שאלות פתוחות: משוואות ממעלה ראשונה עם מכנה מספרי - כיתה ח'

שאלות פתוחות בנושא משוואות ממעלה ראשונה עם מכנה מספרי לכיתה ח': כפל במכנה משותף ובדיקת הפתרון בהצבה. יש מציאת טעות בפתרון של תלמידה שכפלה במכנה, משוואה עם מספר שמסתתר מאחורי משבצת, בעיה על הוצאה של חצי ושליש מהכסף, מערכת משוואות עם שבר, ושאלת תערובת של טבעות זהב וכסף. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מכאן בונים מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וקובץ Word.

56 שאלותרמה א': 23רמה ב': 14מצוינות: 19

שאלה 1 · מערכת עם שבר: בוחרים מה לבודדשאלת ביניים · רמה א'

נתונה מערכת המשוואות:
{x2+y=7x−3y=−1\begin{cases} \frac{x}{2}+y=7 \\ x-3y=-1 \end{cases}{2x​+y=7x−3y=−1​

א.

גיל רוצה לפתור בהצבה, ומתלבט איזה נעלם לבודד ומאיזו משוואה. הציעו לו בחירה שבה הביטוי המבודד יהיה בלי שבר, וכתבו את הביטוי.

ב.

הציבו את הביטוי מסעיף א במשוואה האחרת ופתרו את המערכת.

ג.

הגרפים של שתי המשוואות הם ישרים. מהם השיעורים של נקודת החיתוך שלהם? האם גם הישר y=x−5y=x-5y=x−5 עובר בנקודה הזאת? נמקו.

שאלה 2 · משוואות עם מכנה מספרישאלה קצרה · רמה ב'

פתרו את המשוואות ובדקו את הפתרון בהצבה.

א.

x−23=5\frac{x-2}{3}=53x−2​=5

ב.

x2+x3=10\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=102x​+3x​=10

שאלה 3 · מתי אין פתרון?שאלה קצרה · מצוינות

נתונה המשוואה
x3+x6=□⋅x+2\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=\square\cdot x+23x​+6x​=□⋅x+2
בריבוע צריך לכתוב מספר.

א.

איזה מספר צריך לכתוב בריבוע כדי שלמשוואה לא יהיה פתרון? הסבירו.

ב.

האם יש מספר שאפשר לכתוב בריבוע כך שכל מספר יהיה פתרון של המשוואה? הסבירו.

שאלה 4 · איפה הטעות?שאלה קצרה · רמה א'

ליה פתרה את המשוואה
x+12−x−35=2\frac{x+1}{2}-\frac{x-3}{5}=22x+1​−5x−3​=2
כך:
שורה 1: 5(x+1)−2(x−3)=205(x+1)-2(x-3)=205(x+1)−2(x−3)=20
שורה 2: 5x+5−2x−6=205x+5-2x-6=205x+5−2x−6=20
שורה 3: 3x−1=203x-1=203x−1=20
שורה 4: x=7x=7x=7

א.

באיזו שורה טעתה ליה? מה הטעות?

ב.

פתרו את המשוואה נכון ובדקו את הפתרון בהצבה במשוואה המקורית.

שאלה 5 · חצי ושליש מהכסףשאלה קצרה · רמה ב'

נועה הוציאה חצי מהכסף שהיה לה על ספר, ושליש מהכסף שהיה לה על ארוחה. נשארו לה 202020 ש"ח.

סמנו ב-xxx את הסכום שהיה לנועה בהתחלה (בש"ח). כתבו משוואה ופתרו אותה. כמה כסף היה לנועה בהתחלה?

שאלה 6 · שאלת אחוזים ותערובת: שתי טבעותשאלה קצרה · מצוינות

שאלת אחוזים ותערובת
לעדי יש שתי טבעות המורכבות רק מזהב ומכסף. בטבעת ראשונה יש 20% כסף ו- 80% זהב, בטבעת שנייה היחס בין הכסף לזהב הוא 1 : 5.
עדי נתנה את שתי הטבעות לצורף כדי שיכין מהן שרשרת. הצורף שקל את הטבעות ואמר לה שהטבעת השנייה שוקלת 4 גרם יותר מהראשונה. הוא התיך את הטבעות והתקבלה שרשרת שבה כמות הזהב גדולה פי 4.5 מכמות הכסף.

מה משקלה של כל אחת מהטבעות?

שאלה 7 · המספר החסרשאלה קצרה · רמה א'

במשוואה הבאה מסתתר מספר מאחורי הריבוע:
x+□4−x6=2\frac{x+\square}{4}-\frac{x}{6}=24x+□​−6x​=2

א.

ידוע שהפתרון של המשוואה הוא x=6x=6x=6. איזה מספר מסתתר מאחורי הריבוע?

ב.

איזה מספר צריך לכתוב בריבוע כדי שהפתרון של המשוואה יהיה x=0x=0x=0?

שאלה 8 · מסלול טיול בשלושה ימיםשאלת ביניים · רמה ב'

קבוצת מטיילים הלכה במסלול בשלושה ימים.
ביום הראשון הלכו רבע מאורך המסלול, ביום השני הלכו שליש מאורך המסלול, וביום השלישי הלכו את 151515 הק"מ האחרונים.
נסמן ב-xxx את אורך המסלול כולו בק"מ.

א.

כתבו ביטוי לדרך שהלכו ביום הראשון וביטוי לדרך שהלכו ביום השני.

ב.

כתבו משוואה ופתרו אותה. מה אורך המסלול?

ג.

חשבו את הדרך של כל יום, והראו שיחד מתקבל אורך המסלול שמצאתם.

שאלה 9 · מי מתחיל לצבוע?שאלת ביניים · מצוינות

יוני ומאיה צובעים גדר.
יוני צובע לבדו את כל הגדר ב-222 שעות, ומאיה צובעת לבדה את כל הגדר ב-666 שעות.

א.

בכמה זמן יצבעו את הגדר אם יעבדו יחד מההתחלה?

ב.

יוני התחיל לצבוע לבד, ואחרי שעה אחת הצטרפה אליו מאיה, והם המשיכו יחד עד הסוף. כמה זמן עבדו יחד, וכמה זמן נמשכה כל הצביעה?

ג.

מאיה טוענת: "לא משנה מי מתחיל. אם אני אצבע לבד שעה אחת ואחר כך יוני יצטרף, הצביעה תסתיים אחרי אותו זמן כמו בסעיף ב".
האם מאיה צודקת? הראו בחישוב והסבירו את התוצאה.

שאלה 10 · שתי מדפסותשאלת ביניים · רמה א'

בבית הספר מדפיסים חוברות לכל התלמידים.
מדפסת א' מדפיסה לבדה את כל החוברות ב-333 שעות.
מדפסת ב' מדפיסה לבדה את כל החוברות ב-666 שעות.

א.

איזה חלק מהעבודה מדפיסה כל מדפסת בשעה אחת? בכמה שעות תדפסנה שתי המדפסות את כל החוברות אם תעבודנה יחד?

ב.

באחד הימים עבדה מדפסת א' לבדה שעה אחת, ואחר כך הפעילו גם את מדפסת ב' ושתיהן עבדו יחד עד הסוף. כמה זמן עבדה מדפסת ב'? כתבו את התשובה בשעות ובדקות.

ג.

באותו יום התחילה מדפסת א' לעבוד בשעה 9:159:159:15. באיזו שעה הסתיימה ההדפסה?

עוד 40 שאלות על משוואות ממעלה ראשונה עם מכנה מספרי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משוואה אחרי משוואה: מוסיפים קושי בכל שלב (שאלה מלאה · רמה ב')
בשאלה זו פותרים משוואות עם מכנה מספרי. בכל סעיף המשוואה מעט מסובכת יותר מבסעיף הקודם. בכל סעיף בדקו את הפתרון בהצבה במשוואה המקורית.
הרכבת פאזל ביחד (שאלת ביניים · מצוינות)
נועם ואיילת מרכיבים פאזלים של 500 חלקים. נועם מרכיב לבד פאזל כזה במשך שעה אחת ו- 20 דקות. איילת מרכיבה לבד פאזל זהה במשך שעה אחת ו- 40 דקות.
שתי שקיות של תערובת אגוזים (שאלת ביניים · רמה א')
בחנות יש שתי שקיות של תערובת אגוזים. בכל שקית יש רק שקדים ואגוזי קשיו. בשקית הראשונה השקדים הם רבע ממשקל השקית. בשקית השנייה היחס בין משקל…
מכונות מספרים (שאלה קצרה · רמה ב')
מכונת מספרים מקבלת מספר, עושה עליו פעולות ומוציאה תוצאה. בכל סעיף סמנו ב- $x$ את המספר שנכנס, כתבו משוואה ומצאו אותו.
הליכה למעיין וחזרה: מהירות ממוצעת (שאלה מלאה · מצוינות)
קבוצת צופים הלכה מהמחנה אל מעיין וחזרה באותו שביל. בדרך למעיין הלכו במהירות $4$ קמ"ש, ובדרך חזרה הלכו במהירות $6$ קמ"ש. ההליכה הלוך וחזור…
שתי מכונות מיון דואר (שאלת ביניים · רמה א')
מכונת מיון ראשונה מסוגלת למיין את כל הדואר ב- 4 שעות. מכונת מיון שנייה מסוגלת למיין את אותו הדואר כולו ב- 6 שעות.
איזה איבר לא הוכפל? (שאלה קצרה · רמה ב')
שחר ומאיה ביטלו את המכנים במשוואה $\frac{x}{3}-4=\frac{x}{6}+1$ בכפל ב- $6$ , וכל אחד טעה באיבר אחר: שחר כתב: $2x-4=x+6$ מאיה כתבה:…
שאלת הספק: תיקון מכשירים (שאלה מלאה · מצוינות)
שאלת הספק בשמונה בבוקר היתה במעבדה כמות מסוימת של מכשירים שהגיעו לתיקון. יאיר מתקן כמות כזו לבדו ב- 10 שעות. חברו חנן מתקן את אותה הכמות…
מיון ספרים בספרייה (שאלה מלאה · רמה א')
לספרייה העירונית הגיע משלוח של ספרים חדשים למיון. ליה ממיינת לבדה משלוח כזה ב- $6$ שעות. רון ממיין לבדו את אותו משלוח ב- $3$ שעות. בשעה $8:30$ …
איזה מספר פותר איזו משוואה? (שאלה קצרה · רמה ב')
כל אחד מהמספרים $8$ , $-8$ , $10$ פותר בדיוק אחת משלוש המשוואות הבאות: (1) $\frac{x+4}{3}=\frac{x}{2}$ (2) $\frac{x}{4}+\frac{x}{2}=-6$ (3)…
ריבוע חסום במשולש ישר זווית (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle C=90^\circ$ ) נתון: $BC=4$ ס"מ, $CA=12$ ס"מ. בתוך המשולש חסום ריבוע $CDEF$ : הקודקוד $D$ על הצלע $CA$ ,…
מחלקים את המונה במכנה (שאלה קצרה · רמה א')
ארבעה תלמידים כתבו כל שבר כביטוי בלי מכנה:
טבלה עוזרת לפתור (שאלה קצרה · רמה ב')
מיכל בודקת מספרים במשוואה $\frac{x}{4}+\frac{x}{6}=25$ בעזרת טבלה.
הצל של אדם ליד עמוד תאורה (שאלה מלאה · מצוינות)
הצל על המדרכה ממוקם עמוד תאורה ועליו פנס בגובה 3 מ' מן המדרכה. בערב, כאשר הפנס דולק, ואנשים עוברים על המדרכה, משתנה אורך הצל שלהם כאשר הם…
איזה ביטוי שווה לשבר? (שאלה קצרה · רמה א')
נתונים שלושה שברים: $\frac{12x-20}{4}$ , $\frac{3x-21}{3}$ , $\frac{x+10}{5}$ , וארבעה ביטויים: $x-7$ , $3x-5$ , $\frac{x}{5}+2$ , $3x-20$ .
מכל המים מתמלא (שאלת ביניים · רמה ב')
במכל מים יש מקום ל- $x$ ליטרים. בבוקר המכל היה מלא ב- $\frac{2}{5}$ מנפחו. הוסיפו לו $120$ ליטר, ועכשיו הוא מלא בדיוק בחצי.
שלוש תשובות, שלוש טעויות (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $\frac{2x+1}{3}-\frac{x-2}{4}=5$ . שלושה תלמידים פתרו אותה, וכל אחד טעה פעם אחת בלבד, בשלב ביטול המכנים: - אחד כפל ב- $4$ רק את…
משלימים את השורות אחרי הכפל (שאלה קצרה · רמה א')
יעל פתרה את המשוואה $\frac{x+5}{2}-\frac{x-1}{3}=7$ . היא כפלה את שני האגפים ב- $6$ , ואחר כך פתחה סוגריים. בשתי השורות שלה חסרים מספרים…
כפל במכנה: מה קורה למונה? (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה המשוואה $\frac{3x+5}{4}=x-1$ .
הבדיקה של ליה (שאלה קצרה · מצוינות)
ליה פתרה את המשוואה $\frac{x}{4}+\frac{x+2}{6}=7$ . אחרי הכפל ב- $12$ היא כתבה $3x+2(x+2)=7$ , ובסוף קיבלה $x=0.6$ . היא הציבה $0.6$ בשורה…
מכפילים בשלבים או בבת אחת (שאלה קצרה · רמה א')
שירה ונועם פתרו את המשוואה $\frac{x}{6}+\frac{x}{4}=15$ . שירה כפלה קודם את שני האגפים ב- $2$ , ואחר כך כפלה את השורה שקיבלה ב- $6$ . נועם כפל…
מכפלת המכנים או הכפולה הקטנה ביותר? (שאלה קצרה · רמה ב')
לכל זוג של מכנים אפשר לחשב שני מספרים: את המכפלה של שני המכנים, ואת הכפולה המשותפת הקטנה ביותר שלהם. זוגות המכנים: $3$ ו- $4$ ; $4$ ו- $6$ ; $5$ …
אגף ימין עם מכנה 2 (שאלה קצרה · מצוינות)
אגף שמאל של משוואה הוא $\frac{x-2}{3}+\frac{x}{6}$ .
בונים משוואה עם המכנים 2 ו-5 (שאלה קצרה · רמה א')
בונים משוואות שיש בהן שני שברים: אחד עם המכנה $2$ ואחד עם המכנה $5$ . במונה של כל אחד מהשברים יש ביטוי עם $x$ , כמו $x+1$ .
מבטלים את המכנה (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו את המשוואות ובדקו את הפתרון בהצבה במשוואה המקורית.
פרס שמתחלק בין שלושה (שאלת ביניים · מצוינות)
פרס כספי חולק בין שלושה זוכים. הזוכה הראשון קיבל חצי מהפרס פחות $100$ ש"ח. הזוכה השני קיבל שליש מהפרס ועוד $50$ ש"ח. הזוכה השלישי קיבל את כל…
משחזרים משוואה, ומשוואה שקולה (שאלה קצרה · רמה א')
אביב ביטל את המכנים במשוואה בכפל ב- $10$ , וקיבל את השורה $5x-2x+30=60$ . במשוואה המקורית היו שני שברים שבמונה של כל אחד מהם רק $x$ , ועוד שני…
חידות מספרים עם חצי, שליש ורבע (שאלה מלאה · רמה ב')
דנה ממציאה חידות מספרים לחברים שלה. בכל סעיף סמנו ב- $x$ את המספר שבחרה דנה, כתבו משוואה, פתרו אותה ובדקו שהתשובה מתאימה לחידה.
ארבע שורות אחרי הכפל: אילו מהן שקולות? (שאלה קצרה · מצוינות)
במשוואה $\frac{x}{4}-\frac{x}{10}=3$ רוצים להיפטר מהשברים. ארבעה תלמידים בחרו כל אחד מספר משלו, כפלו בו את המשוואה וקיבלו: עמית: $5x-2x=60$ …
אלבום מדבקות: איזו משוואה מתאימה? (שאלת ביניים · רמה א')
נועה מילאה אלבום מדבקות בשלושה חודשים. בחודש הראשון הדביקה רבע מכל המדבקות שבאלבום. בחודש השני הדביקה שליש מהמדבקות שנשארו. בחודש השלישי…
מכנה שמסתתר בריבוע (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $\frac{x}{6}+\frac{x}{\square}=15$ . בריבוע כתוב מספר שלם חיובי.
הגיל של דני (שאלת ביניים · רמה א')
שליש מהגיל שהיה לדני לפני $2$ שנים שווה לרבע מהגיל שיהיה לו בעוד $3$ שנים.
פתרון שאינו שלם, ומספר שהופך אותו לשלם (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה המשוואה $\frac{3x-2}{4}-\frac{x+1}{6}=1$ .
סילוק מכנים: מה קורה לסימן של המונה? (שאלה קצרה · רמה א')
יעל ורון פתרו את המשוואה $\frac{x+4}{3}-\frac{2x-1}{5}=1$ , וקיבלו תשובות שונות. הפתרון של יעל: $5(x+4)-3(2x-1)=15$ $5x+20-6x+3=15$ $-x=-8$ …
מה שכתוב בריבוע קובע כמה פתרונות יש (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף כותבים בריבוע $\square$ מספר או ביטוי.
מינוס לפני שבר שהמונה שלו ביטוי (שאלה קצרה · רמה א')
נוי פתרה את המשוואה $\frac{x+4}{3}-\frac{x-1}{2}=1$ . היא כפלה את שני האגפים ב- $6$ , וכתבה: $2x+8-3x-3=6$
המספר שבאגף ימין קובע את הפתרון (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המשוואה $\frac{x}{4}+\frac{x}{6}=\square$ . בריבוע כותבים מספר.
שני מספרים ומנות שלהם (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף סמנו את המספר הקטן ב- $x$ , כתבו ביטוי למספר הגדול, כתבו משוואה עם מכנה ופתרו אותה. בדקו לפי התיאור. הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
חיסור של שבר שהמונה שלו ביטוי (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את המשוואות ובדקו את הפתרון בהצבה.
שליש וחצי מהחסכונות (שאלת ביניים · רמה א')
לאחיה של ליאת יש $30$ ש"ח יותר מליאת. ליאת הוציאה שליש מהכסף שלה, והאח שלה הוציא חצי מהכסף שלו. עכשיו נשאר לשניהם אותו סכום כסף. סמנו ב- $x$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (6)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

היקף מעגל: הפרש בסיבובים של שני גלגלים (שאלת ביניים · מצוינות)
לעגלת משא שני גלגלים קדמיים זהים ושני גלגלים אחוריים זהים. אורך הרדיוס של גלגל קדמי הוא 16 ס"מ, ואורך הרדיוס…
פתרון משוואות ממעלה ראשונה עם סוגריים ושברים (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את המשוואות.
משוואות עם מקדמים שהם שברים (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו כל משוואה בעזרת מעבר למשוואות שקולות, ובדקו בהצבה.
שתי דרכים למשוואה עם שברים (שאלת ביניים · רמה א')
דנה ואבי פותרים את המשוואה $\frac{1}{2}x-3=\frac{1}{4}x+1$ .
עשרוניים ושברים: בלי לפתור (שאלה קצרה · מצוינות)
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
שתי מכוניות בטיול: כמה דלק צרכה כל אחת? (שאלה קצרה · מצוינות)
אלון ובועז נסעו לאותו טיול באותה דרך, כל אחד במכונית שלו. המכונית של אלון נוסעת $15$ ק"מ על כל ליטר דלק,…