מבחן לדוגמה: טכניקה אלגברית - כיתה ט'

$(3x-5)(x+2)=3x^2+x-10$ ; $(x-4)(x-10)=x^2-14x-40$

$(2x-3)^2=4x^2-9$ ; $4x(x+6)-3(x+6)=(4x-3)(x+6)$

כתבו ביטוי למכפלה של נועם וביטוי למכפלה של מאיה. פתחו את הסוגריים בכל ביטוי.

כתבו משוואה המתאימה לנתונים, ומצאו את המספר שבחרו.

בדקו את התשובה: חשבו את המכפלה של נועם ואת המכפלה של מאיה עבור המספר שמצאתם.

כתבו ביטוי לשטח הגינה בהתחלה, אחרי השלב הראשון ואחרי השלב השני. כתבו כל ביטוי בלי סוגריים.

בכמה מ"ר גדל השטח בכל שלב? בכמה מ"ר גדל השטח בשני השלבים יחד? בדקו שהגידול הכולל שווה לסכום הגידולים בשני השלבים.

אילו היו עושים את השלבים בסדר הפוך (קודם מאריכים את הרוחב ב-$2$ מטרים, ואחר כך את האורך ב-$6$ מטרים), בכמה מ"ר היה גדל השטח בכל שלב? האם הגידול הכולל היה משתנה? נמקו.

בשני השלבים יחד גדל השטח של הגינה ב-$86$ מ"ר. מצאו את $x$, וכתבו את האורך ואת הרוחב של הגינה בהתחלה ובסוף.

בדקו את התשובה: חשבו מתוך המידות את שטח הגינה בהתחלה, אחרי השלב הראשון ובסוף.

פתחו כל אחד מהביטויים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

פשטו את הסכום $(x+4)^2+(x-4)^2$ ואת ההפרש $(x+4)^2-(x-4)^2$. אילו איברים מתבטלים בכל פעם?

הציבו $x=300$ בתוצאות של סעיף ב, וחשבו בלי מחשבון את $304^2+296^2$ ואת $304^2-296^2$.

כתבו את המספר $21$ בצורה $a^2-b^2$ בשתי דרכים שונות. הדרכה: $a-b$ ו-$a+b$ הם שני מספרים שלמים חיוביים שמכפלתם $21$, ו-$a+b$ הוא הגדול מביניהם.

הסבירו למה כל מספר אי-זוגי שגדול מ-$1$ אפשר לכתוב כהפרש של ריבועים של שני מספרים שלמים עוקבים. הדרכה: מספר אי-זוגי שגדול מ-$1$ הוא מהצורה $2k+1$, כאשר $k$ שלם חיובי. פרקו את $(k+1)^2-k^2$.

הראו שכל כפולה של $4$ שגדולה מ-$4$, כלומר מספר מהצורה $4k$ כאשר $k$ שלם ו-$k\ge 2$, אפשר לכתוב בצורה $a^2-b^2$. הדרכה: פרקו את $(k+1)^2-(k-1)^2$. למה צריך את התנאי $k\ge 2$?

הסבירו למה אי אפשר לכתוב את המספר $30$ בצורה $a^2-b^2$. הדרכה: הסכום של $a-b$ ו-$a+b$ הוא $2a$. מה אפשר להסיק על הזוגיות של שני הגורמים?

מצאו את כל המספרים מ-$1$ עד $12$ שאי אפשר לכתוב בצורה $a^2-b^2$ (עם $a$ ו-$b$ שלמים חיוביים). נמקו.

שירה טוענת: "לכל מספר $x$ מתקיים $(x^2-9)^0=1$". מצאו את הערכים של $x$ שעבורם הטענה אינה נכונה, והסבירו.

פתרו את המשוואה $(x-2)^0\cdot(x^2-x)=2$.

מצאו את משוואת הישר. הסבירו למה בגרף חסרה דווקא הנקודה של הישר שבה $x=-2$, ומצאו את שיעור ה-$y$ שלה.

מצאו את $b$ ואת $c$.

נתון הביטוי $\frac{x^2+x-2}{x-1}$ (אותו מונה, מכנה אחר). כתבו אילו ערכים אסור להציב בו, צמצמו אותו ותארו את הגרף שלו.

הראו שבכל $x$ ששני הביטויים, $\frac{x^2+x-2}{x+2}$ ו-$\frac{x^2+x-2}{x-1}$, מוגדרים בו, ערכו של השני גדול ב-$3$ מערכו של הראשון. האם יש $x$ שבו ערכי שני הביטויים שווים? נמקו.

מצאו ביטוי $M$ כך שהגרף של $\frac{x^2+x-2}{M}$ יהיה הישר $y=1$ שחסרות בו בדיוק שתי נקודות. מהן שתי הנקודות החסרות?

אחרי שתפתרו, הסבירו את התוצאה גם בעזרת צמצום של אגף שמאל.