלבד (שאלה קצרה · רמה א')
נתונות הפונקציות $f(x)=-x+5$ ו- $g(x)=2x-1$ .
ישר אופקי וחיתוך בין קווי הרשת (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם הגרפים של $f(x)=2x-1$ ושל $g(x)=4$ .
שני ישרים שמתקרבים לאט (שאלה קצרה · רמה א')
נתונות הפונקציות $f(x)=x+3$ ו- $g(x)=1.2x+2$ . בחלון של הגרף שלפניכם הישרים לא נפגשים.
איזו מערכת מתאימה לגרף? (שאלה קצרה · רמה ב')
בגרף שלפניכם שני ישרים.
שלוש מעליות (שאלת ביניים · רמה א')
בבניין שלוש מעליות. מודדים את הגובה של כל מעלית (במטרים) מרגע מסוים, ו- $x$ הוא מספר השניות מאותו רגע: מעלית א מתחילה בגובה $0$ ועולה $2$ …
שתי נקודות לכל ישר (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה המערכת
$\begin{cases} y=2x-3 \\ y=-x+3 \end{cases}$
.
שתי חברות הובלה (שאלה מלאה · רמה א')
שתי חברות הובלה גובות דמי הזמנה קבועים ועוד תשלום קבוע לכל שעת עבודה. חברה א: הובלה של $2$ שעות עלתה $400$ ש"ח, והובלה של $5$ שעות עלתה…
משנים את האיבר החופשי: הישר עובר בראשית (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם הגרפים של $f(x)=2x+6$ ושל $g(x)=-x+12$ .
שתי חברות הובלה (שאלה מלאה · רמה א')
משפחה עוברת דירה ובודקת שתי חברות הובלה. חברה א' גובה $120$ ש"ח על ההגעה ועוד $80$ ש"ח לכל שעת עבודה. חברה ב' גובה $40$ ש"ח על ההגעה ועוד…
איזו משוואה מתאימה לישר (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם גרף של ישר.
מהגרף למערכת, ומנקודה על ישר אחד לפתרון (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים מסורטטים שני ישרים, $s$ ו- $t$ .
החסכונות של טל ומאיה (שאלת ביניים · רמה ב')
טל ומאיה חוסכים כסף לקראת טיול. נסמן ב- $x$ את הסכום של טל (בש"ח) וב- $y$ את הסכום של מאיה (בש"ח). ידוע ש: - למאיה יש פי $3$ ממה שיש לטל. -…
שני מכלים וברז ביטחון: מתי הברז פתוח? (שאלה מלאה · רמה א')
שני מכלי מים מחוברים למשאבה. הישר $h$ מתאר את כמות המים במכל א' והישר $k$ את כמות המים במכל ב', בשמונה הדקות הראשונות ( $x$ = הזמן בדקות, $y$ …
איזו מערכת מתאימה לשני הישרים (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם שני ישרים במערכת צירים אחת.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (11)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלה קצרה · רמה ב')
חברת תיירות מציעה שתי חבילות נופש. מחיר חבילה א' כולל $90$ שקלים דמי הזמנה ועוד $520$ שקלים עבור כל יום נופש…
נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלת ביניים · רמה א')
שתי חברות הובלה גובות תשלום קבוע ועוד מחיר קבוע לכל קילומטר של נסיעה. בגרף שלפניכם מתואר המחיר (בשקלים) של…
נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלה קצרה · רמה א')
צלם אירועים א' גובה $900$ שקלים עבור הצילום ועוד $12$ שקלים לכל תמונה מודפסת, כלומר המחיר אצלו הוא…
נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלה קצרה · מצוינות)
ועד השכבה מזמין ספרי מחזור. בבית דפוס א' המחיר הוא $200$ שקלים עבור העיצוב ועוד $90$ שקלים לכל ספר. בבית דפוס…
נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלה קצרה · רמה ב')
חנות מקוונת קטנה בוחרת חברת שליחויות ומקבלת שתי הצעות מחיר חודשיות. חברה א': תשלום חודשי קבוע של $360$ שקלים…
נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלה קצרה · רמה א')
בבית דפוס א משלמים 80 שקלים על הכנת העבודה ועוד 0.5 שקל לכל עותק. בבית דפוס ב משלמים 20 שקלים על הכנת העבודה…
נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלה קצרה · רמה ב')
חברה סלולרית מציעה שתי תוכניות: תוכנית א': 49 שקלים בחודש, ללא הגבלת דקות שיחה. תוכנית ב': 0.35 שקלים לכל דקת…
נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלה קצרה · רמה ב')
שתי חברות חשמל מציעות מסלולי תשלום לבית קטן. בחברה א' משלמים 40 שקלים לחודש ועוד 0.5 שקלים לכל קילוואט-שעה.…
נקודת החיתוך בין שני ישרים (שאלה קצרה · רמה ב')
חברת טלפון מציעה שני מסלולים: מסלול א': 45 שקלים לחודש, ועוד 0.2 שקלים לכל דקת שיחה. מסלול ב': 25 שקלים לחודש,…
מציאת נקודת החיתוך של שני ישרים (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.
השוואת מחירים של שתי חברות בעזרת שני ישרים (שאלה קצרה · רמה א')
שתי חברות הובלה גובות תשלום קבוע ועוד מחיר קבוע לכל קילומטר של נסיעה. בגרף שלפניכם מתואר המחיר (בשקלים) של…