שאלות פתוחות: חוק הפילוג המורחב: פישוט ביטויים - כיתה ט'

שאלות פתוחות על חוק הפילוג המורחב ופישוט ביטויים לכיתה ט'. יש כאן פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים, מציאת המספר החסר כך שהשוויון יתקיים לכל x, ומציאת טעות בפתרון של תלמיד. לצד אלה מופיעים טריק כפל מהיר של מספרים דו-ספרתיים, השוואה בין שני ביטויים ושאלת שטח של חצר מלבנית. השאלות מחולקות לרמה א', רמה ב' ומצוינות, ואפשר לבחור מהן מבחן, בוחן או דף עבודה עם פתרונות מלאים ולהוריד ל-Word.

32 שאלותרמה א': 13רמה ב': 9מצוינות: 10

שאלה 1 · מציאת טעויות בפתיחת סוגרייםשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מופיע פתרון של תלמיד, ויש בו טעות. מצאו את הטעות, הסבירו אותה וכתבו את התוצאה הנכונה.

א.

(3a+2)(a−4)=3a2−12a+2a−8=3a2−14a−8(3a+2)(a-4)=3a^2-12a+2a-8=3a^2-14a-8(3a+2)(a−4)=3a2−12a+2a−8=3a2−14a−8

ב.

(x+6)(x−1)=x⋅x−x+6x−6=2x+5x−6=7x−6(x+6)(x-1)=x\cdot x-x+6x-6=2x+5x-6=7x-6(x+6)(x−1)=x⋅x−x+6x−6=2x+5x−6=7x−6

שאלה 2 · פתיחת מכפלה של שני סוגרייםשאלה קצרה · רמה ב'

פתחו את הסוגריים בעזרת חוק הפילוג המורחב, וכנסו איברים דומים.

א.

(x+4)(x+6)(x+4)(x+6)(x+4)(x+6)

ב.

(a−3)(a+7)(a-3)(a+7)(a−3)(a+7)

שאלה 3 · מתי $(a + b) (c + d) = a c + b d$ ?שאלה קצרה · מצוינות

אריה כתב: "לכל ארבעה מספרים aaa, bbb, ccc, ddd מתקיים (a+b)(c+d)=ac+bd(a+b)(c+d)=ac+bd(a+b)(c+d)=ac+bd".

א.

הראו בעזרת דוגמה מספרית שאריה טועה. הסבירו בעזרת חוק הפילוג המורחב אילו מכפלות הוא שכח.

ב.

נתון a=2a=2a=2, b=3b=3b=3, c=4c=4c=4. מצאו את המספר ddd שעבורו השוויון של אריה בכל זאת נכון. נמקו.

שאלה 4 · השלמת מספר חסר במכפלהשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מצאו את המספר החסר במקום □\square□, כך שהשוויון יתקיים לכל ערך של xxx. נמקו.

א.

(x+□)(x−5)=x2+3x−40(x+\square)(x-5)=x^2+3x-40(x+□)(x−5)=x2+3x−40

ב.

(3x−2)(□x+5)=6x2+11x−10(3x-2)(\square x+5)=6x^2+11x-10(3x−2)(□x+5)=6x2+11x−10

שאלה 5 · מכפלות של איברים וטבלת כפלשאלה קצרה · רמה ב'

בכל סעיף חשבו את המכפלות.

א.

חשבו את המכפלות: x⋅xx\cdot xx⋅x, 4x⋅3x4x\cdot 3x4x⋅3x, −2x⋅5x-2x\cdot 5x−2x⋅5x, x2⋅xx^2\cdot xx2⋅x.

ב.

בטבלה הבאה כל תא הוא מכפלה של הכותרת של השורה שלו בכותרת של העמודה שלו.
⋅\cdot⋅3x3x3x222
xxx??
−5-5−5??
השלימו את הטבלה, וכתבו את המכפלה (x−5)(3x+2)(x-5)(3x+2)(x−5)(3x+2) כביטוי מפושט.

$\cdot$	$3x$	$2$
$x$	?	?
$-5$	?	?

שאלה 6 · דרך מהירה לכפל מספרים דו-ספרתייםשאלת ביניים · מצוינות

יש דרך מהירה לכפול שני מספרים דו-ספרתיים שספרת העשרות שלהם שווה, וסכום ספרות האחדות שלהם הוא 101010.
למשל, ב-34⋅3634\cdot 3634⋅36: כופלים את ספרת העשרות 333 במספר שאחריו, 444, ומקבלים 121212. כופלים את ספרות האחדות: 4⋅6=244\cdot 6=244⋅6=24. כותבים את שתי התוצאות זו אחרי זו: 34⋅36=122434\cdot 36=122434⋅36=1224.

א.

חשבו את 72⋅7872\cdot 7872⋅78 בדרך המהירה ובעזרת חוק הפילוג המורחב, ובדקו שמתקבלת אותה תוצאה.

ב.

נסמן ב-aaa את ספרת העשרות, וב-bbb את ספרת האחדות של המספר הראשון. אז המספרים הם 10a+b10a+b10a+b ו-10a+(10−b)10a+(10-b)10a+(10−b). הוכיחו שמכפלתם שווה ל-100a(a+1)+b(10−b)100a(a+1)+b(10-b)100a(a+1)+b(10−b), והסבירו למה זו בדיוק הדרך המהירה.

ג.

תמר השתמשה בדרך המהירה כדי לחשב 43⋅4843\cdot 4843⋅48, וקיבלה 202420242024. מהי התוצאה הנכונה? הסבירו בעזרת חוק הפילוג המורחב למה הדרך המהירה אינה מתאימה כאן.

שאלה 7 · הפרש של שתי מכפלות וחישוב בלי מחשבוןשאלת ביניים · רמה א'

נתונים הביטויים A=(x+5)(x−3)A=(x+5)(x-3)A=(x+5)(x−3) ו-B=(x−4)(x+2)B=(x-4)(x+2)B=(x−4)(x+2).

א.

פשטו את AAA ואת BBB.

ב.

פשטו את הביטוי A−BA-BA−B.

ג.

היעזרו בסעיף ב וחשבו בלי מחשבון: 105⋅97−96⋅102105\cdot 97-96\cdot 102105⋅97−96⋅102.

שאלה 8 · חצר מלבנית מחולקת לארבעה אזוריםשאלת ביניים · רמה ב'

חצר של בית ספר היא המלבן ABCDABCDABCD. אורך החצר ABABAB הוא x+8x+8x+8 מטרים: הקטע AEAEAE הוא xxx מטרים והקטע EBEBEB הוא 888 מטרים. רוחב החצר ADADAD הוא x+3x+3x+3 מטרים: הקטע AGAGAG הוא 333 מטרים והקטע GDGDGD הוא xxx מטרים.
שני קווים מחלקים את החצר לארבעה מלבנים, כמתואר בסרטוט.
x83xAEBGPHDFC

א.

כתבו ביטוי לשטח של כל אחד מארבעת המלבנים: GPFDGPFDGPFD, PHCFPHCFPHCF, AEPGAEPGAEPG, EBHPEBHPEBHP.

ב.

כתבו את שטח החצר כולה בשתי דרכים: כמכפלה של האורך ברוחב, וכסכום של ארבעת השטחים מסעיף א. פשטו את הסכום. מה הקשר בין שתי הדרכים?

ג.

נתון x=12x=12x=12. חשבו את שטח החצר פעם בעזרת המכפלה ופעם בעזרת הביטוי המפושט מסעיף ב.

שאלה 9 · החלפת סדר הספרות במכפלה של מספרים דו-ספרתייםשאלת ביניים · מצוינות

להלן דוגמה של מכפלה שבה שני גורמיה הם מספרים דו-ספרתיים: 39×3139\times 3139×31.

א.

חשבו את תוצאתה.

ב.

כעת החליפו את סדר הספרות בתוך כל אחד מהגורמים, וחשבו את התוצאה של המכפלה החדשה (93×1393\times 1393×13). מה הקשר בין שתי התוצאות?

ג.

האם קשר זה מקרי (מתקיים רק בדוגמה זו? קורה לפעמים?) או תופעה כללית עבור כל מכפלה בין שני גורמים דו-ספרתיים? נמקו.

שאלה 10 · גינה ריבועית עם שבילים: מכפלה של שני הפרשיםשאלת ביניים · רמה א'

גינה היא הריבוע ABCDABCDABCD שאורך צלעו xxx מטרים (x>2x>2x>2).
לאורך הצלע ADADAD סללו שביל ברוחב 111 מטר (המלבן AEFDAEFDAEFD), ולאורך הצלע ABABAB סללו שביל ברוחב 222 מטרים (המלבן ABHGABHGABHG). שאר הגינה, המלבן KHCFKHCFKHCF, מכוסה בדשא, כמתואר בסרטוט.
xx12AEBGKHDFC

א.

הסבירו למה אורכי הצלעות של מלבן הדשא הם x−1x-1x−1 מטרים ו-x−2x-2x−2 מטרים. כתבו ביטוי לשטח הדשא בלי סוגריים.

ב.

עומר חישב את שטח השבילים כך: 1⋅x+2⋅x=3x1\cdot x+2\cdot x=3x1⋅x+2⋅x=3x, ולכן לפי חישובו שטח הדשא הוא x2−3xx^2-3xx2−3x. הסבירו מה הטעות של עומר, וכתבו ביטוי נכון לשטח השבילים.

ג.

נתון x=12x=12x=12. חשבו את שטח הדשא ואת שטח השבילים. בכמה מטרים רבועים טעה עומר בחישוב שטח הדשא?

עוד 22 שאלות על חוק הפילוג המורחב: פישוט ביטויים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הכנסות ממכירת כרטיסים לטורניר (שאלה מלאה · רמה ב')
מועדון ספורט מכר כרטיסים לטורניר במשך יומיים. ביום הראשון מחיר כרטיס היה $x+5$ ש"ח, ונמכרו $x+8$ כרטיסים. ביום השני הורידו את המחיר ל- $x-3$ …
חקירה בלוח מספרים: מכפלות בפינות של מלבן (שאלה מלאה · מצוינות)
המספרים מ- $1$ עד $100$ כתובים בלוח של $10$ שורות, ובכל שורה $10$ מספרים: בשורה הראשונה $1$ עד $10$ , בשורה השנייה $11$ עד $20$ , וכן הלאה. אלה…
נפח של קופסת קרטון (שאלה מלאה · רמה א')
קופסת קרטון היא תיבה. אורך הבסיס שלה $x+4$ ס"מ, רוחב הבסיס $x+1$ ס"מ, והגובה שלה $x$ ס"מ.
חיזוי הסימן של האיבר החופשי (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף, לפני שאתם פותחים את הסוגריים, קבעו אם האיבר החופשי (האיבר בלי $x$ ) יהיה חיובי או שלילי, ונמקו. אחר כך פתחו את הסוגריים, כנסו…
ארבעה מספרים עוקבים: תכונות שמתקיימות תמיד (שאלת ביניים · מצוינות)
$a, b, c, d$ הם ארבעה מספרים טבעיים עוקבים כלשהם. הוכיחו כי:
מקדם אחד בלי לפתוח את כל המכפלה (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המכפלה $(4x-3)(2x+5)$ .
שטח והיקף של מלבן (שאלת ביניים · רמה ב')
אורכי הצלעות של מלבן הם $x+7$ ס"מ ו- $x+2$ ס"מ ( $x>0$ ).
האיבר של $x$ נעלם: מה אפשר לומר על האיבר החופשי? (שאלה קצרה · מצוינות)
מחפשים מכפלות מהצורה $(ax+b)(cx+d)$ , כאשר $a$ , $b$ , $c$ , $d$ מספרים שלמים שונים מ- $0$ , כך שאחרי פתיחת הסוגריים האיבר של $x$ נעלם, והמקדם של…
לאן מכניסים את הגורם שלפני הסוגריים? (שאלה קצרה · רמה א')
נתון הביטוי $4(x-3)(x+5)$ .
גורם לפני מכפלה של שני סוגריים (שאלה קצרה · רמה ב')
פתחו את הסוגריים וכנסו איברים דומים. בכל סעיף פתחו קודם את המכפלה של שני הסוגריים, ורק אחר כך כפלו בגורם שלפניהם.
כמה מכפלות חלקיות, וכמה איברים בסוף? (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף פתחו את הסוגריים וכנסו איברים דומים. כתבו כמה מכפלות חלקיות התקבלו לפני הכינוס, וכמה איברים נשארו אחריו.
מתי האיבר של $x$ נעלם? (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המכפלה $(x+k)(3x-12)$ , כאשר $k$ מספר.
נכון או לא נכון? בודקים בפתיחת סוגריים (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף יש שני שוויונות. קבעו לגבי כל שוויון אם הוא נכון לכל ערך של המשתנה, ובדקו בפתיחת סוגריים. אם השוויון לא נכון, כתבו מה צריך להיות…
שלוש הצבות וביטוי ריבועי (שאלה קצרה · מצוינות)
נתון הביטוי $P=(x+3)(2x-1)$ . מחפשים מספרים $a$ , $b$ , $c$ כך שהביטוי $ax^2+bx+c$ יקבל את אותם ערכים כמו $P$ עבור $x=0$ , עבור $x=1$ ועבור…
כפל חזקות מול חיבור איברים דומים (שאלה קצרה · רמה א')
שימו לב להבדל בין כפל של חזקות לבין חיבור של איברים דומים.
פתיחת סוגריים כשיש מקדם ל- $x$ (שאלה קצרה · רמה ב')
פתחו את הסוגריים בעזרת חוק הפילוג המורחב, וכנסו איברים דומים. בדקו כל תוצאה בהצבה $x=1$ .
מלבן מחולק עם שני משתנים (שאלה קצרה · מצוינות)
מלבן מחולק לארבעה מלבנים קטנים בעזרת שני קווים: קו אחד מחלק את האורך לשני קטעים שאורכיהם $3p$ ו- $q$ , וקו שני מחלק את הרוחב לשני קטעים…
פתיחת סוגריים עם שני משתנים (שאלה קצרה · רמה א')
פתחו את הסוגריים וכנסו איברים דומים.
מסירים שתי רצועות: למה מוסיפים מספר? (שאלה קצרה · מצוינות)
ממלבן שאורכי צלעותיו $a$ מטרים ו- $b$ מטרים מסירים שתי רצועות: רצועה ברוחב $4$ מטרים לאורך אחת הצלעות שאורכן $b$ , ורצועה ברוחב $1$ מטר לאורך…
האם שתי הצבות מוכיחות שוויון? (שאלה קצרה · רמה א')
נתונים שני ביטויים: $A=(x+3)(x+6)$ ו- $B=12x+16$ . טל הציבה $x=1$ ו- $x=2$ בשני הביטויים, ובכל פעם קיבלה ש- $A$ ו- $B$ שווים. היא טענה: "לכן…
מלבן: שטח, היקף ומתי הוא קיים (שאלת ביניים · רמה א')
אורכו של מלבן הוא $3x+1$ ס"מ, ורוחבו $x-2$ ס"מ.
שוויונות: להוכיח או להפריך (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף יש שני שוויונות. קבעו לגבי כל שוויון אם הוא נכון לכל ערך של $x$ . אם הוא נכון, הראו זאת בפתיחת סוגריים. אם הוא לא נכון, הראו זאת…