שאלות פתוחות: נוסחאות הכפל המקוצר - כיתה ט'

שאלות פתוחות על נוסחאות הכפל המקוצר לכיתה ט' - ריבוע של סכום, ריבוע של הפרש והפרש ריבועים. התלמידים פותחים סוגריים אחרי שזיהו מה הם a ו-b, מחשבים בלי מחשבון בעזרת הנוסחאות, משלימים טבלה ומשלימים חסרים כך שהשוויון יתקיים לכל x ו-y. יש גם שאלות שבהן מראים שערך ביטוי קבוע לכל x. המאגר מכסה רמה א', רמה ב' ומצוינות, ומורה יכול לבחור ממנו שאלות למבחן או לבוחן ולקבל פתרונות מלאים בקובץ Word.

65 שאלותרמה א': 30רמה ב': 13מצוינות: 22

שאלה 1 · איברים חסרים בנוסחאות: כל האפשרויותשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מצאו את כל האפשרויות למה שחסר במקום □\square□ ובמקום △\triangle△, כך שהשוויון יתקיים לכל ערך של xxx ושל yyy. נמקו.

א.

במקום □\square□ ובמקום △\triangle△ חסרים מספרים:
(x+□)2=x2+△x+49(x+\square)^2=x^2+\triangle x+49(x+□)2=x2+△x+49

ב.

במקום □\square□ חסר איבר, ובמקום △\triangle△ חסר איבר:
(□+2y)(□−2y)=9x2−△(\square+2y)(\square-2y)=9x^2-\triangle(□+2y)(□−2y)=9x2−△

שאלה 2 · ריבוע של סכום וריבוע של הפרששאלה קצרה · רמה ב'

פתחו את הסוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר. בכל סעיף כתבו קודם מה הם aaa ו-bbb בנוסחה, ורק אחר כך פתחו.

א.

(x+9)2(x+9)^2(x+9)2

ב.

(2y−7)2(2y-7)^2(2y−7)2

שאלה 3 · השוואה בלי לחשבשאלה קצרה · מצוינות

ענו על הסעיפים בלי לחשב את המכפלות עצמן.

א.

איזו מכפלה גדולה יותר: 2999⋅30012999\cdot 30012999⋅3001 או 2998⋅30022998\cdot 30022998⋅3002? בכמה היא גדולה יותר? הסבירו בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

ב.

הסבירו למה לכל שני מספרים aaa ו-bbb מתקיים (a+b)2≥4ab(a+b)^2\ge 4ab(a+b)2≥4ab. לאילו מספרים מתקיים שוויון?

שאלה 4 · ביטויים שערכם לא תלוי ב- $x$ שאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף פשטו את הביטוי, והראו שערכו שווה לאותו מספר לכל ערך של xxx. מהו המספר? בדקו בהצבה של מספר אחד.

א.

(3x+5)2−3x(3x+10)(3x+5)^2-3x(3x+10)(3x+5)2−3x(3x+10)

ב.

(x−3)(x+3)−(x−1)2−2x(x-3)(x+3)-(x-1)^2-2x(x−3)(x+3)−(x−1)2−2x

שאלה 5 · סכום כפול הפרששאלה קצרה · רמה ב'

בשאלה זו משתמשים בנוסחה (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2(a+b)(a−b)=a2−b2.

א.

פתחו את הסוגריים: (m+6)(m−6)(m+6)(m-6)(m+6)(m−6) ו-(7x−2)(7x+2)(7x-2)(7x+2)(7x−2)(7x+2).

ב.

כתבו את המכפלה 33⋅2733\cdot 2733⋅27 כמכפלה של סכום של שני מספרים בהפרש שלהם, וחשבו אותה בלי מחשבון.

שאלה 6 · השלמת טבלה: $a^{2} - b^{2}$ ו- $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ עם שברים וחזקותשאלה קצרה · מצוינות

השלימו את הטבלה.

aaabbba2−b2a^2-b^2a2−b2a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2a2+2ab+b2
13a\frac{1}{3}a31​ac22\frac{c^2}{2}2c2​
1113xy3xy3xy
5p25p^25p25t35t^35t3
2x45\frac{2x^4}{5}52x4​x5\frac{x}{5}5x​

$a$	$b$	$a^2-b^2$	$a^2+2ab+b^2$
$\frac{1}{3}a$	$\frac{c^2}{2}$
$1$	$3xy$
$5p^2$	$5t^3$
$\frac{2x^4}{5}$	$\frac{x}{5}$

שאלה 7 · חישוב בלי מחשבון בעזרת נוסחאות הכפלשאלה קצרה · רמה א'

חשבו בלי מחשבון. בכל סעיף בחרו נוסחה מתאימה מנוסחאות הכפל המקוצר, וכתבו את הדרך.

א.

1982198^21982

ב.

8.3⋅7.78.3\cdot 7.78.3⋅7.7

שאלה 8 · בדיקת נוסחאות הכפל כאשר $a = b$ שאלה קצרה · רמה ב'

בדקו מה מתקבל בשני האגפים של נוסחאות הכפל המקוצר כאשר a=ba = ba=b בביטויים: (a+b)2(a + b)^2(a+b)2 ו- (a−b)2(a - b)^2(a−b)2

ענו על השאלה.

שאלה 9 · מתי $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ שאלה קצרה · מצוינות

עבור אילו ערכים של aaa ו- bbb מתקיים כי (a−b)2=a2−b2(a - b)^2 = a^2 - b^2(a−b)2=a2−b2?

ענו על השאלה.

שאלה 10 · השלמת טבלה: $a^{2} - b^{2}$ ו- $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ עבור חד-איבריםשאלה קצרה · רמה א'

השלימו את הטבלה.

aaabbba2−b2a^2-b^2a2−b2a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2a2+2ab+b2
3m3m3m444
3x3x3x2y2y2y
x2x^2x24y24y^24y2
2x32x^32x36xy6xy6xy
3a22\frac{3a^2}{2}23a2​2b3\frac{2b}{3}32b​

$a$	$b$	$a^2-b^2$	$a^2+2ab+b^2$
$3m$	$4$
$3x$	$2y$
$x^2$	$4y^2$
$2x^3$	$6xy$
$\frac{3a^2}{2}$	$\frac{2b}{3}$

עוד 53 שאלות על נוסחאות הכפל המקוצר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

השוואת ביטויים לכל $a$ : ריבועים ופתיחת סוגריים (ב) (שאלה קצרה · רמה ב')
כתבו, אם אפשר, את אחד הסימנים $<$ , $>$ או $=$ כך שהיחס בין שני האגפים יהיה נכון לכל $a$ :
ריבוע של מספר אי-זוגי פחות 1 מתחלק ב-8 (שאלה קצרה · מצוינות)
בחרו מספר אי זוגי כלשהו, העלו אותו בריבוע והחסירו 1 מהתוצאה.
חישוב בעל פה בעזרת נוסחאות הכפל: $100 1^{2}$ , $7 9^{2}$ , $72 \cdot 68$ (שאלה קצרה · רמה א')
חשבו (מבלי להיעזר בכתיבה) את הביטויים הבאים, בהסתמך על נוסחאות הכפל המקוצר:
חישוב $97 \cdot 103$ ו- $100 2^{2}$ בנוסחאות הכפל (שאלה קצרה · רמה ב')
חשבו את $97\times 103$ בעזרת החוק $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ , וחשבו $1002^2$ בעזרת החוק של ריבוע של סכום.
סכום הריבועים של צלעות מלבן (שאלת ביניים · מצוינות)
היקף של מלבן הוא $46$ ס"מ, ושטחו $120$ סמ"ר. נסמן ב- $a$ וב- $b$ את אורכי הצלעות של המלבן (בס"מ), כאשר $a>b$ . בסעיפים א ו-ב אין לחשב את $a$ …
למה $31 \cdot 31$ אינו $30 \cdot 30 + 1 \cdot 1$ (שאלה קצרה · רמה א')
הדגימו הן באופן גאומטרי והן באופן אלגברי מדוע $31\cdot 31$ אינו שווה ל: $30\cdot 30 + 1\cdot 1$ (דוגמה זו מפריכה את הטענה שסכום הריבועים…
טעות נפוצה: ריבוע של סכום (שאלת ביניים · רמה ב')
גיל כתב במחברת: $(x+6)^2=x^2+36$
הפרשים בין ריבועים של מספרים שלמים (שאלת ביניים · מצוינות)
בשאלה זו חוקרים את ההפרש בין הריבועים של שני מספרים שלמים: ריבוע המספר הגדול פחות ריבוע המספר הקטן.
פתיחת סוגריים בנוסחאות הכפל וכינוס (שאלה קצרה · רמה א')
פתחו סוגריים וכתבו ביטוי קצר ככל האפשר:
אריח ריבועי ונוסחת ריבוע הסכום (שאלה מלאה · רמה ב')
נועה מעצבת אריח ריבועי $ABCD$ לקישוט קיר. היא מחלקת את האריח לארבעה חלקים, כמתואר בסרטוט: הריבוע $AEPG$ שאורך צלעו $a$ ס"מ, הריבוע $PHCF$ …
ארבעה מספרים עוקבים: תכונות שמתקיימות תמיד (שאלת ביניים · מצוינות)
$a, b, c, d$ הם ארבעה מספרים טבעיים עוקבים כלשהם. הוכיחו כי:
למה $(a - b)^{2} = (b - a)^{2}$ : שתי דרכים (שאלה קצרה · רמה א')
נמקו בשתי דרכים שונות מדוע $(a - b)^2 = (b - a)^2$
ריבוע של סכום וריבוע של הפרש: סכום והפרש (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונים הביטויים $(x+4)^2$ ו- $(x-4)^2$ .
בניית שלשות פיתגוריות בעזרת נוסחאות הכפל (שאלה מלאה · מצוינות)
שלושה מספרים שלמים חיוביים $a$ , $b$ , $c$ שמקיימים $a^2+b^2=c^2$ נקראים שלשה פיתגורית. לפי משפט פיתגורס, יש משולש ישר-זווית שהניצבים שלו $a$ …
האם $(a - b)^{3} = (b - a)^{3}$ (שאלה קצרה · רמה א')
בדקו האם מתקיים תמיד השוויון $(a - b)^3 = (b - a)^3$ .
השלמת החסר בנוסחאות הכפל המקוצר (שאלה קצרה · רמה ב')
השלימו את מה שחסר במקום $\square$ , כך שהשוויון יתקיים לכל ערך של $x$ . בדקו כל תשובה בפתיחת סוגריים בעזרת הנוסחה.
חישוב ערך של ביטוי בשני משתנים (שאלת ביניים · מצוינות)
בסעיפים הבאים ניתן לחשב ערך של ביטויים מורכבים משני משתנים מבלי לדעת את ערכו של כל משתנה בנפרד.
השוואת ביטויים לכל $a$ : מכפלת סכום בהפרש וריבועים (א) (שאלה קצרה · רמה א')
כתבו, אם אפשר, את אחד הסימנים $<$ , $>$ או $=$ כך שהיחס בין שני האגפים יהיה נכון לכל $a$ :
לוח מודעות ושתי תמונות ריבועיות (שאלת ביניים · רמה ב')
לוח מודעות בכיתה הוא המלבן $ABCD$ . אורך הצלע $AB$ הוא $4x+1$ ס"מ, ואורך הצלע $BC$ הוא $4x-1$ ס"מ. על הלוח תולים שתי תמונות ריבועיות, $EFGH$ …
סכומים ומכפלות ארוכים בעזרת הפרש ריבועים (שאלה קצרה · מצוינות)
חשבו בלי מחשבון. היעזרו בשוויון $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .
השוואת ביטויים לכל $a$ : ריבוע מול מכפלת סכום בהפרש (ג) (שאלה קצרה · רמה א')
כתבו, אם אפשר, את אחד הסימנים $<$ , $>$ או $=$ כך שהיחס בין שני האגפים יהיה נכון לכל $a$ :
משוואות שבהן $x^{2}$ מתבטל אחרי שימוש בנוסחאות (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו את המשוואות. היעזרו בנוסחאות הכפל המקוצר, ובדקו כל פתרון בהצבה במשוואה הנתונה.
ריבוע של סכום שלושה איברים (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו מעלים בריבוע סכום של שלושה איברים בעזרת הנוסחה $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ , כאשר $A$ עצמו סכום של שני איברים.
פתרון $(x - 5)^{2} = (x + 5)^{2}$ בכמה דרכים (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את המשוואה: $(x - 5)^2 = (x + 5)^2$ בדרכים שונות.
ריבוע גדול יותר או מלבן: מתי השטחים שווים? (שאלת ביניים · רמה ב')
נתון ריבוע שאורך צלעו $x$ ס"מ. יש שתי דרכים לשנות אותו: דרך א: מאריכים כל אחת מארבע הצלעות ב- $3$ ס"מ, ומקבלים ריבוע חדש. דרך ב: מאריכים רק…
מ- $a + \frac{1}{a}$ אל $a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ (שאלה קצרה · מצוינות)
נתון: $a+\frac{1}{a}=4$ ( $a\ne 0$ ).
הדגמה גאומטרית: $(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 ab$ (שאלה קצרה · רמה א')
הסבירו כיצד השרטוט הבא מדגים את השוויון: $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$
מה שווה לריבוע של סכום? (שאלה קצרה · רמה ב')
בשאלה זו בודקים כתיבות שונות של ריבוע של סכום.
הסכום וההפרש של $(a + b)^{2}$ ו- $(a - b)^{2}$ (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו $a$ ו- $b$ הם מספרים.
השלמת ריבוע של סכום עם האיבר $12 x$ בשלוש דרכים (שאלה קצרה · רמה א')
השלימו את הביטוי $(\_\_\_\_ + \_\_\_\_)^2 = \_\_\_\_ + 12x + \_\_\_\_$ בשלוש דרכים שונות.
קיבוץ חכם של שלושה איברים (שאלה קצרה · מצוינות)
פתחו ופשטו. בכל סעיף קבצו קודם שני איברים לזוג סוגריים אחד, כך שתוכלו להשתמש בנוסחה $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .
הצבת ביטויים בנוסחאות הכפל (שאלת ביניים · רמה א')
נתון: $a=x+5$ ו- $b=x-5$ .
ביטוי חוזר מקצר את הפתיחה (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף בחרו ביטוי שחוזר, סמנו אותו באות $t$ , פשטו בעזרת $t$ , ורק בסוף החזירו את הביטוי המקורי.
שרשרת של סכום כפול הפרש (שאלת ביניים · רמה א')
בשאלה זו משתמשים בנוסחה $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ כמה פעמים ברצף.
ארבעה מספרים עוקבים: המכפלה ועוד 1 (שאלת ביניים · מצוינות)
בוחרים ארבעה מספרים שלמים עוקבים, כופלים את ארבעתם ומוסיפים $1$ . למשל: $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+1=25=5^2$ .
מבנה ריבועי במפגן ספורט (שאלה מלאה · רמה א')
במפגן ספורט של בית ספר התלמידים עומדים במבנה ריבועי: $n$ שורות, ובכל שורה $n$ תלמידים ( $n>5$ ).
מריבוע לחזקה שלישית (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו מחשבים חזקה שלישית של דו-איבר: קודם פותחים את הריבוע בעזרת הנוסחה, ואחר כך כופלים שוב באותו דו-איבר.
סכום, הפרש והפרש ריבועים (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף השתמשו בשוויון $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ . אל תמצאו קודם כל מספר בנפרד.
נוסחאות הכפל המקוצר עם מעריך כללי (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי. פתחו את הסוגריים ופשטו. היעזרו בנוסחאות הכפל המקוצר ובחוק $(a^n)^k=a^{nk}$ .
ביטוי עם פרמטר ושתי נוסחאות (שאלה קצרה · רמה א')
נתון הביטוי $E=(x+k)(x-k)-(x-k)^2$ , כאשר $k$ מספר.
מלבן שצלעותיו סכום והפרש של שורשים (שאלה קצרה · מצוינות)
אורכי הצלעות של מלבן הם $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ ס"מ ו- $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ ס"מ. ענו בלי מחשבון.
ביטוי שחוזר הוא איבר אחד (שאלה קצרה · רמה א')
פתחו את הסוגריים. התייחסו לביטוי שחוזר כאל איבר אחד, והשתמשו בנוסחה מתאימה מנוסחאות הכפל המקוצר.
שני מספרים צמודים: חזקות גבוהות בלי חישוב ארוך (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונים המספרים $u=\sqrt6+\sqrt2$ ו- $v=\sqrt6-\sqrt2$ . ענו בלי מחשבון.
נוסחה, ואחריה הגורם שלפני הסוגריים (שאלה קצרה · רמה א')
פתחו את הסוגריים. בכל ביטוי השתמשו קודם בנוסחה מתאימה מנוסחאות הכפל המקוצר, ורק אחר כך כפלו בגורם שלפני הסוגריים.
האם ההיקף והשטח קובעים את המלבן? (שאלה קצרה · מצוינות)
במערכת הצירים שלושה מלבנים שצלעותיהם מקבילות לצירים. לכל מלבן קודקוד אחד בראשית הצירים, ונתון הקודקוד הנגדי לו: מלבן $M_1$ : $(7,1)$ . מלבן…
מפתחים שתי נוסחאות בעצמכם (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו מפתחים שתיים מנוסחאות הכפל המקוצר מתוך מה שכבר ידוע.
נוסחאות הכפל המקוצר כשיש משתנה במכנה (שאלה קצרה · רמה א')
בכל הסעיפים $x\neq 0$ ו- $a\neq 0$ . פתחו את הסוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר, וכתבו כל איבר בצורה פשוטה.
ריבוע בתוך מלבן: השטח הצבוע (שאלת ביניים · רמה א')
במלבן $ABCD$ אורך הצלע $AB$ הוא $2x+5$ ס"מ, ואורך הצלע $BC$ הוא $2x-5$ ס"מ. בתוך המלבן מציירים ריבוע $EFGH$ שאורך צלעו $x$ ס"מ. הריבוע כולו…
ריבוע של סכום לעומת סכום הריבועים (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $x$ הוא מספר כלשהו. בכל סעיף פתחו קודם את הסוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.
התחלקות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $x$ הוא מספר שלם.
מלבן שגוזרים ממנו שני משולשים (שאלת ביניים · רמה א')
במלבן $ABCD$ אורך הצלע $AB$ הוא $2x$ ס"מ, ואורך הצלע $AD$ הוא $10$ ס"מ. משתי פינות נגדיות של המלבן גוזרים שני משולשים ישרי-זווית: - הנקודה…
סכום כפול הפרש כשהאיברים בסדר אחר (שאלה קצרה · רמה א')
פתחו את הסוגריים בעזרת הנוסחה $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . בכל ביטוי כתבו קודם מה הם $a$ ו- $b$ : $a$ הוא האיבר שמופיע באותו סימן בשני הסוגריים,…
ריבוע של סכום ושל הפרש בלי למצוא את המספרים (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $m$ ו- $n$ הם מספרים. אל תמצאו את $m$ ואת $n$ עצמם. היעזרו בנוסחאות $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$ ו- $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

סכום ומכפלה: חישוב ביטויים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר (שאלת ביניים · מצוינות)
המספרים $a$ ו- $b$ מקיימים $a+b=8$ ו- $ab=13$ , ונתון ש- $a>b$ . אין צורך למצוא את $a$ ואת $b$ .
משוואות שבהן $x^{2}$ מתבטל, ומשוואה שכל מספר פותר אותה (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את המשוואות.

שאלה 1 · איברים חסרים בנוסחאות: כל האפשרויותשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 2 · ריבוע של סכום וריבוע של הפרששאלה קצרה · רמה ב'

שאלה 3 · השוואה בלי לחשבשאלה קצרה · מצוינות

שאלה 4 · ביטויים שערכם לא תלוי ב-xשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 5 · סכום כפול הפרששאלה קצרה · רמה ב'

שאלה 6 · השלמת טבלה: a2−b2 ו-a2+2ab+b2 עם שברים וחזקותשאלה קצרה · מצוינות

שאלה 7 · חישוב בלי מחשבון בעזרת נוסחאות הכפלשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 8 · בדיקת נוסחאות הכפל כאשר a=bשאלה קצרה · רמה ב'

שאלה 9 · מתי (a−b)2=a2−b2שאלה קצרה · מצוינות

שאלה 10 · השלמת טבלה: a2−b2 ו-a2+2ab+b2 עבור חד-איבריםשאלה קצרה · רמה א'