שאלות פתוחות: מערכת שתי משוואות: פתרון בהצבה - כיתה ח'

בעמוד זה שאלות פתוחות על פתרון מערכת של שתי משוואות בשיטת ההצבה לכיתה ח'. השאלות כוללות מערכות שבהן אחד המשתנים כבר מבודד, מערכות עם סוגריים שצריך לפתוח קודם, ומערכות שצריך לסדר לפני ההצבה, עם כתיבת הפתרון כזוג סדור ובדיקה. יש גם מערכת שבה ההצבה מגלה שאין פתרון. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף תרגול, עם פתרון מלא לכל מערכת ואפשרות להוריד ל-Word.

34 שאלותרמה א': 17רמה ב': 10מצוינות: 7

שאלה 1 · איזה נעלם כדאי לבודד?שאלה קצרה · רמה א'

נתונה מערכת המשוואות:
{3x+y=115x−2y=0\begin{cases} 3x+y=11 \\ 5x-2y=0 \end{cases}{3x+y=115x−2y=0​

באף אחת מהמשוואות אין נעלם מבודד. איזה נעלם, ומאיזו משוואה, הכי נוח לבודד? נמקו את הבחירה, ופתרו את המערכת בשיטת ההצבה. בדקו את הפתרון.

שאלה 2 · הצבה כשנעלם אחד כבר מבודדשאלה קצרה · רמה ב'

פתרו כל מערכת בשיטת ההצבה, וכתבו את הפתרון כזוג סדור (x,y)(x,y)(x,y).

א.

{y=x+42x+y=19\begin{cases} y=x+4 \\ 2x+y=19 \end{cases}{y=x+42x+y=19​

ב.

{x=3yx+2y=25\begin{cases} x=3y \\ x+2y=25 \end{cases}{x=3yx+2y=25​

שאלה 3 · כשה-x נעלם בהצבהשאלה קצרה · מצוינות

נתונה מערכת המשוואות:
{y=3x−26x−2y=5\begin{cases} y=3x-2 \\ 6x-2y=5 \end{cases}{y=3x−26x−2y=5​

א.

פתרו את המערכת בשיטת ההצבה. מה קיבלתם, ומה זה אומר על הפתרונות של המערכת?

ב.

כתבו את המשוואה השנייה בצורה y=mx+by=mx+by=mx+b. הסבירו בעזרת הגרפים של שתי המשוואות למה התוצאה בסעיף א הייתה צפויה.

שאלה 4 · קודם מפשטים, אחר כך מציביםשאלה קצרה · רמה א'

נתונה מערכת המשוואות:
{4(x−1)=y+32(x+y)−x=13\begin{cases} 4(x-1)=y+3 \\ 2(x+y)-x=13 \end{cases}{4(x−1)=y+32(x+y)−x=13​

פתרו את המערכת. בדקו את התשובה שלכם במשוואות כפי שהן נתונות בשאלה.

שאלה 5 · זוג שמקיים רק משוואה אחתשאלה קצרה · רמה ב'

נתונה מערכת המשוואות:
{x=2y−34x−3y=8\begin{cases} x=2y-3 \\ 4x-3y=8 \end{cases}{x=2y−34x−3y=8​

א.

דני אומר שהזוג (1,2)(1,2)(1,2) הוא פתרון של המערכת, כי 1=2⋅2−31=2\cdot 2-31=2⋅2−3. בדקו את הזוג בשתי המשוואות. האם דני צודק? הסבירו.

ב.

פתרו את המערכת בשיטת ההצבה ובדקו את הפתרון.

שאלה 6 · הצבה באותה משוואה: למה זה לא עובדשאלת ביניים · מצוינות

נתונה מערכת המשוואות:
{2x+y=7x−2y=−4\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-2y=-4 \end{cases}{2x+y=7x−2y=−4​

א.

נועה בודדה את yyy מהמשוואה הראשונה: y=7−2xy=7-2xy=7−2x. אחר כך הציבה את הביטוי שוב באותה משוואה: 2x+(7−2x)=72x+(7-2x)=72x+(7−2x)=7. היא קיבלה 7=77=77=7 וכתבה: "כל זוג מספרים הוא פתרון של המערכת". הסבירו מה השתבש אצל נועה, ותנו זוג שמראה שהמסקנה שלה אינה נכונה.

ב.

פתרו את המערכת נכון בשיטת ההצבה, והתחילו מהביטוי של נועה.

ג.

עומר פתר את אותה מערכת, אבל בחר לבודד את xxx מהמשוואה השנייה. פתרו בדרך של עומר. הסבירו למה שתי הדרכים חייבות להגיע לאותו זוג.

שאלה 7 · פתרון מערכת ובדיקהשאלה קצרה · רמה א'

{2x+y=23x−y−x=−4\begin{cases} 2x+y=2 \\ 3x-y-x=-4 \end{cases}{2x+y=23x−y−x=−4​

א.

פתרו את מערכת המשוואות.

ב.

בדקו את תשובתכם.

שאלה 8 · הצבה צעד אחרי צעדשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה מערכת המשוואות:
{x+y=123x+2y=31\begin{cases} x+y=12 \\ 3x+2y=31 \end{cases}{x+y=123x+2y=31​
נפתור אותה בשיטת ההצבה.

א.

בודדו את xxx מהמשוואה הראשונה.

ב.

הציבו את הביטוי שקיבלתם בסעיף א במקום xxx במשוואה השנייה, ופתרו את המשוואה שמתקבלת.

ג.

מצאו את xxx, כתבו את הפתרון של המערכת כזוג סדור, ובדקו אותו בשתי המשוואות.

שאלה 9 · משולש בין שני ישרים וציר $x$ שאלה מלאה · מצוינות

ישר א הוא הגרף של y=2x−2y=2x-2y=2x−2, וישר ב הוא הגרף של x+2y=11x+2y=11x+2y=11.
הישרים נחתכים בנקודה AAA. ישר א חותך את ציר xxx בנקודה BBB, וישר ב חותך את ציר xxx בנקודה CCC.
אב
ABC

א.

מצאו את השיעורים של הנקודה AAA בשיטת ההצבה.

ב.

מצאו את השיעורים של הנקודות BBB ו-CCC.

ג.

חשבו את השטח של המשולש ABCABCABC.

ד.

ישר ג הוא הגרף של 4x−3y=04x-3y=04x−3y=0. הראו, בלי לפתור מערכת נוספת, שגם ישר ג עובר דרך AAA. האם ישר ג חותך את הצלע BCBCBC? נמקו.

ה.

כתבו משוואה של ישר שעובר דרך AAA ומחלק את המשולש ABCABCABC לשני משולשים שהשטחים שלהם שווים. הסבירו למה השטחים שווים.

שאלה 10 · מטבעות בקופת הכיתהשאלת ביניים · רמה א'

בקופת הכיתה יש רק מטבעות של 555 ש"ח ומטבעות של 222 ש"ח. בקופה 202020 מטבעות, ובסך הכול 616161 ש"ח.

א.

סמנו ב-xxx את מספר המטבעות של 555 ש"ח וב-yyy את מספר המטבעות של 222 ש"ח. כתבו מערכת של שתי משוואות שמתאימה לסיפור.

ב.

פתרו את המערכת בשיטת ההצבה. כמה מטבעות מכל סוג יש בקופה? בדקו את התשובה בסיפור.

ג.

גזבר הכיתה החליף בבנק כל מטבע של 222 ש"ח במטבע של 555 ש"ח, ושילם על כך את ההפרש. כמה כסף יש עכשיו בקופה, וכמה כסף הוסיף הגזבר?

עוד 21 שאלות על מערכת שתי משוואות: פתרון בהצבה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מחברות ועטים (שאלה מלאה · רמה ב')
בחנות לציוד משרדי מחיר של מחברת גדול ב- $3$ ש"ח ממחיר של עט. מיכל קנתה $4$ מחברות ו- $6$ עטים, ושילמה $52$ ש"ח. נסמן: $x$ - המחיר של עט אחד…
מה מלמד זוג שגוי (שאלה קצרה · מצוינות)
טל ונועה פתרו בהצבה את המערכת
$\begin{cases} x=2y+1 \\ 3x+4y=33 \end{cases}$
. כל אחד מצא קודם את $y$ , ואחר כך את $x$ מהמשוואה הראשונה. טל…
מערכת עם שבר: בוחרים מה לבודד (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} \frac{x}{2}+y=7 \\ x-3y=-1 \end{cases}$
שלוש שורות אחרי ההצבה (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה המערכת
$\begin{cases} y=3x-5 \\ 4x+2y=30 \end{cases}$
. שלושה תלמידים הציבו את הביטוי של $y$ במשוואה השנייה ופתחו סוגריים. כל אחד כתב…
בונים מערכת לפי פתרון (שאלה קצרה · מצוינות)
בונים מערכת שהפתרון היחיד שלה הוא $(3,-2)$ .
אומדן מגרף ופתרון מדויק בהצבה (שאלה מלאה · רמה א')
במערכת הצירים מסורטטים שני ישרים: אחד עולה ואחד יורד. אחד מהם הוא הגרף של המשוואה $y=0.5x+1$ , והשני הוא הגרף של המשוואה $2x+y=7$ .
איפה נעלם ה-5? (שאלה קצרה · רמה ב')
גיא פתר בהצבה את המערכת
$\begin{cases} y=5-x \\ 3x+2y=13 \end{cases}$
. וכתב: שורה 1: $3x+2(5-x)=13$ שורה 2: $3x+5-2x=13$ שורה 3: $x+5=13$ …
שביל אריחים: מתי יש תשובה אחת? (שאלה מלאה · מצוינות)
שביל דקורטיבי בנוי מ- $4$ אריחים ארוכים ומ- $6$ אריחים קצרים, בשורה אחת. אורך כל אריח ארוך $p$ ס״מ ואורך כל אריח קצר $q$ ס״מ. $p$ ו- $q$ הם…
מינוס לפני הסוגריים (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המערכת
$\begin{cases} y=11-2x \\ 4x-3y=7 \end{cases}$
.
בוחרים את הנעלם הנוח לבידוד (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} 3x-y=5 \\ x+2y=18 \end{cases}$
פתרונות שלמים וחיוביים (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $2x+5y=40$ .
איזה נעלם כדאי לבודד? (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המערכת
$\begin{cases} 5x-y=7 \\ 3x+2y=25 \end{cases}$
.
פתרונות של משוואה אחת עם שני נעלמים (שאלה קצרה · רמה ב')
זוג סדור $(x,y)$ הוא פתרון של משוואה עם שני נעלמים אם ההצבה שלו נותנת שוויון נכון.
משוואות כפי שנכתבו במחברת (שאלת ביניים · רמה א')
במחברת של תלמידה המשוואות של מערכת כתובות כך: $3x=2y+13$ $8-3y=x$
מי פותר את שתי המשוואות (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} x+2y=10 \\ 3x-y=9 \end{cases}$
שני ישרים בגרף, ועוד ישר שלישי (שאלת ביניים · רמה א')
בגרף שני ישרים, $f$ ו- $g$ . הישר $f$ יורד, והישר $g$ עולה. כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
זוג סדור בסדר הפוך (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} y=3x-5 \\ 2x+y=15 \end{cases}$
פתרונות של משוואה עם מכנים (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המשוואה: $\frac{x-1}{3}+\frac{y}{2}=3$
פתרונות עם תנאי (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המשוואה $4x+y=15$ .
הצבה כשמשוואה אחת עם מכנים (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} \frac{x+y}{5}=\frac{y+1}{2} \\ x=y+4 \end{cases}$
פתרון גרפי של מערכת (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases} x+y=7 \\ 2x-y=2 \end{cases}$

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

קודקודי מעוין כנקודות חיתוך של ישרים (שאלה קצרה · רמה א')
במעוין $ABCD$ נתון הקודקוד $A(4,11)$ . הצלע $AB$ מונחת על הישר $y=-7x+39$ , הצלע $AD$ מונחת על הישר $y=x+7$ ,…
פתרון מערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו את מערכות המשוואות.
קופסאות עוגיות: מערכת, ובדיקה בלי משוואות (שאלה קצרה · רמה א')
מאפייה ארזה ביום אחד $70$ קופסאות עוגיות: קופסאות קטנות עם $6$ עוגיות בכל אחת, וקופסאות גדולות עם $10$ עוגיות…