שאלות פתוחות: פירוק טרינום ריבועי x²+bx+c (המקדם של x² שווה 1) - כיתה ט'

$3x^2-24x+36$

$x^3+2x^2-48x$

$x^2+10x+16$

$x^2-12x+27$

הסבירו למה לכל מספר שלם $n$ הערך של $n^2+15n+56$ הוא מספר זוגי.

מצאו את כל המספרים השלמים החיוביים $n$ שעבורם הערך של $n^2-10n+21$ הוא מספר ראשוני. נמקו.

עידו כתב: $x^2+5x-50=(x-10)(x+5)$

הדס כתבה: $x^2+16x+48=(x+2)(x+24)$

כתבו ביטוי לשטח הכולל של כל האריחים שדנה לקחה (בסמ"ר).

דנה סידרה את כל האריחים למלבן אחד, בלי רווחים ובלי חפיפות. אורך צלע אחת של המלבן הוא $x+2$ ס"מ.

פרקו את הביטוי מסעיף א לגורמים, ומצאו את אורך הצלע השנייה של המלבן.

אחיה של דנה טוען שמאותם אריחים בדיוק (ריבוע גדול אחד, $8$ פסים ו-$12$ ריבועים קטנים) אפשר לבנות גם מלבן שאורכי צלעותיו $x+3$ ס"מ ו-$x+4$ ס"מ. האם הוא צודק? נמקו בעזרת פתיחת סוגריים.

הסבירו למה $p$ ו-$q$ חייבים להיות חיוביים, ומצאו את כל הערכים של $c$ שעבורם אפשר לכתוב את הטרינום בצורה הזאת.

מהו הערך הגדול ביותר של $c$ מבין הערכים שמצאתם? כתבו את הפירוק עבורו. מה מיוחד בפירוק הזה?

הסבירו למה כל ערך של $c$ שמצאתם בסעיף א שווה ל-$36$ פחות ריבוע של מספר שלם. היעזרו בכך שאפשר לכתוב את שני המספרים בצורה $6-d$ ו-$6+d$.

מצאו את כל הערכים של $k$ שעבורם אפשר לכתוב את הטרינום בצורה $(x+p)(x+q)$, כאשר $p$ ו-$q$ מספרים שלמים. לכל ערך של $k$ כתבו את הפירוק.

הסבירו למה בטרינום $x^2+kx-16$: אם ערך מסוים של $k$ מאפשר פירוק כזה, אז גם הערך $-k$ מאפשר פירוק כזה.

פרקו את הביטוי $x^2+10x+24$ לגורמים. רמז: מצאו שני מספרים שמכפלתם $24$ וסכומם $10$.

מה אורך המשטח? בכמה מטרים האורך גדול מהרוחב?

עבור $x=8$: חשבו את הרוחב, את האורך ואת השטח של המשטח. בדקו שהצבה של $x=8$ בביטוי $x^2+10x+24$ נותנת אותו שטח.

מחליטים להאריך את המשטח ב-$1$ מטר, והרוחב לא משתנה. כתבו את השטח החדש כמכפלה וכטרינום. בכמה מ"ר גדל השטח? הסבירו את התוצאה בעזרת הרוחב של המשטח.

פרקו לגורמים: $x^2+6x+5$, $x^2+10x+9$, $x^2-4x-5$.

בשלושת הטרינומים של סעיף א הגורם $x+1$ מופיע. בדקו בכל אחד מהם את הקשר בין המקדם $b$ לבין האיבר החופשי $c$, ונסחו כלל.

הסבירו למה הכלל נכון בשני הכיוונים:

(1) אם $x^2+bx+c=(x+1)(x+q)$, אז $c=b-1$.

(2) אם $c=b-1$, אז אפשר לפרק את הטרינום כך שאחד הגורמים הוא $x+1$. מהו הגורם השני?

השתמשו בכלל ופרקו בלי לחפש זוגות של מספרים: $x^2+38x+37$ ו-$x^2-20x-21$.

מצאו קשר בין $b$ לבין $c$ שמתקיים כאשר $x-1$ הוא גורם של הטרינום $x^2+bx+c$. לאיזה טרינום מהצורה $x^2+bx+c$ יש גם הגורם $x+1$ וגם הגורם $x-1$?

פרקו לגורמים את הביטוי $x^2+4x+9x+36$ בעזרת הוצאת גורם משותף מכל זוג איברים. לאיזה טרינום שווה הביטוי הזה?

טליה רוצה לפרק באותה דרך את הטרינום $x^2+x-56$. היא כתבה $x=8x-7x$, וקיבלה $x^2+8x-7x-56$. השלימו את הפירוק לפי קבוצות.

רועי פיצל את אותו טרינום אחרת: $x=4x-3x$, וקיבל $x^2+4x-3x-56$.

הראו שבפיצול הזה לא מתקבלים אותם סוגריים בשני הזוגות. הסבירו: איזה תנאי, מלבד הסכום, צריכים לקיים שני המקדמים שבפיצול, כדי שהפירוק לפי קבוצות יצליח?