שאלות פתוחות: מערכת שתי משוואות: השוואת מקדמים והנגדת מקדמים, 0, 1 או אינסוף פתרונות - כיתה ח'

אוסף שאלות פתוחות על מערכת שתי משוואות לכיתה ח', בשיטת השוואת מקדמים והנגדת מקדמים, ועל מערכות עם פתרון אחד, בלי פתרון או עם אינסוף פתרונות. התלמידים פותרים בחיבור או בחיסור של המשוואות, קובעים בחישוב כמה פתרונות יש למערכת, ופותרים בעיות על מחירי ארטיק ושוקו בקיוסק, עפרונות ומחברות, תעריפי שיחות סלולר ותכנון משימת מחקר ימית. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

54 שאלותרמה א': 21רמה ב': 14מצוינות: 19

שאלה 1 · מבצע צבי הים: תכנון משימת מחקרשאלה מלאה · רמה א'

שאלה מסכמת אוריינית/ קבלת החלטות.
בעיה: מבצע "צבי הים" – תכנון משימת מחקר
תיאור הסיטואציה: צוות חוקרים ימיים בים התיכון מתכנן מבצע להצמדת משדרים ל-30 צבי ים שהשתקמו במרכז להצלת צבים. המטרה היא לעקוב אחרי מסלול הנדידה שלהם. לרשות החוקרים עומדים שני סוגי משדרים:
1. משדר "קל" (Lite\text{Lite}Lite): משדר קטן וזול יחסית.
2. משדר "לווייני" (Sat\text{Sat}Sat): משדר משוכלל המאפשר מעקב ארוך טווח, אך הוא כבד ויקר יותר.
החוקרים חייבים לנצל את כל התקציב שהוקצה למשימה ולהתחשב במגבלת המשקל הכוללת של הציוד שהסירה יכולה לשאת.
הגדרות ונתונים:
• עלות: תקציב המשימה הכולל הוא 18,000 ש"ח.
• משקל: המשקל הכולל של כל המשדרים יחד חייב להיות בדיוק 9 ק"ג (9,000 גרם).
טבלת נתוני המשדרים:
סוג המשדרמשקל ליחידה (גרם)עלות ליחידה (ש"ח)
משדר "קל" (x)(x)(x)200500
משדר "לווייני" (y)(y)(y)500800

סוג המשדר	משקל ליחידה (גרם)	עלות ליחידה (ש"ח)
משדר "קל" $(x)$	200	500
משדר "לווייני" $(y)$	500	800

א.

סמנו ב- xxx את מספר המשדרים מהסוג ה"קל" וב- yyy את מספר המשדרים מהסוג ה"לווייני."
○ כתבו מערכת של שתי משוואות המייצגת את הנתונים (שימו לב ליחידות המידה).
○ פתרו את מערכת המשוואות ומצאו כמה משדרים מכל סוג על החוקרים להזמין כדי לעמוד בדיוק בתקציב ובמגבלת המשקל עבור 30 צבים.

ב.

בבוקר המבצע התברר כי 25 מצבי הים הם "צבים צעירים" (קטנים מאוד). הווטרינר הראשי קבע כי צבים אלו אינם יכולים לשאת משדר השוקל יותר מ-300 גרם.
○ האם הפתרון שמצאתם בסעיף א עדיין מאפשר את ביצוע המשימה עבור כל 30 הצבים? הסבירו מדוע. אם התשובה היא לא – הציעו שינוי אחד שהחוקרים יכולים לבצע כדי לפתור את הבעיה .

ג.

הערה: אפשרי לקיים דיון: חוקר אחד הציע: "בואו נקנה רק משדרים 'קלים', כך נוכל לעקוב אחרי הרבה יותר צבים באותו תקציב.!" ציינו סיבה מדעית אחת מדוע הצוות עשוי להתנגד להצעה זו, למרות החיסכון הכספי.

שאלה 2 · מקדמים נגדיים ומקדמים שוויםשאלה קצרה · רמה ב'

פתרו כל מערכת בעזרת חיבור או חיסור של המשוואות. כתבו את הפתרון כזוג סדור ובדקו אותו.

א.

{3x+2y=175x−2y=7\begin{cases} 3x+2y=17 \\ 5x-2y=7 \end{cases}{3x+2y=175x−2y=7​

ב.

{4x+3y=264x+y=14\begin{cases} 4x+3y=26 \\ 4x+y=14 \end{cases}{4x+3y=264x+y=14​

שאלה 3 · שתי קניות שלא מספיקות כדי לדעת מחיריםשאלה קצרה · מצוינות

בקיוסק של בית הספר יש מחיר קבוע לארטיק ומחיר קבוע לשוקו.
מיכל קנתה 333 ארטיקים ו-222 שוקו ושילמה 242424 ש"ח.
עידו קנה 666 ארטיקים ו-444 שוקו ושילם 484848 ש"ח.

א.

רון אומר: "יש לנו שתי קניות, ולכן אפשר לכתוב מערכת של שתי משוואות ולמצוא את מחיר הארטיק." האם רון צודק? הסבירו, והראו שני זוגות שונים של מחירים שמתאימים לשתי הקניות.

ב.

תמר אומרת: "באותו יום קניתי בקיוסק 666 ארטיקים ו-444 שוקו ושילמתי 505050 ש"ח, באותם מחירים." הסבירו בלי לחשב מחירים למה תמר טועה.

שאלה 4 · פרסום של תעריפי סלולרשאלה מלאה · רמה א'

פרסום של תעריפי סלולר
חברת אדיפון לטלפונים סלולאריים קבעה תעריף לדקת שיחה.
מחיר דקת שיחה בשעות הערב נמוך ממחיר דקת שיחה בשעות היום.
חברת אדיפון יוצאת למסע פרסום.
כדי לגוון את הפרסום, החליטה החברה לשנות את נוסח הפרסומת מדי פעם, גם כאשר אין היא משנה את המחירים.
נוסח הפרסומת הראשונה של החברה הוא זה:
"אם תשוחחו בטלפון של אדיפון 20 דקות בשעות הערב ו-20 דקות בשעות היום, תשלמו רק 8 ש"ח ליום."

א.

אילו תעריפים אפשריים לדקת שיחה יכולה להציע חברת אדיפון? רשמו הסבר לכל סעיף.
א. 20 אג' בשעות הערב ו-30 אג' בשעות היום.
ב. 20 אג' בשעות הערב ו-20 אג' בשעות היום.
ג. 15 אג' בשעות הערב ו-25 אג' בשעות היום.
ד. 18 אג' בשעות הערב ו-22 אג' בשעות היום.
ה. 22 אג' בשעות הערב ו-18 אג' בשעות היום.

ב.

החברה פרסמה פרסומת שנייה:
"אם תשוחחו בטלפון של אדיפון 35 דקות בשעות הערב ו-10 דקות בשעות היום, תשלמו רק 7 ש"ח ליום."

האם אפשר לקבוע את תעריף החברה לדקת שיחה בזמנים השונים:
א. רק לפי הפרסום השני?
ב. תוך הצלבת מידע משני הפרסומים?

ג.

מצאו את תעריפי החברה לדקת שיחה בשעות היום, ולדקת שיחה בשעות הערב.

ד.

חברו פרסומת אחרת, המתייחסת ל-35 דקות שיחה בערב ו-5 דקות שיחה ביום, שתתאים למחירים של חברת אדיפון.

ה.

החברה יצאה בפרסום נוסף, וזהו תוכנו:
"הורדנו את המחירים!!! אם תשוחחו בטלפון של אדיפון 30 דקות בשעות הערב ו-30 דקות בשעות היום, תשלמו רק 9 ש"ח ליום."

א. האם יש אמת בפרסום? האם באמת ירדו המחירים?
ב. נניח שלרגל הפרסום השלישי הורידה החברה את המחיר לדקת שיחת ערב ב-2 אג'. מהו מחיר המבצע לדקת שיחה בשעות היום?

שאלה 5 · כשכל הנעלמים מתבטליםשאלה קצרה · רמה ב'

בכל מערכת מצאו כמה פתרונות יש לה: אין פתרון, פתרון אחד או אינסוף פתרונות. הראו את החישוב.

א.

{x+2y=53x+6y=15\begin{cases} x+2y=5 \\ 3x+6y=15 \end{cases}{x+2y=53x+6y=15​
אם יש למערכת יותר מפתרון אחד, כתבו שני פתרונות שונים שלה.

ב.

{2x−y=42x−y=1\begin{cases} 2x-y=4 \\ 2x-y=1 \end{cases}{2x−y=42x−y=1​

שאלה 6 · המודעות של חנות כלי הכתיבהשאלה מלאה · מצוינות

בחנות לכלי כתיבה יש מחיר קבוע לעיפרון ומחיר קבוע למחברת. החנות מפרסמת מודעות, אבל לא כותבת בהן את המחירים של עיפרון אחד ושל מחברת אחת.
מודעה 1: "444 עפרונות ו-222 מחברות רק ב-262626 ש"ח!"

א.

לפי מודעה 1 בלבד: תנו שתי דוגמאות שונות למחיר עיפרון ולמחיר מחברת שמתאימות למודעה. האם ייתכן שעיפרון עולה 777 ש"ח? נמקו.

ב.

מודעה 2: "666 עפרונות ומחברת אחת רק ב-232323 ש"ח!"
בעזרת שתי המודעות מצאו את מחיר העיפרון ואת מחיר המחברת.

ג.

מודעה 3: "מבצע! 888 עפרונות ו-444 מחברות רק ב-505050 ש"ח!"
הסבירו בעזרת מודעה 1 בלבד, בלי להשתמש במחירים שמצאתם בסעיף ב, האם זה באמת מבצע, ובכמה ש"ח חוסכים.

ד.

לקוח יודע רק את מודעה 1. בעבור כל אחת מהקניות הבאות, קבעו אם הוא יכול לדעת את המחיר הרגיל שלה. אם כן, חשבו אותו. אם לא, הסבירו למה, וחשבו את המחיר בעזרת סעיף ב.
(1) 222 עפרונות ומחברת אחת.
(2) 666 עפרונות ו-333 מחברות.
(3) 222 עפרונות ו-222 מחברות.

שאלה 7 · בוחרים את הצעד הראשוןשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם שלוש מערכות:
(1) 
{y=4x−13x+2y=20\begin{cases} y=4x-1 \\ 3x+2y=20 \end{cases}{y=4x−13x+2y=20​
(2) 
{2x+7y=3−2x+3y=17\begin{cases} 2x+7y=3 \\ -2x+3y=17 \end{cases}{2x+7y=3−2x+3y=17​
(3) 
{5x+2y=123x+2y=8\begin{cases} 5x+2y=12 \\ 3x+2y=8 \end{cases}{5x+2y=123x+2y=8​

לכל מערכת החליטו באיזו דרך כדאי להתחיל: הצבה, חיבור המשוואות או חיסור המשוואות. הסבירו את ההחלטה לפי המקדמים, ובצעו רק את הצעד הזה, עד שמתקבלת משוואה עם נעלם אחד.

שאלה 8 · השוואת מקדמים צעד אחרי צעדשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה מערכת המשוואות:
{2x+3y=112x−y=7\begin{cases} 2x+3y=11 \\ 2x-y=7 \end{cases}{2x+3y=112x−y=7​

א.

למקדמים של xxx בשתי המשוואות יש אותו ערך. חסרו את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה. איזו משוואה מתקבלת? פתרו אותה.

ב.

מצאו את xxx בעזרת התוצאה של סעיף א. כתבו את הפתרון של המערכת כזוג סדור, ובדקו אותו בשתי המשוואות.

ג.

רוני הציע לחבר את שתי המשוואות במקום לחסר אותן. כתבו את המשוואה שרוני מקבל. האם החיבור עוזר כאן? הסבירו. האם הזוג מסעיף ב מקיים את המשוואה של רוני?

שאלה 9 · מערכת שנמחקה מהלוחשאלה קצרה · מצוינות

על הלוח הייתה כתובה מערכת של שתי משוואות, אבל היא נמחקה. נשארו רק שתי שורות:
הסכום של שתי המשוואות: 5x+y=175x+y=175x+y=17
המשוואה הראשונה פחות המשוואה השנייה: x−3y=−3x-3y=-3x−3y=−3

א.

מצאו את הפתרון של המערכת שנמחקה, בלי למצוא את המשוואות עצמן. הסבירו למה מותר לפתור את שתי השורות שנשארו במקום המערכת.

ב.

שחזרו את שתי המשוואות שנמחקו. בדקו שהזוג (3,2)(3,2)(3,2) מקיים את שתיהן.

שאלה 10 · כופלים את שתי המשוואותשאלה קצרה · רמה א'

נתונה מערכת המשוואות:
{3x+4y=−62x−5y=19\begin{cases} 3x+4y=-6 \\ 2x-5y=19 \end{cases}{3x+4y=−62x−5y=19​

באף נעלם אין מקדמים שווים או נגדיים. החליטו איזה נעלם לבטל, ובאילו מספרים לכפול כל משוואה. פתרו את המערכת ובדקו את הפתרון.

עוד 41 שאלות על מערכת שתי משוואות: השוואת מקדמים והנגדת מקדמים, 0, 1 או אינסוף פתרונות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סלים של שתיים ושל שלוש נקודות (שאלה מלאה · רמה ב')
במשחק כדורסל קבוצת בית הספר קלעה $23$ סלים, ובסך הכול $54$ נקודות. כל סל היה סל של $2$ נקודות או סל של $3$ נקודות (לא היו זריקות עונשין).…
מספר שקובע את מספר הפתרונות (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה המערכת:
$\begin{cases} 2x+3y=8 \\ 4x+6y=c \end{cases}$
$c$ הוא מספר.
קניות בדוכן פירות (שאלת ביניים · רמה א')
בדוכן פירות לכל סוג פרי יש מחיר קבוע לקילוגרם. שירה קנתה $3$ ק"ג תפוחים ו- $2$ ק"ג בננות ושילמה $27$ ש"ח. אביב קנה באותו דוכן $5$ ק"ג תפוחים…
שתי משוואות, ישר אחד (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה המערכת
$\begin{cases} y=2x-1 \\ 6x-3y=3 \end{cases}$
.
מערכות עם מקדמים מוחלפים (שאלה מלאה · מצוינות)
במערכת
$\begin{cases} 5x+3y=24 \\ 3x+5y=16 \end{cases}$
המקדמים של $x$ ושל $y$ מחליפים מקומות: במשוואה הראשונה $5$ ואחריו $3$ , ובשנייה $3$ …
שלושה תלמידים, משוואה אחת (שאלת ביניים · רמה א')
המורה כתבה על הלוח את המשוואה $2x+3y=12$ , וביקשה מכל תלמיד להוסיף משוואה שנייה וליצור מערכת. דנה הוסיפה: $4x+6y=24$ יוני הוסיף: $4x+6y=10$ …
החיסור שנעצר באמצע (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת
$\begin{cases} 4x+5y=42 \\ 4x+2y=24 \end{cases}$
עידן חיסר את המשוואה השנייה מהראשונה, וכתב: $3y=42$ .
חמש הזמנות בחנות פרחים: מספיק, מיותר או סותר (שאלה מלאה · מצוינות)
בחנות פרחים ורד עולה $r$ ש"ח וטוליפ עולה $t$ ש"ח (מחיר קבוע לכל פרח). בטבלה חמש הזמנות:
ישר אחד, שלושה שותפים: נחתך, מקביל, אותו ישר (שאלה מלאה · רמה א')
במערכת הצירים מסורטטים הגרפים של המשוואות $2x+3y=9$ ו- $2x-y=1$ : ישר אחד עולה וישר אחד יורד.
מכפילים משוואה כדי לבטל נעלם (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה המערכת
$\begin{cases} 2x-y=5 \\ 3x+2y=11 \end{cases}$
.
משוואה שנייה לפי דרישה (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה המשוואה $6x+3y=12$ . בונים לה משוואה שנייה, כדי לקבל מערכת.
הפתרון "היחיד" של עידו (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המערכת
$\begin{cases} 2y+4x=10 \\ y=5-2x \end{cases}$
. עידו כתב: "מצאתי $x=1$ , ולכן זה הפתרון היחיד".
ראשונה פחות שנייה, שנייה פחות ראשונה (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה המערכת
$\begin{cases} 6x+2y=34 \\ 6x-2y=14 \end{cases}$
.
איפה נשבר הפתרון? (שאלה קצרה · מצוינות)
אסף פתר את המערכת
$\begin{cases} 4x+3y=10 \\ 6x-5y=34 \end{cases}$
בביטול $x$ : שורה 1: $12x+9y=30$ שורה 2: $12x-10y=68$ שורה 3: $-y=-38$ …
כופלים משוואה אחת או שתיים? (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המערכת
$\begin{cases} 3x+5y=11 \\ 9x+2y=20 \end{cases}$
.
מחברים את המשוואות והנעלם נעלם (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} 4x+y=17 \\ x-y=3 \end{cases}$
סכום והפרש בלי לפתור (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המערכת
$\begin{cases} 3x+2y=17 \\ 2x+3y=13 \end{cases}$
.
חילוק לפני ביטול, וחילוק אחרי חיבור (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה שני סעיפים נפרדים.
כופלים משוואה ב- $- 3$ (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה המשוואה $2x-5y=4$ . שלושה תלמידים הכפילו את כל המשוואה ב- $-3$ : מאיר כתב: $-6x+15y=4$ הילה כתבה: $-6x+15y=-12$ תום כתב: $-6x-15y=-12$
המשוואה של הסכום (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה המערכת
$\begin{cases} 2x-y=4 \\ x+3y=9 \end{cases}$
.
פתרון אלגברי ומשמעות גרפית (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה המערכת
$\begin{cases} 2x+y=11 \\ 3x-2y=6 \end{cases}$
.
שלוש דרכים, זוג אחד (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה המערכת:
$\begin{cases} x+3y=14 \\ 2x-3y=1 \end{cases}$
שירן מחברת את שתי המשוואות. אלון מבודד את $x$ מהמשוואה הראשונה ומציב בשנייה.…
בונים מערכות שהזוג פותר (שאלה קצרה · מצוינות)
הזוג $(-2,3)$ צריך להיות פתרון של כל אחת מהמערכות שתבנו.
שלוש דרכים לפתור מערכת אחת (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה המערכת
$\begin{cases} 5x+4y=22 \\ 3x+6y=24 \end{cases}$
. בשאלה הזאת תפתרו אותה בכמה דרכים ותשוו ביניהן.
מערכות עם עשרוניים ועם שברים (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו כל מערכת בעזרת חיבור או חיסור של המשוואות. כתבו את הפתרון כזוג סדור ובדקו אותו.
מה אומרת השורה שאחרי הביטול? (שאלת ביניים · מצוינות)
שלושה תלמידים פתרו שלוש מערכות שונות בשיטת המקדמים. בכל המערכות המשוואה הראשונה היא $2x-3y=5$ . כל תלמיד הכפיל את המשוואה הראשונה ב- $2$ וחיסר…
נכון או לא נכון (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המערכת
$\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}$
, והפתרון שלה $(3,2)$ . החליטו לגבי כל טענה אם היא נכונה. אם אינה נכונה, הראו דוגמה…
זוג שנמצא בניסוי וטעייה (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המערכת:
$\begin{cases} 7x+3y=5 \\ 2x-5y=19 \end{cases}$
רומי הציבה כמה זוגות במשוואות, ומצאה שהזוג $(2,-3)$ מתאים. איתן אומר: "זה לא…
ישר אחד ושלוש מערכות: אפס, אחד או אינסוף פתרונות (שאלה מלאה · רמה א')
בכל אחד מהסעיפים א-ג המשוואה הראשונה במערכת היא $y=-3x+5$ , והמשוואה השנייה משתנה.
הכפולה המשותפת הקטנה או מכפלת המקדמים (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המערכת:
$\begin{cases} 4x+9y=7 \\ 6x+15y=9 \end{cases}$
הסימן של המקדם מחליט: חיבור או חיסור (שאלה קצרה · רמה א')
בכל מערכת כתבו קודם את המקדמים של $x$ ושל $y$ בשתי המשוואות, כל מקדם עם הסימן שלו. לפי המקדמים החליטו איזה נעלם לבטל ואיך.
מקדמים שמתקבלים בכפל במספר לא שלם (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונות שלוש מערכות: (1)
$\begin{cases} 4x-6y=10 \\ 6x-9y=15 \end{cases}$
(2)
$\begin{cases} 4x-6y=10 \\ 6x-9y=12 \end{cases}$
(3)…
משוואה שהוכפלה רק בחלקה (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המערכת:
$\begin{cases} 3x+2y=16 \\ x-y=2 \end{cases}$
כופלים משוואה ב- $0$ ? (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המערכת:
$\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}$
הפתרון שלה הוא $(3,1)$ .
התשובה בדף התשובות (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המערכת:
$\begin{cases} 5x-2y=11 \\ 3x+4y=17 \end{cases}$
בדף התשובות שקיבלה הכיתה כתוב שהפתרון הוא $(3,-2)$ .
ארבע מערכות: מהו הצעד הראשון הקצר? (שאלה קצרה · מצוינות)
לפניכם ארבע מערכות: (1)
$\begin{cases} 3x+4y=10 \\ 3x-2y=4 \end{cases}$
(2)
$\begin{cases} y=2x-5 \\ 7x-3y=17 \end{cases}$
(3)…
קודם מנקים מכנים (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} \frac{x+2}{4}+\frac{y-2}{3}=4 \\ \frac{x-y}{2}=-1 \end{cases}$
בונים משוואה שנייה לפי דרישה (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $3x+2y=12$ . בכל סעיף כתבו משוואה שנייה שיוצרת איתה מערכת.
שני ישרים מקבילים: איזו מערכת (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם שני ישרים במערכת צירים אחת.
מערכות עם מספרים עוקבים (שאלה מלאה · מצוינות)
במשוואה $2x+3y=4$ המספרים $2$ , $3$ , $4$ הם מספרים עוקבים (כל מספר גדול ב- $1$ מהקודם). נחקור מערכות שבהן בכל משוואה יש שלושה מספרים כאלה.
מפשטים, בוחרים שיטה ובודקים (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} 2(x+3y)-5=3(y+1) \\ 4(x+1)=3y+2 \end{cases}$

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מערכת שתי משוואות ליניאריות בהקשר כלכלי (שאלה קצרה · רמה א')
בעל חנות תבלינים קנה בקנייה אחת $2$ ק"ג אגוזים ו- $3$ ק"ג שקדים ושילם $246$ שקלים. בקנייה אחרת, באותם מחירים,…
מציאת נקודת החיתוך של שני ישרים (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.
פתרון מערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו את מערכות המשוואות.